巧借整体思想优化数学思维

钱 怡

⦿江苏省常熟中学

在数学解题教学中，教师若仅就题论题，不关注问题的整体结构，将难以应对复杂多变的数学题.在数学教学中，教师要善于用典型的综合题来引导学生运用适当的解题思路和解题方法来解决难题，进而让学生摆脱枯燥的死记硬背和生搬硬套，提升学生的综合能力[1].

利用整体思想从整体和大局出发，根据数学结构特征从整体去分析和思考，进而实现化繁为简、化难为易的转化，帮助学生厘清思维障碍，从而成功解决问题.

1 整体思想应用的重要性

首先，整体思想着眼于全局，重视整体的开发和改造，使题目经过开发和改造后结构特点更加清晰，使解题思路更加明朗，有利于解题效率的提升.

其次，运用整体思想解题时往往采用整体代入、整体换元等方法进行求解，使复杂的问题通过构造和转化变成了一个整体，这在优化解题步骤、优化数学思维上都是一个较大的提升.

最后，整体思想作为常用的解题技巧，在高中数学中被广泛地应用，如几何证明、代数式的求值等，可以帮助学生厘清解题思路，使解题变得游刃有余.

2 整体思想应用面临的问题

运用整体思想解题需要学生具有较强的分析能力、构造能力和推理能力，而这些能力往往是学生较为欠缺的.究其原因主要是在日常教学中，学生习惯于“灌输式”的强化训练，习惯于就题论题，缺乏整体的建构能力和分析能力，因此在遇到利用整体思想来解题的问题时显得力不从心，整体思想的应用步履维艰.基于此，教师的教学形式和学生的学习形式都应该有所改变，应使教学由“重知识”向“重能力”转化，使学习由“被动学”变为“主动思”.

在教学中，教师要仔细分析教材，研究章节间的联系，善于从整体出发，让学生先对相关知识点有个大轮廓的了解，之后再从局部出发进行知识的内化，以此引导学生从宏观上去把握知识，树立宏观意识，为知识体系的建构奠定基础.

3 整体思想应用的教学实践

3.1 整体代入

高考主要考查学生的综合能力，高考中若出现代入法求值的问题时，往往不是简单代入就可以直接求解的，其主要考查的应是学生的整体代入思想，因此若在求解时发现其计算量大或很难求解，就必须对比已知和结论，从已知和结论中找到联系，进而通过整体代入实现化难为简.

分析：如果求解时直接应用代入法，虽思路简单但求解困难，故该方法不可取.

3.2 整体换元

换元是数学解题的常用手段，通过换元可以实现降次、化分为整、化繁为简的目的，其在方程、函数、三角问题中的应用较多.

例2求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

评注：此题是利用sinx与cosx的平方关系，将sinx+cosx看成整体，令sinx+cosx=t，通过换元和转化，使之成为二次函数求最值的问题，从而实现了化繁为简.

3.3 设而不求

“设而不求”是整体思想的重要应用，运用该方法可以将学生从复杂的运算中解放出来，通过整体分析、联想轻松地解决问题，从计算求解升华至分析求解，有利于解题思路的优化.

例3过圆外一点P(a,b)引圆x2+y2=R2的两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程.

根据已知条件求两切点所在的直线方程首先想到的就是两点式，但求两切点坐标非常复杂，故教师带领学生选择了其他解决方法.

师：若不求切点A,B的坐标，根据已知条件你能写出两切线的方程吗？(小组合作求解)

生1：设两切点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则切线方程为x1x+y1y=R2，x2x+y2y=R2.

师：根据已知，两切线过点P(a,b)，则有x1a+y1b=R2，x2a+y2b=R2.根据以上信息你能写出直线AB的方程吗？

学生通过观察，得出直线AB的方程为ax+by=R2.

上述两种解法都应用了“设而不求”的整体思想，通过“设”为已知和未知架桥铺路.通过整体观察、分析，规避求解的过程，这样既节省了时间又避免了解题过程中可能产生的错误，有利于提高解题准确率.

3.4 整体构造

数学题目具有一定的结构特征，有些结构是“显性”的，学生可以直接利用原有认知进行求解，而有些结构是“隐性”的，需要结合已有经验进行转化才能转变为学生熟悉的数学模型.对隐性特征的转化需要学生从整体去发现、构造.

例4sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是( ).

题目乍看上去应该是应用正余弦的和或差公式求解，然仔细分析却不能直接应用，若进一步转化合并求解则会大大地增加计算量.根据题目特点可以尝试应用构造法求解.

解：设a=sin20°cos70°+sin10°sin50°，b=cos20°sin70°+cos10°cos50°，则

a+b=sin90°+cos40°=1+cos40°；

评注：因本题缺乏直接应用公式的条件，但已知条件是对称的，故可通过构造b使之与公式建立联系，进而整体求解，使解题获得了事半功倍的效果.

3.5 整体联想

整体联想主要考查的是学生的思维能力和思维习惯，通过联想、分析，实现问题的转化，从而拓展解题思路，提升解题效率.

依据常规解题方法应先求出a，b的值，然后分四种情况进行讨论，运算量较大，容易出现错误，故可尝试从整体入手分析.

评注：求解时从结论入手，将结论进行通分转化，通过观察、分析、转化，发现将a+b和ab分别看成整体，利用根与系数的关系进行求解，可避免繁琐的分类讨论，既节省了解题时间又优化了解题步骤和思路.

总之，数学题目多变，数学解题方法亦是如此，在解题时要避免就题论题的生搬硬套，要善于培养学生的观察能力、分析能力和总结归纳能力，进而从重知识向重技能转变，以此来提高解题能力，优化思维结构，提升创造力.