实施新教材后开展新课程教学的思考

张萍 孙孜

摘 要：苏教版和人教A版教材在“平面向量”这一章编写上有诸多不同，文章立足数学课程标准，从编排顺序、章首语情境、内容变化、单元小结等角度进行对比分析.面对新教材，教师在实施新课程教学中，应当优化自己的教学，时刻关注学生核心素养的培养.

关键词：数学课程标准；平面向量；人教A版；苏教版

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《数学课程标准》）在某些教学内容的要求上有了变化，同时与2017年版课标配套的教材也在全国逐步使用.那么在新一轮课程改革的背景下，如何准确把握新教材的教学内容、开展新课程教学呢？笔者以为：在实施具体内容教学之前，首先应当通过学习、研究《数学课程标准》，理解教学内容的地位、价值与目标要求；其次，对新、旧教材进行比较研究，把握新、旧教材的联系与区别，并在此基础上，设定教学目标、开展教学设计、确定教学策略，实施课堂教学，这样才能精准地把握《数学课程标准》要求，达成教学目标.下面以“平面向量”为例，分享开展新课程教学的实践与思考.

1 研究课标，深刻理解教学内容

在开展教学设计前，首先要学习研究《数学课程标准》，理解教学内容在整个高中数学知识体系中的地位、价值，准确把握相应内容的教学要求，并理解《数学课程标准》关于该内容的教学提示.

《数学课程标准》将高中数学课程内容划分为如下四条主线——“函数”“几何与代数”“概率与统计”和“数学建模活动与数学探究活动”.“几何与代数”这一教学主线，起着突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过“形”与“数”的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性理解的作用.“平面向量”作为“几何与代数”主线的第一个教学内容，体现了向量作为沟通代数与几何问题的桥梁作用.《数学课程标准》对平面向量内容作了如下阐述：

1.1 平面向量的地位和作用

《数学课程标准》指出：“向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数的研究对象，也是几何的研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础.在解决实际问题中发挥重要的作用”［1］.

从《数學课程标准》对“平面向量”的地位和作用的论述，可以发现：

（1） 向量具有“数形兼备”的特点，利用向量可以实现“形”与“数”之间的有效沟通.尽管向量是从“数”与“形”两个不同的角度去表征数学对象，但是它们的表征结果却是完美统一的.从而让学生逐步形成辩证思维，学会从不同的角度观察、分析、解决问题.

（2） 向量具有工具性的价值，是后续学习的工具，对解决实际问题有重要的作用.

1.2 平面向量的教学要求

《数学课程标准》对平面向量内容提出了如下的要求：“本单元的学习，可以帮助学生理解向量的几何意义与代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量的基本定理以及向量的应用；用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题”［1］.

1.3 平面向量的教学提示

《数学课程标准》对平面向量内容提出了相应的教学提示：“在平面向量及其应用教学中，应从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异，可以通过力的分解引出向量基本定理，建立基的概念和向量的坐标表示，可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题.例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所作的功，利用向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等，对于向量的非正交分解只要求学生了解，不必展开”.

教学提示的核心建议老师们关注实际情境，从物理、代数、几何等角度（并非单一角度）理解向量的概念和法则.这样有利于学生明白向量源于实际问题，在学习掌握了相应概念和法则之后，又可应用于实际问题.从而，能够帮助学生更好地理解向量的工具性价值.

2 分析教材，选择组织教学材料

在进行教材分析时，建议老师们能够比较、分析不同版本的教材在教学内容的呈现方式的异同，选取、组织教学材料，真正地做到用教材而非教教材.2017年版的人教A版教材和苏教版教材在平面向量内容的呈现上有如下特点：

2.1 向量在教材中的章节位置不同

苏教版将“平面向量”这一内容穿插在“三角函数”与“三角恒等变换”之间，为什么这样安排呢？其目的是引导学生用向量的数量积来推导两角差的余弦公式及解三角形中的正弦定理和余弦定理，发挥平面向量的工具性价值.

人教A版将“三角恒等变换”这一章并入“三角函数”合为第五章“三角函数”，通过单位圆上两点间的距离公式证明“两角差的余弦公式”；把“解三角形”作为“平面向量的应用”并入第六章“平面向量”，利用向量来证明正（余）弦定理.在学习了平面向量后，再通过例题证明“两角差的余弦公式”.

虽然两个版本的教材对向量内容设置先后顺序有所不同，初次证明“两角差的余弦公式”也略有区别，但随着教材内容的推进，都十分重视平面向量的工具性价值.因此，在实施教学的过程中，可以根据所选教材的知识与逻辑顺序开展教学，避免过大幅度的内容调整.

2.2 章首语使用的情境内容和连续性不同

人教A版的章首图通过物理概念的“位移”来引入“向量”概念，而苏教版是通过物理概念的“力”来引入“向量”概念.无论是“位移”还是“力”，本质上都是“矢量——既有大小又有方向的量”，并在此基础上抽象为数学的“向量”概念.这两个版本的教材都遵循了《数学课程标准》的要求，关注到物理学与数学的联系，利用物理学相关内容为“向量”概念的生成创设合适的情境.

人教A版和苏教版在章首语的应用上又有所区别：苏教版将章首语中的“力”贯穿到本章的问题情境中，先由“力”生成“向量”概念，再由“力的合成”生成“向量的运算”，最后由“力做功”生成“向量的数量积”.苏教版之所以这样设计，旨在通过章首语的情境，构造一个学习平面向量的大情境，使得本章所学的知识点都围绕章首语的情境而展开，为实施单元教学做好铺垫.而人教A版则是从平面向量运算出发，通过类比数的运算，引导学生对向量的运算进行探究，从而建立向量的运算体系.其设计意图是关注数的本质，即向量既是形，又是数，从“数”“形”两个方面进行数学运算，符合《数学课程标准》的观念——“引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异”.

在进行该部分内容教学时，可以将两个版本教材的呈现方式加以合理的“组合”：在情境创设上，选用苏教版的呈现方式；而在向量运算的教学时，可以选用人教A版的呈现方式.

2.3 向量的夹角概念的引入节点不同

苏教版将“向量的夹角”这一概念从“向量的数量积”中移至第一节课“向量概念”中；而人教A版则出现在“向量的数量积”这一节.苏教版为什么会做这样的改变？编写者的意图是什么？笔者认为，尽管向量的夹角较多地应用于向量的数量积中，但是在学习共线向量时，往往有不少学生，对“两个向量夹角为0°或180°时，两个向量即为共线向量”这一结论的理解存在困难，苏教版在建立了共线向量概念后，紧接着就给出了向量的夹角的概念，可以帮助学生运用向量的夹角直观地理解“共线向量、相反向量以及相等向量”等一系列概念.此处向量夹角的概念前移，还合理分散了“向量的数量积”的教学难点.

在教学中，建议采用苏教版的呈现方式，在第一节课“向量概念”的教学时，就进行“向量的夹角”的教学.

2.4 投影向量的证明方式不同

由于《数学课程标准》对向量的数量积提出了新的要求：“通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影的几何意义”［1］.苏教版将“向量的投影以及用投影向量证明向量数量积的分配律”由选修内容变成了正式教学内容.

在建立“投影向量”的概念时，两个版本的教材都对两个非零向量a与b的夹角进行了讨论（如图1），不仅画出了向量a在向量b上的投影向量OA1，还借助于图形，得到了向量a在向量b上的投影向量这一表达形式OA1＝（|a|cosθ）b｜b｜，随后对θ＝0，π2，π加以验证.这样，从“形”和“数”两个角度探究投影向量几何表示与代数表达.

两个版本的教材在细节上也有所差异：第一，人教A版首先引入了与b向量方向相同的单位向量b|b|这一概念，再结合向量共线定理，探究向量a在向量b上的投影向量OA1的模和符号，这样的处理更易于学生理解；苏教版则是将向量a在向量b上的投影向量OA1，直接表示成（|a|cosθ）b|b|，并对b|b|做了边注b|b|为向量b方向上的单位向量.笔者以为，这样的处理略显突兀，可能会导致学生难以理解这一内容.第二，在利用投影向量证明向量数量积的分配律时，苏教版利用向量加法的三角形法则来加以证明；而人教A版则是利用向量加法的平行四边形法则，并利用投影向量几何意义来加以證明.相比较而言，苏教版呈现出的图形和证明过程较为简洁.

在进行上述内容教学时，可以根据学生的实际情况，选取恰当的方式进行教学.

2.5 例题和习题都有变化

人教A版在例题和习题的题型设置上较为丰富，包括画图题、选择题、判断题和解答题这4种题型，苏教版有画图题、选择题和解答题这3种题型.两个版本的教材都将习题难度划分为三个水平——易、中、难.人教A版分为“复习巩固、综合运用、拓广探索”，苏教版则分为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”.如前所述，人教A版将“两角差的余弦公式的证明”作为平面向量数量积应用的例题，体现平面向量的工具性价值；苏教版在习题中配备了阅读题，旨在培养学生的阅读理解和提升学生的自主学习能力.无论是人教A版还是苏教版，都在例题和习题方面进行了创新，在例题呈现和习题设置上均有变化，让例题和习题更好地为师生的教学服务.

在选择例题和习题时，可以依据学生的水平，从不同版本教材中合理选取.

2.6 都关注数学文化的渗透

人教A版和苏教版在本章的学习内容结束之后都设置了“阅读”栏目，苏教版侧重于让学生了解向量发展的历史，引导学生将平面向量的知识与方法迁移到空间向量，为后续的空间向量学习进行铺垫；而人教A版则重点介绍了我国古代数学家秦九韶的“三斜求积”公式和古希腊数学家的“海伦公式”，并且启发学生对两个公式进行证明.两个版本教材都体现了数学文化的渗透.

《数学课程标准》指出“数学文化融入课程内容”，“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的共线和意义，以及与数学相关的人文活动”.因此，在教学中，要始终坚持将数学文化与教材内容进行有机融合，实现立德树人的课程目标.

2.7 单元小结各有特色、新意

苏教版的“本章回顾”主要用框图的形式呈现本章知识结构，对本章的学习内容和学习方法进行概括总结；人教A版在本章结束之后，安排了“本章知识结构、回顾与思考”这两个环节，其中“本章知识结构”以图表的形式呈现了本章内容及逻辑关系，“回顾与思考”则以问题的形式驱动学生对本章内容进行复习回顾，并进一步感悟其中的思想方法.

在单元复习小结时，可以选用不同版本教材的章末总结，对所学内容进行复习.

3 优化教学，重视培养核心素养

《数学课程标准》提出了“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六大核心素养，并且指出“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现”.因此，在新课程教学中，不仅仅要关注“四基”，还应当时刻关注培养学生的核心素养.

3.1 创设情境，培养数学抽象能力

数学抽象是数学学科最重要、最根本的素养，在平面向量的教学中，要积极地创设实际生活或者物理学的问题情境，培养学生的数学抽象能力.例如在建立向量概念时，可以通过分析力、速度、加速度、位移的共同特征（既有大小、又有方向），再比较这些量与距离、身高、路程、质量等量的区别（只有大小，没有方向），在此基础上，从物理学和实际问题中抽象出平面向量的概念.

3.2 发展四能，形成数学建模意识

在学习过程中，尤其在新概念建构过程中，不只是得到概念，更重要的，是要发展学生的“四能”，特别是发现和提出问题的能力.

在学习了向量的概念和运算之后，还要设计例题和习题，引导学生利用向量解决物理、几何以及其它的实际问题，培养学生建模意识和解决实际问题的能力.

3.3 问题驱动，提高逻辑推理水平

提高学生的逻辑推理水平，是数学教学一项极其重要的任务.在教学中，要通过问题来驱动学生的思维，让学生在分析问题和解决问题的过程中，逐步发展逻辑思能力.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 苏静霞，马绍文.基于“综合与实践”活动培养学生发现和提出问题的能力［J］.数学之友，2022，36（1）：16-18.

［3］ 许荣好.分形几何在高中数学中的渗透［J］.数学之友，2022，36（1）：58-59.

［4］ 刘艳鲜.利用Geogebra开展线性规划问题探究例析［J］.数学之友，2022，36（1）：77-79.