经历知识形成过程 方能领悟数学思想

［摘  要］ 以“用转化策略解决问题”的教学为例，教师教学时要加强学生的学习活动体验，让学生经历思想方法形成的过程，才能使数学思想的教学变成一种真实的、有效的学习内容。与此同时，教师需要精选素材、精心设问，让学生在知识发生的过程中感悟转化策略，在总结反思的过程中归纳转化思想。

［关键词］ 数学思想；转化策略；解决问题

一、思考

众所周知，数学思想蕴含在知识发生的过程之中。倘若教师数学教学时“满堂灌”，单一地传授数学知识，怎么能真正意义上培养学生的思维能力和学习兴趣呢？又如何能让学生领悟数学思想方法呢？在新课程理念下，教师应关注让学生亲历知识形成过程的“过程性目标”，让学生有机会参与到知识的探究中去，通过直接的数学活动领悟数学思想。

在教学“用转化策略解决问题”一课时，笔者一直在思考：能否通过精选素材、精心设问让学生经历思考、探究、推理、抽象、反思等过程，从而在兴趣盎然和积极参与中对“转化策略”有更加深刻的体验，让学生真正意义上领悟转化思想呢？

二、实践

（一）在故事与图形中初步感知

师：同学们，你们喜欢听故事吗？

生（齐）：喜欢！

师：那就让我们一起来欣赏这样一个有趣的故事！

PPT出示小故事《牧师的孩子拼地图》的主要情节：一个贫困的牧师在某日早晨为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅世界地图撕成碎片，并承诺儿子若能拼出地图就奖励2角5分钱。当看到儿子专心致志地拼地图时，牧师长舒了一口气，以为上午的大部分时间可以清闲了。然而，只过去了十分钟，儿子完成了拼图。牧师大吃一惊，不解地问儿子：“为什么拼得这么快”？儿子回答：“因为地图的另一面是一个人的照片，把这个人拼到一块，再翻过来就好了。如果这个‘人是正确的，那么这幅‘世界地图也就正确了。”牧师开心地将2角5分钱交给了儿子。

师：读完这个故事，你们有何想法？

生1：牧师的儿子真是太聪明了。

生2：他换了一种思考的角度，一样得出了结果，真是好样的！

……

师：好的故事总能极好地启迪我们，故事中的小孩通过将复杂的事情转化成简单的事情，轻而易举地“拿下”了爸爸认为的难题，真是非常聪明。在学习中，我们也要多学习他的聪明与灵活，尝试着运用转化的策略去解决问题，相信你们也可以拥有不俗的表现。（出示课题）

师：下面，再让我们一起来玩一个小游戏。如图1，两个长方形哪个面积大？（PPT出示图1）

生3：我觉得左边的大一些。

生4：我认为右边的大一些。

生5：我感觉两个一样大。

师：你们猜出了各种结果，到底谁的说法正确呢？该如何验证？

生6：我们可以请方格图来帮忙。

师：真是不错的建议！（教师通过PPT呈现附有方格的图片，学生通过数方格轻松比较出两个图形的大小）

师：请比较这两个图形的大小，数方格的方法还可行吗？（PPT出示图2）

生7：没那么方便了。

师：那如何才能在较短时间内比较出两个图形的大小呢？下面，请大家动手试一试。（学生开始在作业本上试画，不少学生开始小声交流）

生8：可以将左边图形上面的半圆向下平移5格至对应的下面，这样左边的图形就是一个长5格宽4格的长方形了。

生9：右边的图形也可以变。只要将其左右两个半圆分别旋转，就构成了一个长5格宽4格的长方形。

师：利用方格图，我们就可以发现，它们是一样大。（教师用PPT动态演示平移或旋转的过程）

师（追问）：这里我们运用的策略是什么？

生（齐）：转化。

师：有何好处？

生10：转化了复杂问题，使其变得簡单。

师：不错。（板书：复杂→简单）

效能分析：对于六年级的学生而言，转化的体验早已有了一定的积累，但学生这样的体验并非有意识的。上述的教学环节中，教师合理呈现学习素材，以直观图形和故事导入，引导学生去思考、去对比、去辨析，使其一开始就对转化的策略有了清晰的认知。

（二）在回顾旧知中清晰感受

师：下面请大家回顾并思考，我们利用转化策略解决过问题吗？解决过哪些问题？请开展小组合作交流，并在全班交流心得。

一段时间的热烈探讨后，每个小组都有了各种的想法与认识：

①组得出转化策略能在图形面积或体积公式的推导中应用。（根据①组给出的结论，教师适时借助PPT呈现各图形计算公式的推导过程，以助力学生的回顾与思考）

②组得出转化策略能在求图形周长、内角和等问题中应用。（为了体现②组的观点，教师适时追问“如何求树叶和硬币的周长”“如何求三角形的内角和”，学生自然得出“化曲为直”及“将三个内角转化为一个平角”的方法，使其能清晰感受转化策略）

③组得出转化策略能在数与计算方面中应用，并列举出计算异分母分数加减法、计算分数除法、计算小数除法时，分别将其转化为同分母分数、分数乘法及整数乘法进行计算。

师：经过回顾与反思，我们每个小组都分别整理出不同转化策略的应用。那么，你们列举出的问题解决方法有何共同之处呢？

生（齐）：都是将未知转化为已知。（教师适时板书：未知→已知）

效能分析：仅凭直观演示和动手操作很难让学生形成对转化策略清晰的理解和认识，只有让学生亲历策略的形成过程，在思维的不断突破中，方能让学生清晰感知和体验转化思想。本环节中，教师精设回顾整理的环节并非随性而为，而是希望学生在复习整理中自主理解和感悟转化策略，充分感受到转化思想的价值与作用，以助力之后的深度探索。

（三）在实践应用中真实体验

师：事实上，数学学习就是不断将未知知识转化为已知知识的过程，下面请大家试着应用本节课中学到的策略来灵活解决数学问题。

师：观察上式，说说它有何特征？

生11：算式中分子都是1，同时后一个分数均为前一个分数的一半。

师：真是观察仔细的好孩子，请大家试着算一算吧！

师：若算式中数据较多，那算起来就比较烦琐了，还有其他方法吗？

师：真不错，还有吗？

师：生14所用的数形结合的方法真精彩，完美地将加法计算转化为减法计算。那么，采用这种方法，再加上■，又该如何计算呢？（生14继续精彩作答）

……

问题2：观察图4中的两个图形，该如何计算右边图形的周长？

生15：我知道，可以将其平移转化为和左边一样的长方形，这样就好计算了。

师：解决起来如此轻松，真是不错！

问题3：看，足球场上正在举行足球赛，一共有16支参赛队伍，比赛采用单场淘汰制（每场淘汰1支队伍）。那么共需比赛多少场才能决出冠军？

师：你准备用什么方法计算？

生16：可以用画图法。

师：可以，还有其他更加简便的计算方法吗？

生17：16-1=15（场）。

师：这么简单？能说一说你的思考过程吗？

生17：冠军只有一个，那就需要淘汰掉16-1=15（支）球队。而本次比赛是单场淘汰制，那淘汰15支球队就需比赛15场，即16-1=15（场）。

师：解释得很到位，真棒！这里将问题“共需比赛多少场才能得出冠军”转化为“共需淘汰多次支球队”就变得简便了。为什么会变得简便呢？

生（齐）：因为应用了转化策略。

师（追问）：若参加比賽的球队是64支，共需比赛多少场呢？若是n支呢？

……

（四）在拓展延伸中深化认识

问题4：请试着计算图5中图形的周长。

生18：如图6，将其转化为求一个大圆周长的一半及一个小圆周长。

大圆周长的一半：4×2×3.14÷2=12.56（m）。

小圆周长：3.14×4=12.56（m）。

所以图形周长：12.56+12.56=25.12（m）。

生19：其实也可以转化为“求一个半径为4m的大圆周长”，即2×3.14×4=25.12（m）。

师：能说一说理由吗？

生19：那是因为此处小圆周长与大圆周长的一半相等。

师：非常棒，你不仅善于思考，还善于观察！如此复杂的求图形周长的问题，居然可以转化为求大圆的周长，给你点赞！

效能分析：日常生活中，转化思想的应用不仅广泛，并且方法也灵活多样。因此，教师要在应用环节中精选一些学生熟悉的生活问题，一方面让学生感受到转化思想的重要性，另一方面也能培养学生灵活运用转化策略解决问题的能力。

（五）在总结反思中有效深化

师：今天我们利用转化策略解决了如此多的数学问题，那么数学家们又是如何看待转化策略解题的呢？（学生齐读教材中数学家们的看法）

师：事实上，转化策略不仅应用于数学学习，其他领域也多有涉及，比如有名的曹冲称象、爱迪生测灯泡容积等。（PPT出示数学史）

师：我们今天一起学习了“用转化策略解决问题”，谁来说一说你的感受？（学生一一阐述，教师板书）

……

效能分析：学习转化策略，需要激起学生应用转化策略的意识。以上环节中，教师通过对转化策略价值的追问，让学生切实体验其价值，从而提升学生的转化意识与能力。

三、启示

（一）在知识发生的过程中感悟策略

教学的过程中，一些数学概念的形成、一些数学公式的推导以及一些规律的揭示都是自然渗透数学思想、训练学生数学思维和让学生感悟数学思想的绝佳时机。这就需要教师基于教学目标，从思想方法的具体特征出发，关注到学生的年龄特征、认知水平来精心备课，提炼核心问题，选择适宜材料来引领学生的数学思考，让学生参与到知识的形成与建立过程，让学生在独立思考、合作探究、探讨反思中水到渠成地领悟数学思想。

本节课的教学中，不管是课堂导入设计，还是之后的探究环节设计，又或是拓展延伸环节，教师的设计都是基于学生最近发展区，都依据了转化思想的具体特征，让学生在思考、合作、探究的过程中习得新知、领悟思想。这样，为学生今后能灵活运用转化策略解决问题打下了坚实的基础。

（二）在总结反思的过程中归纳思想

课本中的转化思想蕴含于知识体系之中，在实际教学的过程中，教师需通过课堂小结的环节及时对数学思想进行归纳与提升，这样才能让学生实现真正意义上的内化。本节课中，教师设计实践应用的环节，让学生通过解决各种各样的问题进一步体验转化的过程，在小组合作中探讨和总结转化策略，通过互动交流得到启发，从而更好地生成转化思想。教师还要通过课堂小结，让学生交流一节课的收获与心得。让笔者欣喜的是此时学生的思维非常活跃，发言顺畅而自然，精彩不断，切实感受到了转化思想带来的欢欣，充分体验到了转化策略的魅力。

总之，教师只有加强学生的学习活动体验，让学生经历思想方法形成的过程，才能让数学思想的教学变成一种真实的、有效的学习内容。当然，值得注意的是，生搬硬套的教学过程不可取，数学思想并非依靠学生死记硬背就能掌握，这只会增加学生的学习负担。既然数学思想方法是数学学习之“魂”，那么教师就需要精心设计教学过程，通过精选素材、精心设问，让学生经历思考、探究、推理、抽象、反思等过程，使转化思想隐形于知识的形成、发展与应用之中。这样，知识与方法才能紧密相连、融为一体，才能给予学生丰富而深刻的体验，给予学生广阔的思维空间，实现数学知识技能与数学思想方法的融合，从而使学生切实地领悟数学思想方法。

作者简介：吴凡（1993—），本科学历，中小学二级教师，从事小学数学教学工作。