借助思维可视，发展空间观念——以六年级下册“图形总复习”教学为例

江苏张家港市新塍小学（215631） 赵春燕

思维可视化，是指学生通过显性的语言、文字、画图等方式将头脑中的思考过程和结果呈现出来，有利于他人直观清楚地看到解题过程和结果。笔者在教学苏教版教材六年级下册“图形总复习”一课时，以学生熟悉的长方形为切入点，让学生在“想”“画”“切”中形成空间观念。

【课前思考】

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，“图形与几何”包括“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”等；在第三学段“图形的认识与测量”的“教学提示”中指出，要引导学生在观察和操作中从度量的角度认识长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的特征，沟通立体图形之间的联系，以及平面图形和立体图形之间的联系，增强空间想象能力……在操作和转化中探索立体图形的体积和表面积的计算方法，培养学生的空间观念；在第三学段“图形的位置与运动”的“教学提示”中指出，要引导学生画出简单图形平移、旋转后的图形，以及把轴对称图形补充完整，感受图形变化的特征，动手操作，动脑想象……会从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的美。

基于以上教学理念，笔者以长方形为素材，设计了三个教学任务：第一个教学任务是让学生思考一个长方形能变成哪些不同的立体图形，以沟通平面图形与立体图形之间的联系；第二个教学任务是让学生画出长方形变成了哪些不同的立体图形，以沟通图形变化前后的特征；第三个教学任务是让学生通过“切”和“拼”算出立体图形的体积和表面积，以沟通立体图形的表象与测量之间的关系。

在整个探究和交流的过程中，笔者引导学生通过借助手势、画示意图、计算体积和说理分析等方式阐述思考过程，使学生的思维可视化。

【教学过程】

一、“想”出各种立体图形，发展学生的空间观念

空间观念主要是指学生对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。要发展学生的空间观念，就需要学生能够根据物体特征抽象出几何图形，能够根据几何图形想象出所描述的实际物体，感知并描述图形运动和变化的规律。

师：老师这里有一个长方形，在不破坏长方形的前提下，用什么方式可以把它变成立体图形？

生1：把这个长方形卷起来，它就变成一个没有底的圆柱。

生2：画线把这个长方形分成4份，沿着线折一下，就可以把它变成长方体的侧面。

师：你们讲得很有道理。还有其他方法吗？

生3：画线把这个长方形分成3份，沿着线可以折出一个三棱柱的侧面。

生4：绕着这个长方形的其中一条边旋转，可以得到一个圆柱。

生5：还可以通过平移将长方形堆叠起来，变成一个长方体。

师：这个长方形能不能变成正方体？或者说怎么样能使它变成正方体？

生6：当这个长方形的长是宽的4倍的时候，就能把这个长方形折成一个正方体的侧面了。

师：把长方形平移能变成正方体吗？

生7：不能。因为平移的这个图形是一个长方形，平移之后得到的这个立体图形的棱长是不相等的，所以得不到正方体。

学生以长方形为学习载体，通过卷折、旋转、平移等方式“变”出了圆柱、长方体和三棱柱，沟通了平面图形与立体图形之间的联系。同时，教师还引导学生思考怎样折能使长方形变成正方体，以及怎样折长方形能变成正方体，帮助学生在空间想象和手势比画中探寻长方体与正方体之间的联系和区别。

二、“画”出各种立体图形，发展学生的想象能力

画图可以将抽象的事物转化成具体且可以感知的事物，比如画线段图解决实际问题，画统计图研究变化规律，画示意图解决图形问题等。当学生经历了上一个环节中的“想”后，教师可以让他们把头脑中的“想”用“画”示意图的方式记录下来。

师：现在请你选择卷折、旋转或平移中的一种方式“变”长方形，画一画变化前后的图形，记得标上数据，让人一眼就能看出长方形与立体图形之间的关系。长方形长20厘米、宽15厘米。

生1：我是运用卷折的方法将长20 厘米、宽15厘米的长方形卷成圆柱。可以卷成一个底面周长20厘米、高15厘米的圆柱侧面，这个圆柱的底面直径大约是7 厘米。也可以卷成一个底面周长15 厘米、高20 厘米的圆柱侧面，这个圆柱的底面直径大约是5厘米。

生2：我也是用卷折的方法。我把长方形的长20 厘米平均分成4 份，每份就是5 厘米。我把这个长方形折好立起来，就可以把它卷折成长5 厘米、宽5厘米、高15厘米的长方体侧面。也可以把长方形的宽15厘米平均分成4份，每份是3.75厘米。这样就可以把长方形卷折成长3.75 厘米、宽3.75 厘米、高20厘米的长方体侧面。

生3：我绕着长方形15厘米这条宽旋转出高15厘米、底面半径20 厘米的圆柱。我还绕着长方形20 厘米这条长旋转出高20 厘米、底面半径15 厘米的圆柱。

生4：我绕着长方形20 厘米这条长的中心点旋转出高15 厘米、底面半径10 厘米的圆柱。我还绕着长方形15 厘米这条宽的中心点旋转出高20 厘米、底面半径7.5厘米的圆柱。

生5：我运用了平移的方法，把这个长方形向后平移15 厘米，左右两面和上下两面都是它的平移轨迹。得到的长方体长20 厘米、宽15 厘米、高15厘米。

师：说到圆柱，马上就会想到另一个立体图形——圆锥，它是由什么图形旋转而成的？

生6：我觉得圆锥是由三角形旋转而成的。

师（出示直角三角形，直角三角形的两条直角边分别是15 厘米和20 厘米，斜边是25 厘米）：这个直角三角形可以旋转成哪些立体图形？

生7：可以绕着15 厘米的直角边旋转，得到的圆锥的高15 厘米、底面半径20 厘米。还可以绕着20厘米的直角边旋转，得到的圆锥的高20厘米、底面半径15厘米。

师：那绕着这个直角三角形25 厘米的斜边旋转，会得到什么图形？

生8：如果绕着斜边旋转，得到的是两个圆锥叠在一起的图形。

师（出示等腰三角形，等腰三角形的腰长是15厘米，底边是20 厘米）：能把等腰三角形旋转变成圆锥吗？

生9：绕着等腰三角形的对称轴旋转可以得到圆锥，这个圆锥的底面直径就是三角形的底边，圆锥的高就是三角形的高。

教师引导学生画出把长方形卷折、旋转、平移后的立体图形，学生才发现每种操作方式都能得到多个不同的立体图形，这让学生在画图过程中发展了空间想象能力。

三、“切”出各种立体图形，发展学生的计算能力

几何图形的面积和体积离不开计算，“切”与“拼”这两种具有相反意义的动作能够把复杂的数学问题变简单，让学生在计算中体会到要根据具体问题进行分类思考。

师：把一个高10 厘米的圆柱切成两半，表面积增加了100 平方厘米，求圆柱的体积。先想一想，把这个圆柱切成两半，可以怎么切，再算出圆柱的体积。

生1：第一种方法是横着切，多出2 个横截面（底面），2 个底面一共增加了100 平方厘米，所以1个底面的面积是100÷2=50（平方厘米），圆柱的体积是底面积乘高，就是50×10=500（立方厘米）。第二种方法是竖着切，多出2 个长方形，1 个长方形的面积是100÷2=50（平方厘米）。圆柱的高是10厘米，所以底面半径是50÷10÷2=2.5（厘米），圆柱的体积是底面积乘高，就是π×2.52×10=62.5π（立方厘米）。

师：把圆柱切成两半，有横切和竖切两种切法，那么把圆锥切成两半可以怎么切？它切开后的截面是什么图形？

生2：圆锥切成两半可以竖着切，切出来的截面是三角形，这个三角形的底是圆锥的直径，高是圆锥的高。

师：把长方体切成两半可以怎么切呢？用手势比画一下。

生3：第一种是竖着切，增加了左右两个面；第二种是横着切，增加了上下两个面；第三种是前后切，增加了前后两个面。

师：把正方体切成两半，也有三种切法，可以怎么切？

生4：可以竖着切、横着切、前后切，都会增加两个面，但是每种切法增加的两个面都是一样大的，和正方体的一个面同样大。

师：如果切成两半是增加两个面，那么拼合起来就是减少两个面。

教师先借助思维可视化的理念，引导学生画出立体图形并标上数据，给学生解决图形切割问题和计算立体图形的体积带来了便利；再引导学生分析把圆锥、长方体和正方体切成两半的情况，借助手势比画呈现思考的结果；最后，教师巧妙地引出“拼”是“切”的对立面，学生发现“切”与“拼”之间的互逆关系。

【教学反思】

一、单一素材有助于聚焦学习内容

这节课中教师没有使用花哨的导入情境和教学课件，而是开门见山地出示了“长方形”，带领全班学生一起思考“在不破坏长方形的前提下，用什么方式可以把它变成立体图形”这个数学问题。教师根据学生的回答画出立体图形的示意图，以思维导图的方式呈现了学生的学习过程，真可谓每个字和每个立体图形都是本节课的教学重点。

二、单元串联有助于学生综合应用

这节“图形总复习”串联起了苏教版教材四年级下册第七单元的“平移、旋转”和“轴对称图形”、六年级上册第一单元“长方体和正方体的特征”和“长方体和正方体的表面积、体积”、六年级下册第二单元“圆柱和圆锥的特征”和“圆柱的侧面积、表面积和体积，圆锥的体积”等内容，有助于提高学生灵活地解决综合问题的能力。

三、思维可视化有助于学生说理分析

思维可视化的方式主要包括语言、文字和画图等。学生用多种方式展示自己的思考过程，这有利于学生准确地给示意图标上对应的数据，在示意图上记录下自己的思考痕迹，结合示意图给同伴进行清晰地讲解，也有利于教师了解学生的思考过程和思考方法。这节课中每个学生都做到了言之有物、言之有理、言之有情、言之有序，让思维可视化的功能发挥出最佳效果。

总之，数学知识具有螺旋上升、紧密衔接等特点。在教学“图形总复习”时，采用以点带面、以面带全的方式整合立体图形的认识与测量、图形的位置与运动等知识，学生看到了立体图形之间的关联，也体会到思维可视化在学习图形与几何领域的便利性，他们的空间观念和空间想象能力自然得到了发展。