量感发展：从直观感知到推理应用

刘娟娟

摘要：收半行的眼光来看待量感的培养，既要注重对事物可测量属性及大小关系的直观感知，也要注重定量分析和推理应用。通过《认识千米》同课异构的三节课，谈谈如何发展量感：直观感知度量单位，是量感得以生发的基础；定量分析度量过程，是量感发展的必要途径；推理应用度量结果，是量感形成的重要指标。

关键词：小学数学；量感；直观感知；定量分析；推理应用

量感，通俗地说是对量的感觉。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知”［1］。在小学阶段，主要通过有关度量的学习活动来培养量感。“建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。”［2］结合已有研究可知，量感是高度个性化的产物，它不仅与学生已有的度量概念、方法相关，也和学生如何形成这些度量概念和方法相关。同时，我们也必须认识到，量感的培养是一个较长时间的，需要反思体验、不断矫正的过程，要重视直观感知、具身体验，更要有数学的思考，借助推理想象，用定量刻画的方式来表达“量”，最终是为了促进学生形成抽象能力和应用意识。

“千米”是小学阶段数学学习的最后一个长度单位，是一个较大的长度单位，虽然在日常生活中经常应用，但是无法在直尺上直接感知。也正因为如此，理解1千米的概念对小学生而言是有难度的，建立相关的量感则更不容易。本次南京市小学数学优质课比赛中，获得一等奖的教师中有三位教学的都是《认识千米》。同课异构，三节课的教学设计和思路各有不同。下面，就通过这三节课，谈谈如何以发展的眼光来培养量感。

一、直观感知度量单位，是量感得以生发的基础

华罗庚先生说过：“数（shù）起源于数（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”量感的培养离不开“量（liáng） ”的过程，这是一个循序渐进的过程：首先要学习一些有关度量的重要概念，然后要能用标准的度量单位进行度量，并学会使用度量工具。而度量工具其实是根据度量方法，将度量单位连续、无缝隙、无重复地累加而创造出来的，因此，对度量单位的认识是度量学习的核心，也是量感得以产生、发展和形成的基础。

学生在学习千米之前，从知识的逻辑上看，已经认识了毫米、厘米、分米和米这些较小的长度单位，并形成了关于这些长度的量感，即知道统一长度的必要性，明白要在不同的情境中选择合适的长度单位，了解了测量长度的工具以及简单的长度单位换算。千米是基于生活需要的一次长度单位拓展，其教学需要让学生明确学习的意义，同时又能借助已有知识经验展开学习。然而，已有的长度单位和千米差距较大，直接利用它们来认识千米比较困难，因此，需要找到介于米和千米之间的长度单位进行衔接，那么“十米”和“百米”的认识就显得自然且必要了。

三位老师都在教学中不约而同地强调了对“十米”和“百米”的感知和认识，而且教学方式各有特色。谢志珺老师的教学从“拉绳子”这一活动开始，先让学生拉直手中1米的绳子，激活脑海中关于1米的表象；进而猜测10米的绳子可能的长度，并在教室里拉直10米的绳子进行验证，帮助学生调整和建立了10米的表象。然后，谢老师先出示了堆在一起的100米绳子，再用视频展示在户外拉直100米绳子的情景，让学生初步建立100米的表象。王雅雯老师在课堂上不仅带领学生从小到大梳理了已学的长度单位，还顺势引出了“十米”和“百米”这两个长度单位，这有助于学生建立完整的长度单位体系。此外，她还带领学生到学校跑道上走了100米，这不仅让学生亲身感受了100米的长度，而且还通过数步数、计时间等方式，促进学生个性化地体验100米的长度。何莹莹老师以一位学生张开双臂间的距离约为1米做标尺，让十位学生张开双臂，手拉手站在教室里排成一行，让学生直观感受10米的长度，并由此想象100米、1000米的长度。

量感所培养的思维方式是让学生无须借助测量工具，就能迅速地辨别出物体可测量属性的大小关系。显然，这是一种抽象的能力，是在对具体直观的对象，特别是度量单位感知、操作和反思的基础上逐步形成的能力。1千米对于小学生而言是无法直接用测量工具得到的长度，是抽象的，因此需要学生以对1米、10米、100米的直观感知为基础，间接感知1千米，进而形成相应的表象。

二、定量分析度量过程，是量感发展的必要途径

度量就是将待测定的量与一个作为标准的同类量进行比较的过程。比较的方法促使度量方法和度量工具诞生，度量得到的结果则需要用数学语言来表达。因此，度量的数学本质其实就是给度量对象赋值。荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“当单位确定后，就可用同一类的数去度量所有的量，这就是数学的优点。但是为了学会如何应用数学，学生就應该学习各种量的起源、特征，并弄懂它们之间的关系，应该说这也就是数学。”［3］ 由此可见，要形成量感并应用量感解决问题，必须关注度量的过程，定量刻画不同度量单位、不同度量对象甚至不同体系的度量单位之间的关系。这样，才能最终帮助学生无须借助度量工具，迅速、准确、灵活地辨别出物体可测量属性的大小。

（一）理解度量单位之间的进率，把握量感的准确性

进率是为了度量的方便，人为规定的同类两个度量单位之间的比值。教学要求一般是能够理解、接受和应用进率。

认识千米，就需要能理解“1千米=1000米”。在王雅雯老师的课上，笔者注意到这样一个教学片段：

教师帮助学生复习并板书了毫米、厘米、分米和米的进率关系后，提问：“1千米等于多少米？”学生出现多种回答：“1千米等于10米。”“1千米等于1000厘米。”“1千米等于10厘米。”“1千米等于1000米。”

看似简单的问题，为什么前三个学生都没有回答对呢？可能是受到以前学过的长度单位之间进率是10的影响。这表明，学生对进率的认识是有差异的。

王老师注意到了这个情况，首先通过提问“4000米等于多少米？8000米等于多少千米？”强化千米和米的关系。然后，她进一步提问：“如果把‘千米’的板贴放在黑板上，应该放在哪里呢？”学生都认为应该放在“米”的后面，还有学生认为应该和“米”间隔大一些。此时，王老师顺势引出了“十米”和“百米”这两个单位，并明确了它们和米、千米之间的进率关系，最终帮助学生理解了千米和米的关系。

张奠宙教授曾说：“任何测量，放在第一位的要求是科学性，即要尽可能精确。”［4］度量也应如此。度量的目的是选择合适的度量工具，通过正确的度量方法，得到度量对象的准确结果。准确、精确是度量追求的目标，也是量感应有的特点。不过值得注意的是，量感的准确性是相对的，能把度量结果确定在一个正确的范围内，不犯数量级的错误是对小学生的基本要求。

（二）合理选择经验内的参照物，提升量感的灵活性

生活中我们不可能随时带着度量工具外出，因此需要以身边熟悉的物体作为参照物，作为判断量大小的标准。此时，参照物就是一种度量单位，只不过不是国际通用的标准，而是我们在社会生活中经常使用的事物。

《认识千米》一课中，三位老师也特别重视引导学生从定量的角度分析和把握千米与其他长度单位或生活参照物之间的关系。比如，她们都选择了教室的长度、操场跑道、学校周边道路作为认识和想象1千米的参照物，得到1000米大约就是100个10米长的教室排在一起，200米的跑道跑5圈，250米的跑道跑4圈，400米的跑道跑2圈半。王雅雯老师还引导学生反思、总结出要用“以小见大”的方法来认识1千米。特别地，谢志珺老师还提供了10米长的公交车、20米高的旗杆、50米游泳赛道、200米环形跑道这些不同的学习素材，帮助学生从地面到天空、从陆地到水面、从直线距离到曲线距离等多维度感知1千米的表象，提升量感的灵活性。

（三）建立不同度量体系之间的联系，挖掘量感的深刻性

1983年10月，第十七届国际权度大会（又称计量大会）把“米”定义为：光于1/299792458秒内在真空中所走的长度。长度单位和时间单位有着如此密切的联系，我们也就不难理解教学长度时为什么要关注所用的时间了。这还提醒我们，教学中除了关注静态视角下长度单位之间的关系，也要从动态视角通过时间去认识和理解长度单位。

三位老师都有将长度与时间联系起来的教学设计。王雅雯老师让学生通过亲身体验走100米大约需要90秒，推出走1000米大约用时15分钟，大约需要1400步。何莹莹老师则呈现信息“1步长50厘米，走两步大约用时1秒”，让学生推算出“走1千米需要2000步，大约需要16分钟”。然后，现场边用平板电脑播放1名小学生绕操场走1000米的视频，边继续上课。一段时间后，再观察平板电脑中的学生是否走完了1000米。这种时间上的同步，有助于学生感受1000米很长。谢志珺老师则设计了在电子地图上导航从学校门口到公交车站大约1千米的同一段路程，当选择的交通工具不同时，所用的时间也不同。同时，通过VR游戏模拟摩托车行驶1000米的过程，让学生感受1千米也可以“很短”。这也为今后认识速度做了铺垫——物体运动的速度影响着我们对1千米的感受，但1千米的长度是不变的，在变化中可以更好地体会单位量的不变性、守恒性等特点，而这正是度量的本质所在。

其实，将不同体系的度量单位联系起来思考问题，或者创造出新的度量单位，是人类社会中经常发生的事情。例如，我们将长度单位和重量单位联系起来，可以比较人的胖瘦，即体重指数BMI=（体重的千克数）：（身高的米数）2。这种用联系的观点来看待事物，发展关系性理解的思路，是数学学习，也是未来自主学习、终身学习必不可少的，这也有助于促进量感走向深刻。

三、推理應用度量结果，是量感形成的重要指标

形成量感的最终目的是应用。正如前文所述，对某一个具体事物的长度、重量、面积、体积等属性大小关系的判断往往是基于单位量感知的推理和想象，是在计算、估测等定量分析后给出度量结果的过程。这是需要专门的练习或者训练的，绝不是通过一两节课就能够实现的目标。因此，就需要教师在教学过程中创设相关推理应用的情境，让学生能够有机会“算”出量感、“估”出量感、“推”出量感和“用”出量感。

应该说，三位老师都给学生提供了推理应用千米解决实际问题的机会。谢志珺老师结合学生对“在生活中哪里会用千米做单位呢？”这个问题的回答，相机出示了南京长江大桥铁路桥长大约7千米、上海到南京高速公路的行驶距离大约310千米等学习材料。王雅雯老师先提供了从学校大门出发，沿两条不同路线分别走约1千米后到达的地点，让学生据此推测沿第三条路线走1千米后到达的位置；再让学生估测从学校到“不老村”景区大约多少千米；然后启发学生课后去寻找身边还有哪些可以用千米表示的长度。何莹莹老师设计的学校周边旅游线路图给学生推理应用千米提供了很好的平台。以上教学都注重从学生身边熟悉的素材入手，逐步扩大认知的范围，循序渐进地帮助学生积累有关千米的经验，为学生应用量感解决问题奠定了扎实的基础。

从某种程度上说，《认识千米》一课是认识吨、公顷等大的计量单位的“种子课”，它应该教会学生用熟悉的度量单位（参照物）来推理或想象，发展关系性理解，并努力在日常生活中去应用这些单位，逐步形成自己的量感。

参考文献：

［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：7，7.

［3］ 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：172.

［4］ 张奠宙.削枝强干，消除平庸——谈小学《数学》教科书中“测量”的编排［J］.小学教学（数学版），2015（10）：6.