结合2022年高考谈高三数学复习

2023-04-15张永兵

中学数学 2023年3期

关键词：中心对称对称轴对称性

张永兵

⦿甘肃省白银市第九中学

为高效地进行高三数学复习，实现有效教学，让数学核心素养走进课堂，厘清深度学习逻辑的核心意蕴，笔者结合2022年高考数学试题从夯实基础知识、渗透数学文化、加强综合应用、巧用高观点结论四个方面对高三数学复习进行探讨.

1 夯实基础知识

高三数学复习应该在深度理解概念的基础上，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.对称轴或对称中心问题往往条件比较隐蔽，通常根据已知条件进行恰当地转化，得到所需的一些数值或关系式进而解题.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

解：因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2).

因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2).

因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，则f(x)+7+f(x-2)=5，即f(x)+f(x-2)=-2.

故f(3)+f(5)+……+f(21)=(-2)×5=-10，

f(4)+f(6)+……+f(22)=(-2)×5=-10.

因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f(0)=1，故f(2)=-2-f(0)=-3.

因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7.又f(x)+g(2-x)=5，故g(2-x)+g(x+4)=12，则y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称.

因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)=6.又f(x)+g(x+2)=5，于是f(1)=5-g(3)=-1.

复习总结：函数奇偶性与对称性之间的关系.

(2)若函数y=f(x+a)是奇函数，即f(-x+a)=-f(x+a)恒成立，则函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称；一般地，若对于R上的任意x都有f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立，则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.

(3)若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍.(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y=sinx，y=cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系.)

善于发现函数的对称性(中心对称、轴对称)，有时需将函数得对称性与奇偶性相互转化.

2 渗透数学文化

在高三复习中要特别注意数学文化的渗透.高考试题往往通过创设情境，改变设问方式，将数学史、数学美、数学精神与数学知识有机结合，改变以往单纯的知识性考查，体现了数学文化本身对于数学教育与数学学习的重要意义，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用.

复习启示：挖掘教材中的数学文化资源.如必修3中秦九韶算法，更相减损术；选修4-5中伯努利不等式，教材习题中的阿波罗尼圆、高斯函数，教材阅读与思考中的祖暅原理、斐波那契数列.赏析历年数学文化名题，通过创设新颖的文化背景，在新的背景中掌握并应用数学知识，发挥数学文化的育人价值，促进学生理性思维的发展.

3 加强综合应用

数学知识的综合应用是数学价值的体现.比如，比较大小是指数函数、对数函数、幂函数的重要考点.当底数相同，构造指数函数或对数函数，利用函数单调性或图象来解决；当不同底数不同指数或指对混合比较时，可以找中间量-1,0,1等.

例3(2020年全国Ⅰ卷第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解：设f(x)=2x+log2x，则f(x)为增函数.

所以f(a)

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b.

故当b=1时，f(a)-f(b2)=2>0，即f(a)>f(b2)，则a>b2.

当b=2时，f(a)-f(b2)=-1<0，即f(a)

复习突破：高考数学复习在制高点上就是数学应用，是知识能力的迁移、思维品质的发展[1].数学知识只有深度应用，才能实现知识点之间的贯通和转换，这样学生才能深刻领会知识中所蕴含的数学思想和方法，使得新型题变成了“旧”问题、“旧”知识，减少了学生对陌生问题的恐惧感，达到“一把钥匙开多把锁”的目的，从而使复习更高效.