助力小学数学概念模型建构的有效策略

黄丽丽(福建省厦门市实验中学小学部 361100)

模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径。小学数学建模一般要经过五个环节,即:模型准备(从生活情境中抽象出一个比较清晰的数学问题)——模型假设与验证(针对问题特点和建模目的作出假设,并予以验证)——模型求解与确立(运用适当的数学工具,进行数学抽象,确定数学结构)——模型解释与应用(用数学模型解决实际问题,用数学语言刻画实际问题)——模型拓展(适度生成、派生新模型)。其中,模型准备是学生用数学的眼光观察现实世界,模型假设、求解等是学生用数学的思维思考现实世界,模型解释应用环节是学生用数学语言表达现实世界。

一切数学概念、数学理论体系,各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等,都可称之为数学模型。如“1重2移3画4标”简单几个字就是画高的步骤,也可以说是画高方法的模型。如果把数学课按类型进行分类,有概念课、计算课、图形课、解决问题课、规律课等,每种课型都有其模型。小学数学的概念课很多,有数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念等,它们互相联系,是构成小学数学基础知识的重要组成部分。概念教学往往比较抽象,教师应引导学生从身边的数学问题着手,根据所要解决的现实问题,将这个问题当中的特征抽象出来,作为概念进行理解和应用。这其实就是将现实数学问题概括抽象为数学模型,让学生感悟数学与生活之间的紧密联系,培养学生的模型意识与抽象概括能力。

一、生活材料助力概念建模

教材描述概念的语句较为枯燥,有的距离学生生活较远,学生接受起来往往较为困难,因此教师要适时变更教材,提供合适的学习材料,使学生能够自然参与概念的生成过程,了解知识的来龙去脉,这有利于培养他们发现问题和探究新事物的能力。

以四年级下册“小数的意义”这节概念课为例。教材给出的是大段的文字,在以往的教学中,教师往往牵着学生亦步亦趋地开展一问一答式的教学活动,这种教学方式使学生的思维受阻,并没有真正地体现小数的内涵。教师不妨抛开教材,为学生提供一些真实情境的学习材料,如一瓶木糖醇高度约1dm,拇指宽约1cm,一支钢笔长约15cm,一颗花生重约1g,一个鸡蛋重约45g,一包小零食的价格为5角……小组合作任选一个数量,将其用一个分数和一个小数表示出来。给学生充足的时间观察分析探讨,之后汇报交流:将1m 平均分成10份,1dm 是它的,就是m,即0.1m;1m 平均分成100份,1cm 是它的,就是m,即0.01m;15cm 是1m 的,就是m,即0.15m;1g 是1kg的,就是kg,即0.001kg;45 克是1kg的,就是kg,即0.045kg;5 角是1元的,就是元,即0.5元……学生在对学习材料进行整理、转化、分享及评价中发现,将数改写成分数或小数时,需将低级单位所对应的高级单位按进率进行平均分,再取其中的一份或几份。待学生理解了转化的原理之后,再让学生将以上物品分类并说说自己的发现。学生可以按分母不同分为三类,也可以按小数位数进行分类。再对比观察不难得出结论:分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示,一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……这就是小数的意义。至此,小数的概念模型建立。学生通过自主学习、探究学习、合作学习等多种学习方式完成了对小数的认识和理解。真实情景中的学习材料帮助学生真实学习,助力小数概念模型的建构。

教师要从学生身边入手创设真实情境,帮助学生更好地理解概念。如在学习一年级下册“认识人民币”时,教师可为学生提供合适的学币,采用项目式学习方式来助力人民币概念建模。在课堂上,同桌之间相互介绍认识的人民币,了解人民币的特征以及辨认方法。其次,小组合作对人民币进行简单分类,在分类中认识人民币的单位元角分。教师再适时介绍“元”的由来,丰富学生对人民币的认识。课下学生走进超市,调查商品价格,读懂小数表示的价钱,进行商品价格的比较与计算。通过了解不同物品的价格,懂得每件物品都有其各自的价值,从而培养正确的金钱观和价值观。第二课时小组之间模拟购物:一人当售货员,其他三人买东西,计算并付钱,第一轮付正好的钱数,第二轮需要售货员进行找钱。两轮下来再交换角色进行购物。如此,学生都有机会体验买卖东西的乐趣,在模拟购物活动中熟悉人民币的面值和应用。师生精心策划爱心义卖活动。教师、家长化身为导购员、售货员,学生化身为一个个小顾客,购物、换币、比较、计算,与此同时,学生还要做好记录,最后分享交流购物过程中遇到的问题及解决方法,进行自我评价与反思,在这样的学习过程中学生能深刻体会到人民币的意义和蕴含的学问。

教师根据教材的特点和学生的发展水平,创设学生熟悉的真实情境,有利于提高学生学习的积极性,降低数学概念教学的难度。

二、学法指导探究概念模型

概念课的抽象性决定了要想让学生深刻理解数学概念,就要变教师的教为学生的主动探究,这就需要教师给予学生一定的学法指导。如四年级上册“平行与相交”这节课就是在学生动手实践亲历知识的形成过程中建模的。数学源于生活,数学概念的学习要在真实世界中发生。基于此,教师先呈现一幅篱笆图,让学生从图片中任选两条边描出来,并在小组间交流描出的两条线长什么样。稍后将学生的作品选择性地展示在黑板上,让学生观察、分类并说说分类依据。A 生分三类:相交的、垂直的、不相交的。“分得对吗?”教师轻轻地问一句,“小组再讨论一下。”B 生:可以只分两类,直线可无限延长,所以没相交的延长后也会相交。“同意吗? 谁再来说一说?”“观察相交和垂直,你认为它们有关系吗? 把你的想法在小组内交流一下。”C生:垂直也是相交。具体来说相交是指两条直线交于一点,组成四个角;垂直也是这样,只是四个角都是直角。D 生:垂直是相交的特殊情况。“再让你分类,你怎么分?”E生:只分一类,它们都是相交。学生在多次的分类、讨论、质疑中明晰了相交线的模型:两条直线可交于一点即为相交。平行线的本质是同一平面内两条直线的距离不变,即永不相交。教师可引导学生动手操作并思考:①在两条平行线间作垂线段;②量这些垂线段的长度;③思考工人是如何使两条铁轨保持平行的? 在对相交和平行的概念建模过程中,学生在教师的指导下经历多次观察、讨论、操作、交流等活动,对相交线和平行线的概念有了本质的认识,也深刻认识到垂直是相交的特殊情况。

以五年级上册“数学广角——植树问题”教学为例。教师可出示校园情境图,植树节快到了,学校准备将校园里长100 米的小路的一边每隔5 米种1棵树,需要买多少棵树呢? 教师先引导学生针对问题特点和建模目的提出合理的假设。不管学生的假设如何,教师先不做评判,重点关注假设背后的思想。如果学生假设“100÷5=20 棵(间隔数)”,教师再引导学生质疑假设的正确性以及用自己的方法来证明观点。如可采用化繁为简的策略把总长100米改为10米;也可采用数形结合的策略画出植树的情境图,化抽象为直观。引导学生用分析、比较、猜想、验证、概括等思维方法自主构建数学模型:“两端都栽”的模型为“植树棵数=间隔数+1”,“只栽一端”的模型为“植树棵数=间隔数”以及“两端都不栽”的模型为“植树的棵数=间隔数-1”。教师再引导学生利用抽象的模型解决实际问题以及拓展新的数学模型。如环形操场插小旗活动。植树模型变化多元,切不可让学生死记模型公式,而应该指导方法,让其亲历模型的建构过程,这样学生才能真的领会并灵活运用。

三、系列活动深化概念模型

模型的建立不是一蹴而就的,需要一个循序渐进的过程。在教学中,教师要设计一系列由浅入深的活动,帮助学生慢慢感受模型的生成过程。以三年级上册“分数的初步认识”教学为例。教师往往从分数意义开展教学,顺势给出分数的表示方法。但是“为什么要用分数表示? 为什么分数要这样写?”学生困惑不消除,理解就难到位。教师可以创设一些合理的活动,让学生在活动中认识分数、理解分数的意义。

活动一:初步感受分数的意义

教师提供一些生活素材:七点半的“半”是什么意思? 长方形的纸沿中线对折,一部分与整张纸的关系? “100元”和“50元”的关系? 学生独立思考、小组交流,最后绝大多数学生的落脚点在“半”字。那“半”在数学上能怎样简洁地表示呢? 由生活中的需要引出探究的欲望。

活动二:表示“半”

学生用自己的方式表示“半”:比如1-2;1/2;1○2;1·2 等。在肯定学生奇思妙想的同时,教师要引导学生思考:“一个‘半’字,用这么多不同的符号表示,行吗?”学生经过讨论,达成共识:只能用一个符号表示。师生共同了解数学史“分数的产生过程”,感受古人因生活生产需要而探求摸索、锐意进取的求知精神。至此学生明白:一半是二中取一,它有很多种表示方式,而“”这种表示方式是经过摸索后达成的共识,为了沟通方便而采用。

活动三:再次理解分数的意义

在经历了由生活需要而产生探究的欲望、由表示符号多元到达成统一共识、由感悟一种新数到理解这种新数的意义这样的建模过程之后,学生对分数模型的认知是饱满和丰富的。

在认识图形系列教学中,教师往往也是设计多种活动来探究图形的特征,这些活动能很好地帮助学生认识和辨析图形。

以五年级下册“长方体和正方体”教学为例。教师可设计如下活动来帮助学生探究长方体和正方体的特征。活动一:搭一搭。利用小棒、硬纸条等搭一个长方体、正方体框架,观察这些棱,说说发现。进而推导出棱长和公式。活动二:想一想,拆一拆。把小棒拆成什么样子还能想象出原长方体的框架? 从而感悟长方体的框架特征主要由长、宽、高三个要素决定。活动三:补一补。用合适的纸张把长、正方体的框架补上面,观察面的特征,为后续学习表面积做铺垫。活动四:想一想,剪一剪。至少需要剪开几条棱,能得到长方体、正方体的展开图,以及展开图是什么样的。活动五:折一折。把展开图标上序号,折一折看看哪些面是相邻的哪些面是相对的。概念教学不必拘泥于教材的课时设定,学生能真正地投入教学活动并能在活动中理解深化概念模型才是最重要的。

四、本质属性结构概念模型

很多概念课的建模过程类似,可做结构化教学,比如图形的高。三角形的高是从三角形任意一个顶点向它的对边所在的直线做垂线;平行四边形的高是从平行四边形一条边上的任一点向它的对边所在的直线做垂线;梯形的高是从梯形底上的任一点向另一底所在的直线做垂线;圆柱的高是两个底面圆心之间的距离……“作高”是小学数学“图形与几何”部分的重要内容,教师上课讲解、示范,学生模仿操作,看似完整、扎实的教学过程,结果却是错误频出,究其原因是学生对“高”的本质没有厘清。像这种本质属性统一的概念,教师要进行结构统整,在第一节课时花力气让学生明白,之后教学中不断强化其本质。学生理解了“高”的概念本质,再以“1重2移3画4标”模型方法巩固作图技巧,就无须谈“高”色变了。

五、学以致用发展概念模型

学生虽然建构了数学概念模型,但是如果不应用于实践,它就失去了意义,而且很快会被淡忘。如果生活数学化的过程是“建模”过程,那么数学生活化的过程就是“用模”过程。模型需要在应用中不断巩固理解、深化发展。

在学习一年级下册“解决问题(谁比谁多几或少几)”时,教材出示套圈游戏情境图:小雪套中7个,小华套中12 个。学生根据信息自行提出问题:“小华比小雪多套几个或者小雪比小华少套几个?”之后,教师组织学生画图并列式解答,学生们无一例外列式:12-7。而在问到为什么用减法时,学生面面相觑,回答不出来。其实教师可以引导学生回忆减法的意义:知道了总数和一部分,求另一部分用减法。借助示意图再来理解:知道了总数(小华套中的个数12)和一部分(小华和小雪同样多的部分7),求另一部分(小华比小雪多的部分),故而用减法。这就是用减法的意义来解决实际问题,在解决问题的过程中强化和发展减法的概念模型。

再如,学习六年级上册“圆的面积”后,除进行一些必要的计算练习,还可以设计一些实践问题:“怎么计算学校中庭榕树树干的横截面面积?”学生思考讨论汇报交流:有的认为需要将榕树沿横截面砍伐,量出半径从而计算面积;有的认为只需要量出树干的周长,就能算出半径,进而算出横截面面积。在解决这样复杂的实际问题中,学生抓住圆的面积公式中半径这个关键概念,便可轻松解决问题。数学概念源于现实生活,又可用于解决现实问题,在这种数学与现实世界的双向联系中,概念建模可获得进一步发展。

在这样的教学策略下,学生对概念的理解越发清晰,越发明确,越发肯定。在学习类似的概念课时,学生就有径可循,会从生活中找素材来缓解陌生感,会通过探讨交流来推开迷雾,接近事实真理。这样从“学”到“用”恰恰反映的是学生真正学会了概念建模。