初中数学函数应用题解题策略

邹丽琴

摘 要：函数是初中数学的重难点，对學生的逻辑思维能力、抽象思维能力都提出了更高的要求.应用题是函数知识在现实中的应用，学生需要从实际问题中抽象出具体的函数问题，并运用相关的知识和技能进行求解.本论文就以此切入，分析了当前初中生在解答函数应用题时面临的诸多障碍，接着结合具体的应用题，针对函数应用题的解题方式进行了详细的探究，并据此调整课堂教学方案，循序渐进提升初中生的函数应用题解题能力.

关键词：初中函数；应用题；解题策略；课堂教学

在最新的《义务教育数学课程标准》中，确定了函数是对现实世界数量关系进行刻画的重要数学模型，旨在引导学生通过对变量之间的对应关系、变化规律的探究，掌握运用函数模型解决实际问题的方法，并从中感悟函数的应用价值.同时，鉴于函数的内涵，学生在对函数探究的过程中，也促进了数学思维能力的全面发展.在函数学习中，应用题是其重要组成，不仅涉及知识面广，且与学生的实际生活密切相关，对初中生的基础知识、思维能力均提出了更高的要求.鉴于此，全面加强函数应用题教学已成为一线教师关注的重点.

1 初中函数应用题解题要求与现状分析

1.1 初中函数应用题解题要求

鉴于初中函数应用题的内涵，对初中生的解题提出了更高的要求：

首先，具备扎实的基础知识.学生解答函数应用题目之前，必须要具备扎实的数学基础知识，能够将其串联成为系统化的知识体系.明确一次函数、二次函数、反比例函数的基本概念、性质、函数图象等.只有做到这一点，学生在解答函数应用题时，才能灵活运用基础知识，从不同的角度进行切入，形成不同的解题思路.

其次，应具备极强的审题能力.鉴于函数应用题的内涵，学生在解题之前，必须要具备极强的审题能力，认真厘清题目中的已知条件，分析其中蕴含的数量关系，最终从现实问题中将函数关系抽象出来，进而运用相关的知识进行解答.

1.2 初中生函数应用题解答障碍

结合调查数据显示，当前初中生函数应用题解题能力低下，暴露出诸多问题：

第一、审题能力低下，在题目阅读理解中面临诸多障碍.审题是解题的基础与关键，直接决定了后续的函数应用题目解答.在调查中发现，多数学生在审题时，都存在不够仔细、不够全面的问题，甚至在读题目时一发现有价值的线索，就慌忙进入到解题中；还有部分学生在审题时，还存在思路混乱、不够清晰的现象，甚至难以在审题时发现知识点的内在联系，无法运用所学的知识解答题目.

第二、粗心大意，对应用题目加工、处理不够严谨.鉴于函数应用题的内涵，在解答题目时，学生必须要从现实中将数学问题抽象出来，以便于学生运用所学的知识进行灵活解答.但学生在实际解题中，部分学生常常因为粗心大意，对题目加工、处理比较浅显，致使其在解题时常常出现化简错误、解答错误、自变量取值范围错误等，严重制约了初中生的函数应用题解答能力.

2 初中数学函数应用题常见解题方法探究

2.1 基于待定系数解答题目

待定系数法在初中函数应用题解答中尤为常见.通常，当函数应用题目在题设中明确了两个变量值存在二次函数关系，以及具体存在的几对变量值，并在此基础上对函数解析式进行解答.此时，即可灵活运用待定系数法进行解答.

例1 超市中某种商品的进价为20元.经调查显示，该商品每天的销售量为ω台，每天销售单价是x元，已知ω满足ω=-2x+80，假设该商品每天的销售利润为y元.

求：（1） x、y之间的函数关系式？

（2） 该商品销售单价是多少时，每天可获得最大利润？最大利润会达到多少？

（3） 在保证销售量的基础上，如果超市要想从该商品中获得150元的利润，则商品的销售单价应确定为多少元？

解析：这是二次函数在实际生活中的应用，极具实际意义.学生在解答这一问题时，不仅要认真审题，理清其中的数量关系，还应灵活利用待定系数的方式，完成题目的求解：

（1） 结合该商品每天的销售利润、每天销售的数量，即可得出x、y之间的函数关系式：y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

（2） 在这一问题解答中，应以上一问题为基础，结合所求出的二次函数以及函数的图象和性质，求出其最大利润值与销售的单价.因为y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，结合二次函数的性质即可得出，当x=30时，y最大=200.

（3） 在求这一问题时，即可运用待定系数法，将y=150代入函数中，则有-2（x-30）2+200=150，求出对应的x值，x1=25，x2=35，又因为销量ω=-2x+80，因此当x=25时，不仅可以达到最大的销量，还可以保证每日的销售利润达到150元.

2.2 基于数量关系解答题目

函数应用题目与学生的实际生活紧密相连，常常置于实际生活情境中.鉴于此，在解决这一类函数应用题时，必须要认真分析题目内容，分析其中蕴含的数量关系，并基于此形成本题的解答思路.

例2 在建设“五个重庆”的项目中，为了给当地的居民构建一个宜居的环境，规划修建了一个文化广场（如图1所示）.该广场以ABCD作为矩形，分别以四条边为直径，向外做半圆.假设整个广场的周长为628m，假设矩形的边长AB为ym，BC为xm.

（1） 运用含有x的表达式将函数y表示出来.

（2） 根据计划，在ABCD矩形内，种植花草铺设鹅卵石，每平方米的造价为428元.在四个半圆之内种植花草铺设花岗岩，每平方米的造价为400元.

① 假设工程费为W元，求关于x的函数关系式？

② 假设投入1000万元的成本，是否能够达到预期的建设目标？若可以请列出设计方案，若不能请说明理由.

解析：这一题目就以实际问题作为背景，理清题目中的数量关系，是解答这一问题的关键.针对（1）来说，可利用分割的方式，将本题目的图形进行拼凑，之后运用圆的周长计算公式即可解答，即：根据题干中的已知条件得知：πy+πx=628，即：3.14y+3.14x=628，又因为x+y=200，所以y=200-x.

针对第（2）个问题来说，可结合图形的特点，求出其铺设的面积，即可获得该工程的总造价.即：

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24+400× 3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

之后，即可运用配方法求出最小值，并对结果进行验证，即：将W=200（x-100）2+1.056×107＞107，因此假设不成立，投入1000万元的成本，无法达到预期的建设目标.

2.3 构建模型解答题目

在解答函数应用题目时，可立足于数学模型的角度，运用函数的图象与性质，以此打开解题的突破口.这一方式在日常解题中尤为常见，同时也对学生提出了更高的要求.

例3 如图2所示，已知抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0），与x轴相交于A、B两点，且A在B的左侧，与y轴相交于C点.将该抛物线绕着B旋转180°，即可获得一个新的抛物线n，C1为顶点，并与x轴相交的另一点为A1.

求：（1） 当a=-1，b=1时，写出抛物线n的解析式.

（2） 四边形AC1A1C属于哪一类的四边形？判断并说明理由.

（3） 假设四边形AC1A1C为矩形，求解a、b满足条件的关系式？

解析：本题目极具综合性，对平行四边形性质、矩形性质，以及函数知识进行了考察.在解答这一问题时，即可借助构建数学模型的思想，结合题目中的已知条件、相关图形，据此利用函数的图象与性质进行解答.

针对第（1）问来说，根据题干中的已知条件，先将a=-1，b=1代入，把抛物线m的解析式求出来，即：y=-x2+1，令x=0，則有y=1.

因为C点的坐标为（0，1），令y=0，则有x=±1.

又因为C1点和C点关于B点中心对称，因此抛物线n的解析式为y=（x-2）2-1=x2-4x+3.

在解答第（2）问时，可从AA1、CC1分别关于B点中心对称，因此即可得出AB=BA1，BC=BC1，因此四边形AC1A1C属于平行四边形.

在解答第（3）问时，可依据矩形的性质，要想保证四边形AC1A1C是矩形，则应满足条件AB=BC，由此即可形成本题的解题思路：

令x=0，则y=b，因此C点的坐标为（0，b），

令y=0，即可得出ax2+b=0，所以x=±-ba.

即A点的坐标为--ba，0，B点的坐标为-ba，0.

因此AB=2-ba，BC=OC2+OB2=b2-ba.

要想使得四边形AC1A1C是矩形，则必须要满足AB=BC.

即：2-ba=b2-ba，经化简得知4-ba=b2-ba，即ab=-3.

因此，要想得四边形AC1A1C是矩形，则应满足ab=-3.

2.4 基于分段处理解答问题

在函数应用题目中，常常会遇到一些特殊的题目，这些题目中所有的条件都是分段给出的，在针对这一类型的应用题目进行解答时，重点是确定出分段的临界点，借助分段的形式，分别确定函数关系式，并借助“逐段求解、再取最值”的思路进行求解.

例4 某商品进行了为期30天的预售.已知该商品进货的价格为20元，经过预售之后发现，每天的销售量m和销售时间x之间存在函数关系：m=-2x+80，x∈［1，30］，x为整数.在前20天之内，每一件商品的销售价格n和销售时间x之间的关系为n=x2+30，x∈［1，20］，x为整数.在之后的10天以内，每件商品的销售价格k和销售时间x之间的关系为k=45，x∈［21，30］，且x为整数.

求：（1） 该商品每天销售利润l和销售时间x之间的关系式是什么？

（2） 在预售期内，哪一天的利润最大？且最大利润为多少？

解析：在本题目中，即可结合题目中所给出的已知条件，融入“分段处理”的思想，在各个定义域内，求出不同的函数解析式，进而结合函数图象和性质进行针对性的解答.

在对第（1）问进行解答时，按照这一思路，结合x的定义域，得出不同定义域中的函数解析式，即：当x∈［1，20］时，每天销售利润l和x之间的解析式为：l1=（-2x+80）x2+30-20=-x2+20x+800，x为整数；当x∈［21，30］时，每天销售利润l和x之间的解析式为：l2=（-2x+80）（45-20）=-50x+2000，

因此，综上所述，每天销售利润l和销售时间x之间的关系式是：

l=-x2+20x+800（x∈［1，20］，且x为整数）

-50x+2000（x∈［21，30］，且x为整数）.

在解答第（2）问题时，必须要结合分段函数，结合不同函数的图象和性质，求解最值并展开对比，最终得出最佳的答案.

当x∈［1，20］时，x为整数，l1=-x2+20x+800，由于该二次函数的对称轴为x=10，且10在定义域之内，此时存在最大值，即：l最大=l（10）=900.

当x∈［21，30］时，x为整数，l2=-50x+2000，由于该函数属于单调递减函数，当x=21时，该函数存在最大值，即：l最大=l（21）=950.

综上，当x=21时，每天销售利润l存在最大值，为950元.

3 基于函数应用题解题教学启示

鉴于函数应用题解题的要求，以及不同的解题方法与思路，初中数学教师唯有据此调整课堂教学方案，借助针对性的函数教学，全面提升初中生的函数应用题解题能力.

首先，加强基础知识教学.初中函数应用题目复杂多样，学生在解题时常常出现混淆的现象.鉴于此，要想真正提升初中生的函数应用题目解题能力，学生唯有掌握扎实的基础知识，才能奠定坚实的解题基础.鉴于此，在日常教学中，不仅要重视基础知识教学，还应帮助学生对其进行梳理，必要时可借助思维导图这一工具，将函数知识整合到一起，使其形成系统化的知识体系，以便于学生形成清晰地知识架构.

其次，强化学生的审题能力.审题是解答函数应用题目的关键.尤其是针对函数应用题目来说，数学语言十分精练，并且极具抽象性，具备丰富的内涵.鉴于此，在日常解题教学中，应加强学生的审题教学，如：引导学生在阅读中掌握主要概念，在审题中借助画图的方式明确题目的数量关系，在审题中通过头脑进行转换等.如此，经过一段时间训练之后，学生的审题能力也随之提升.

最后，强化学生的数学思维.在解答函数应用题目中，学生的思维至关重要.鉴于学生在解答函数应用题目中所需要的数学思想等，教师在日常教学中，应着重强化学生的解题思路，使其总结各种思想方法，最终在针对性的思维训练中，逐渐形成一定的解题能力.

4 结束语

综上所述，函数应用题在初中数学中尤为重要，也是考试的热点和重难点.鉴于此，初中数学教师不仅要重视函数应用题教学，还应立足于学生在解答题目时面临的障碍，结合不同类型的函数应用题，采用不同的解题方法，使得学生在日常学习中逐渐掌握基本的解题思路和技巧，循序渐进提升自身的数学解题能力.

参考文献：

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