苏教版与人教A版高中数学教材平面向量章节的比较与思考

朱晓祥

摘 要：本文对照课标要求，通过对苏教版和人教A版高中数学教材中平面向量内容的章节地位、章节内容设置、知识处理方式等的比较，提出概念引入情境化、运算体系几何化、知识应用体系化等教学思考.

关键词：苏教版；人教A版；平面向量；章节比较

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《课标2017》）提出：向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量同时具有代数、几何特征，为代数与几何的研究架起了一座沟通的桥梁.向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用［1］.为了进一步探究向量究竟是一个怎样的数学对象和基本工具，进而引导课堂教学，笔者对苏教版和人教A版高中数学教材中平面向量章节进行了比较，特别是對向量与几何、代数和三角函数之间的互通进行比较，探寻教材中发展数学核心素养的落点，并基于结果得到相应的启示.

2 两个版本章节特点的比较

2.1 章节地位

《课标2017》明确指出，高中数学课程以“函数”“几何与代数”“概率与统计”及“数学建模活动与探究活动”四条主线设计并开展教学.其中，“几何与代数”这一主线的开篇是有关平面向量的内容.苏教版教材“平面向量”在必修二第9章，安排在第10章“三角恒等变换”、第11章“解三角形”、第12章“复数”之前.人教A版教材“平面向量”（含解三角形）在必修第二册第6章，安排在第5章“三角函数”（含三角恒等变换）之后，第7章“复数”之前.教材这样编排，是在学生已经学习了高中阶段大部分代数知识之后，实现几何、代数和三角函数间的互通，同时，对后面学习复数、空间向量和平面解析几何内容起了铺垫作用.

两本教材的相同之处是都重点突出了向量在连结代数和几何中不可替代的作用.两本教材的不同之处是“三角恒等变换”与“平面向量”两部分内容顺序相反.苏教版侧重向量工具在研究“三角恒等变换”中的应用，而人教A版教材则侧重对三角函数整体知识体系的建构.

2.2 章节内容设置

2.2.1 知识涵盖范围

两本教材在知识涵盖范围上有一个差异，人教A版教材在“6.4平面向量的应用”部分增加了“正弦定理”和“余弦定理”两节内容；苏教版则是在本章和三角恒等变换之后独立成章.人教A版从“方法和功能”的角度，侧重平面向量在平面几何，特别是三角形中的应用；苏教版从“知识和素养”的角度，突出了单元整体教学.教师在使用苏教版教材教学过程中，可以针对性地设计主题教学和单元整体教学，持续性、阶段性地渗透核心素养的培养.

再者，在2004年出版的苏教版教材中，并没有对投影向量进行介绍，只是在课后阅读材料部分介绍了“向量b在向量a方向上的投影”这一概念.而两本教材在平面向量的数量积这一节内容中，都对“投影向量”进行了介绍，并从代数与几何两个角度进行了阐述，为学生进一步理解向量数量积的几何意义提供了思考方向，也为解析几何的教与学作了铺设.教师在教学过程中要充分发挥教材功能，不仅要加强数学知识内部的联系与综合，从向量的角度研究几何图形及其关系，也要加强学科之间的联系，用向量的思维解决物理等跨学科问题，从而使学生从教材走向生活，发展相应的关键能力与核心素养.

2.2.2 知识设置顺序

从章节具体内容和编排顺序来看，苏教版教材中“向量平行的坐标表示”紧跟“平面向量数量积的坐标表示”，而人教A版教材则将该内容放在“平面向量数量积的坐标表示”之前.笔者认为，苏教版教材突出的是“方法”主线，强调向量的工具属性在处理垂直与平行这两个特殊几何位置关系中的作用；人教A版突出的是“知识”主线，侧重对向量共线定理的几种不同的解读.相对于各自的旧版本，两本教材都做了一处同样的调整：新教材将向量的运算集中安排，再将向量的坐标表示进行整体研习，不同于以往将向量的运算与向量的数量积分开编排.教师在教学过程中，可利用学生认知层次与结构特征，体现概念的整体与层次的关系，开发学生整合、迁移与发展新知的能力.

2.3 知识处理方式

2.3.1 概念引入

数学概念的引入要讲背景［2］.从表1可以看出，两本教材的引入都侧重了向量的物理背景.通过对力、位移、速度等物理量进行抽象，引入了向量的概念.通过对比还可以发现，两本教材在向量的概念这一节都配了大量的插图（均为8个），在体悟几何直观的同时深刻理解代数运算的科学性，辨析形与数的内在关联，同时为全章借助物理背景，从几何、代数两个角度展开向量内容的研究做出铺垫，形成了贯穿全章的两条主线.这样的设置有助于提升学生数学抽象素养.

2.3.2 例题

从表2可以看出，两本教材都侧重以几何图形为背景的例题，同时涵盖一定数量的物理背景类例题.可见，两本教材在例题的设置方面注重贯彻课程标准中与现实生活和相关学科联系的思想，注重在研究几何图形位置关系和数量关系中的向量方法，注重在表达问题、解决问题时的向量思维，注重在观察世界时的向量意识，感悟向量的工具属性.

从整个单元体系来看，在例题设置过程中，也遵循了学生的认知规律和单元逻辑.具体如图1所示.

3 几点思考

3.1 概念引入“情境化”，培养学生数学抽象的核心素养

数学学科核心素养通常是在综合化、复杂化的情境中，通过个体与情境的有效互动而生成.数学学科核心素养的形成与发展需要在教学活动中利用创设合适的教学情况、运用恰当的教学方式，引导生成符合学情的数学思维来落实.由表1可以发现，两本教材在概念建构的过程中，均以符合学生生活经验的案例为引，创设丰富的情境，遵循“具体到抽象”或“特殊到一般”的数学思维，从大量的实际背景中抽象出概念.

以苏教版教材为例.在“向量的概念”一节中，教材给出如下情境引入：

把木块放置在光滑的斜面上，根据物理学知识知道，斜面上的木块受到两个力的影响：重力G与斜面的支持力N.重力的方向指向地心，支持力的方向与斜面垂直.木块在重力与支持力的合力作用下，会沿斜面向下运动，其运动的加速度为正，下滑的速度越来越快.木块滑动后就会产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化.力、速度、加速度、位移这些量有什么共同特征？

在“向量运算”一节中，教材给出一个相同的情境：

把木块放置在光滑的斜面上，重力G与斜面的支持力N的合力是一个沿斜面向下的力，因而，木块向下滑动.如果斜面不光滑，斜面就对木块产生摩擦力f.这时，木块的运动状态就取决于G，N，f的合力.

从运算角度看，求几个力的合力就可以看作是对几个向量实施某种运算的结果.换句话说，向量与实数一样也能进行运算.那么，向量如何进行运算呢？

通过研究还可以发现，在“平面向量基本定理”“向量的数量积”等概念的引入时存在着丰富的物理背景.因此，教师在教学中可以将物理情境作为重要的科学情境贯穿向量教学始终，并不断深化数学抽象与数学建模素养.

3.2 运算体系“几何化”，培养学生直观想象的核心素养

直观想象具体来说就是借助几何直观和空间想象，感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.其本质是将相对复杂、抽象的问题“图形化”.向量的运算教学时，教师在授课过程中要注重从形和数两个方面来构建向量的运算体系，特别要注意借助形的角度处理向量的运算，体现运算的“合理性”，逐步培养学生把“有向线段”作为运算基本元的意识.比如：向量线性运算教学时，教师既要讲运算法则和运算律的代数表示，也要强化其几何意义，但其最终结果仍然是向量，让学生从中得到启发并给出定义，培养学生直观想象的素养.

以人教A版教材为例，教材P37出现了这样一道习题：

设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向方向相同的单位向量.若向量OP＝xe1+ye2，则把有序数对（x，y）叫做向量OP在坐标系Oxy中的坐标.设OP＝3e1+2e2.

（1） 计算|OP|的大小；

（2） 根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.

教师在讲评时要注意让学生体会这样两点：一是向量的坐标表示起源于几何；二是向量几何虽然可以在直角坐标系的基础上进行坐标运算，但它并不依赖于直角坐标系，不选用规范化的“基底”，同樣可以以基向量作为“基本元”进行运算.

3.3 知识应用“体系化”，培养学生逻辑推理的核心素养

逻辑推理是数学严谨性的基本保证和数学交流活动的基本思维品质.在学习向量之后，要有意识地将其与三角恒等变换、平面解析几何、复数等内容进行有机联系，体悟向量在处理三角、几何、代数等各种不同数学分支问题中的桥梁作用.在梳理主线与板块知识内在逻辑关系基础上，整体把握并重构知识结构，避免数学内容的“碎片化”，实现数学认知的“整体性”和“体系化”，提升学生逻辑推理素养.

两本教科书在编写习题以及后续学习内容时，都充分注意了这一点.以人教A版教材为例，P37出现了这样两道习题：

1. 求证：以A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6）为顶点的四边形是一个矩形.

2. 用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

两道习题都意在突出向量的应用价值.因此人教A版教材把余弦定理和正弦定理放在本节中，在探索三角形边长与角度之间的关系时突出向量运算及创新思维，彰显向量应用价值.

纵观整个章节体系，数学研究方法由几何直观法和演绎法，转变为与代数相联系的坐标法和向量法，这与几何学的发展相一致.为后续解析几何问题的解决提供了方向与支点.

以人教A版中“直线和圆的方程”为例，教材充分发挥了平面向量及其方法在研究几何图形性质方面的作用.例如：倾斜角的概念创新性地以直线的方向向量引入；过两点的直线斜率公式推导借助向量方法以及由具体到抽象、由特殊到一般的思维形式构建直线倾斜角的正切值、直线斜率k及其方向向量（1，k）或（x，y）其中k=yx之间的关系；在“探究与发现‘方向向量与直线的参数方程”中，教科书通过直线的方向向量，建立了直线的参数方程，明确参数方程中参数的意义.

对比教材并思考不同版本教材对核心知识的编排顺序、习得情境、例习题选择以及阅读材料的选取，结合课改要求与课标理念挖掘编写组意图，将有利于一线教师在课堂教学中更好地落实培养学科核心素养的目标.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建跃.利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律［J］.数学通报，2020（12）：4-13.