一致性视角下的“二次根式运算”起始课教学

摘 要：数与式及其运算内部充满了一致性。教学“二次根式”内容时，应注意在学生学习了各类数、整式、分式以及它们的运算的基础上，引导学生感悟、体会数与式运算内部的一致性。为此，可以设计一节关于运算的起始课，引导学生整体探究各种运算，初步尝试建构二次根式的运算法则，同时理解二次根式先研究乘除运算再研究加减运算的道理。

关键词：初中数学；一致性；数与式；二次根式；起始课

一、 教前思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）基于抽象结构（“研究对象+运算或关系”构成的整体）的思想，对课程内容做了结构化整合。［1］具体到“数与代数”领域，将小学阶段的“数的认识”“数的运算”两个主题整合为“数与运算”一个主题，强调“数+运算”结构，即数与运算不可分离。同时，强调初中阶段的“数与式”主题是小学阶段“数与运算”主题的延伸和扩展：运算对象由整数、分数、小数扩充到有理数、实数，并且由具体的数扩充到一般的代数式；运算由加、减、乘、除扩充到乘方（小学已经初步接触）、开方（限于开平方、开立方）。［2］

在此基础上，新课标还针对“数与运算”主题，明确指出要让学生感悟数的概念本质上的一致性，体会数的运算本质上的一致性。［3］具体即：整数、分数、小数都是计数单位（分别为10n-1、1/n、10-n，n为正整数）的个数表达；整数、分数、小数的加减运算都要在相同的计数单位下进行；整数、分数、小数的乘除运算都是计数单位之间运算得到新的计数单位，个数之间运算得到新的个数。

可能是出于篇幅的考虑（例子只要一个就够了），新课标并没有对“数与式”主题明确提出关于“一致性”的要求，但明确指出“应把握数与式的整体性”［4］。实际上，从一致性的角度看，数与式有很多相通之处。实数分为有理数与无理数，有理数又可分为整数和分数；相应地，代数式分为有理式与无理式（根式），有理式又可分为整式和分式。对于实数，要研究加、减、乘、除等运算；对于代数式，也要研究加、减、乘、除等运算。而且，数的运算与式的运算满足相同的运算律。此外，代数式也有类似数的“计数单位”：对整式来说，是同类项；对分式来说，是以最简公分母通分后的“单位项”；对二次根式来说，是同类二次根式。代数式的加减运算也要在相同的“计数单位”下进行：对整式来说，是合并同类项；对分式来说，是先以最简公分母通分，再加减；对二次根式来说，是合并同类二次根式。代数式的乘除运算也是“计数单位”之间运算得到新的“计数单位”，“个数”之间运算得到新的“个数”……

不过，从一致性的角度看，数与式在运算的研究顺序及重点上有一些不一致。对各类数，都是先研究加减运算，再研究乘除运算；而对各类代数式，则不一定如此。比如，对整式，重点研究乘法（包括逆过程——因式分解），不研究除法；对分式，人教版和北师大版初中数学教材先研究乘除运算，再研究加减运算；对二次根式，各版教材都先研究乘除运算，再研究加减运算。究其原因，归根到底，具体的数的运算总有一个结果；而一般的式的运算常常没有结果，或者说，过程本身就是结果，即所谓的“不算之算”（用运算符号连起来即可），如a+b就等于a+b，没有更简单的结果了。当然，式的运算实际上是一种变形，一种双向关系表征，而非单向程序操作，并不用特别区分过程与结果，而由具体的需要决定，如a+b也可以等于a-1+b-1、（a+b）+（a-b）/2+（a+b）-（a-b）/2等——这正是代数思维除了一般性之外的灵活性的重要表现。具体来说，整式的加减运算如果没有同类项，则没有结果（如上述a+b就等于a+b），所以不是重点。整式的乘法运算则要分单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等多种情况，并特别关注后两种情况，在同底数幂的乘法法则与乘方的积法则的基础上，灵活运用乘法运算律，特别是乘法对加法的分配律，而且逆过程是整式除法的基础，所以是重点。整式的除法运算要以因式分解为基础，实际上即分式的约分（分子、分母同时除以公因式），目标是最简分式，所以在还要研究分式的情况下不专门研究了。分式的加减运算虽然肯定会有结果（总可以通分后相加减），但是比乘除运算复杂（不仅可能涉及约分，还会涉及通分），因此有些教材将其放在分式的乘除运算后面研究。二次根式的加减运算则不仅可能没有结果（没有同类二次根式），而且要以乘除运算的法则为基础（得到最简二次根式），因此所有的教材都将其放在二次根式的乘除运算后面研究。

如果分析得再深入一些，从十进位值制记数法的角度看，整数和小数常常是多个计数单位分别计数的“混合体”，它们的加减运算有时也没有结果，或者说，相当于没有结果。比如，10+2=12，看似有了结果，其实12只是一种记数法，所表示的就是1个十与2个一合起来，即10+2这样的数位分解就是12这种记数法的实际含义。从幂指数推广的角度看，（二次）根式其实就是（1/2）分数指数幂——这是高中数学内容，（二次）根式的乘除运算法则其实就是乘方的积（商）运算性质的推广。而从代数公理化的角度看，幂（乘方）的运算性质其实是更为基本的运算律，它与低一级的乘法对加法的分配律类似（具有一致性），并且因为乘方不满足交换律（不具有对称性）而分为两种情况：同底数幂的乘法法则am·an=am+n与乘方的积法则am·bm=（ab）m——其实，乘法对加法的分配律也分为“左分配律”a（b+c）=ab+ac和“右分配律”（a+b）c=ac+bc，只不过因为乘法交换律的成立而可以统一起来。进而，代数学的基本思想就是有效、系统地运用普遍成立的运算律解答多种多样的问题（项武义语）；代数学没什么知识，尤其是和几何学相比，主要是技巧，或者说灵活应用，并因此充满魅力（单墫观点）。可见，数与式及其运算内部充满了一致性（包括整体一致基础上的细节不一致），这也是“变中不变”思想的体现。

“二次根式”（根号下仅限于数）是初中数学“数与代数”领域“数与式”主题中的最后一部分内容。基于上述对数与式及其运算一致性的分析，教学“二次根式”内容时，应该注意在学生学习了各类数、整式、分式以及它们的运算的基础上，引导学生感悟、体会数与式运算内部的一致性（“数式通性”），建立起较完善的“数与式”知识结构。为此，可以对教材“二次根式”章节的课时安排进行重组，设计一节关于运算的起始课，引导学生整体探究各种运算，初步尝试建构二次根式的运算法则，同时理解二次根式先研究乘除运算再研究加减运算（这一“不一致”之处）的道理。

具体来说，我们对苏科版初中数学八年级下册第12章《二次根式》的课时安排做了调整（如表1所示）。在此基础上，我们重点设计并实施了第2课时，即“二次根式运算”起始课的教学。

二、 教学实践

（一） 明确研究内容，体会研究方法层面的一致性

师 同学们，这两天我们在研究二次根式，请你写出几个二次根式，并说说它的含义。

（学生完成。教师巡视后，请一些学生在黑板上写出：2、3、5、22、4、8、9、a……然后，带领全班复习这些二次根式的含义及性质。）

师 研究完定义和性质，接下来我们应该研究什么？

生 运算。

师 为什么？我们之前遇到过类似“先研究概念，再研究运算”的情况吗？

生 之前我们学习了有理数，然后研究了它的运算；学习了整式，也研究了它的运算；学习了分式，又研究了它的运算。

生 我们还学习了幂的运算。

师 没错！我们学习的各种数都是运算对象；式则不仅是运算的结果（如单项式可以看成乘法、乘方的结果，多项式可以看成乘法、乘方以及加法的结果，分式主要是除法的结果，幂是乘方的结果——也是一种单项式，二次根式是开方的结果），而且是进一步运算的对象。（稍停）那么，应该研究二次根式的什么运算呢？也类比思考一下。

生 加法、减法、乘法、除法、乘方和开方运算。

师 确定要研究这么多运算吗？之前研究其他代数式时，也研究了这些运算吗？

生 研究整式时，先研究了加法和减法，后来重点研究了乘法，好像没有研究除法。

生 整式的除法得到的就是分式，这是我们后面研究的对象。

师 很好！你的认识很到位！大家仔细回想一下：整式的除法不就是分式的约分吗？当然，要以因式分解为基础，约去分子、分母的公因式，得到最简分式，然后就不能再约了。就像整数的除法，如果以分数表示结果，只要得到最简分数，就可以了。我们研究整式的乘方和开方了吗？

生 乘方是自乘的简写，是乘法的特殊情况。整式里面本来就有乘方，比如字母的次数；研究整式的乘法时也研究了乘方，比如完全平方公式。

生 幂的乘方就是整式乘方最简单的情况。

生 整式的开方得到的就是根式，这是我们今天研究的对象。

师 很好！所以，我们不研究整式的乘方和开方了。那分式呢？

生 我们也只研究了它的加减乘除运算。

师 回到我们今天研究的二次根式——

生 我觉得，二次根式就是开方的结果，而我们刚刚学习的二次根式的性质就是其乘方运算的性质，所以，可以不研究二次根式的乘方和开方运算，只研究它的加减乘除运算。

师 很好！这就是我们今天要研究的内容。

在复习二次根式概念（定义和性质）的基础上，引导学生回忆各类数和整式、分式研究的过程，明确“对象+运算”的代数抽象结构；回忆各类代数式所研究的运算，分析其背后的道理。由此，自然地引出本节课的研究内容，并体会研究方法层面的一致性。

（二） 研究加减运算，体会其本质上的一致性

师 先研究哪种运算？

生 加减运算。

师 参照各类数和整式、分式研究的经验，我们就从加减运算研究起。先来看加法。请同学们在黑板上的二次根式中选取两个，并相加。

（学生完成。教师巡视。）

生 我写的是4＋9＝2＋3＝5。

师 好的。据此，可以得到对二次根式加法运算的第一个印象：如果被开方数能直接开方，就先开方，再相加，即转化为有理数的加法。不过，这其实不是真正的二次根式运算。还有不同的式子吗？

生 我写的是2＋3＝5。

生 我觉得这个式子不对。

师 为什么不对？

生 可以用估算的方法。2≈1.414，3≈1.732，2＋3≈3.1，而5＜2.5，因此不可能相等。

生 我还有一个方法：将式子的左右两边同时平方，左边会多出一个2×2×3，所以不相等。

师 你是怎么想到的？

生 我是从二次根式的性质想到的：非负数算术平方根的平方就等于它本身，平方可以达到去根号的目的。

生 我还有一个方法：由二次根式的性质，有（2）2＝2，（3）2＝3，而（5）2＝5。根据勾股定理的逆定理，可知2、3、5刚好是一个直角三角形的三条边。因为三角形任意两边之和大于第三边，所以2＋3＞5。

师 非常好！刚才我们用估算、等式两边平方、三角形三边关系等不同的方法，说明了2＋3≠5，更准确地说是2＋3＞5。这是被开方数不能直接开方的情况，是真正的二次根式运算。我们可以再举几个类似的例子，看看是否有类似的结论。

（学生验证。）

师 据此，可以得到对二次根式加法运算的第二个印象：两个非负数的算术平方根的和不等于这两个数的和的算术平方根，即a＋b≠a+b。不过，这是一个“负面”的结论：只告诉我们不等于什么，没告诉我们等于什么。难道二次根式的加法不能进一步运算了？还有其他的分享吗？

生 我写的也是真正的二次根式的加法，并且，是可以进一步运算，即得到不同于本身的结果的。

师 哦？快和我们分享一下。

生 2+22=32。

（课堂中有些许躁动，大家被这个情理之中、意料之外的发现吸引了。）

师 对吗？为什么？

生 我认为是对的，2、22可以类比a和2a，他们是“一伙”的。

生 2和3不是“一伙”的，所以不能相加。

生 只有被开方数相同的两个二次根式才算是“一伙”的。

师 好一个“一伙”！想一想我们以前学习的加法，即整数、小数、分数、整式、分式的加法，也有这样的“一伙”的要求吗？

生 （恍然大悟）整数、小数的加法要求数位对齐，分数的加法要通分，其实都是相同的计数单位才能相加。

生 整式的加法也是同类项才能合并（相加）；分式的加法也要通分，也是分母相同才能相加。

师 很好！实际上，凡是加法，都要求相同的计数单位或同类项，即要求“一伙”。二次根式的加法即要求被开方数相同——这样的二次根式被称为“同类二次根式”。说得再通俗点，加法的意思是合并，只有同样的（同一类）东西，才能合并。比如，1个香蕉和1个苹果合起来是2个什么呢？只有把它们都看成水果，才能得到“2个水果”的答案。（稍停）这里，老师再问大家一个问题：2与8是“一伙”的吗？可以相加吗？

生 （多数学生）不是，被开方数不同。

（部分学生迟疑。）

师 其实，这个问题的答案是肯定的。它和我们前面提到的被开方数能不能直接开方有关——有些数是可以部分开方的，或者说是有因数可以直接开方的；也和我们后面要研究的二次根式的乘法运算有关。让我们先把它放一放，来看减法运算吧。

生 减法是加法的逆运算，自然也要求在同类二次根式下进行。以2+22=32为例，只要把加法运算中的一个加数移到等号的另一边，就成了减法运算，即32-2=22。

师 很好！所以，研究了加法运算，减法运算就不必再研究了，它们的本质一样。

虽然教材主要根据二次根式的加减运算要以乘除运算为基础得到最简二次根式，才能确定有没有同类二次根式，而将其放在二次根式的乘除运算后面研究，但是，在学生的经验中，研究数或式的运算都是从加减开始的（所教学生用的是苏科版教材）。因此，教师顺应学生的已有经验，让学生自然地从加减运算开始研究。进而，教师引导学生经历从假二次根式到真二次根式、从否定结论到肯定结论的研究过程，发现二次根式的加减运算与其他数或式的加减运算一样，也要“在相同的计数单位或同类项下进行”。然后，教师引出学生对判断是否为同类二次根式的困惑，自然转向对二次根式乘除运算的研究。这样的过程“探究味”很浓，能够让学生充分认识到加减运算本质上的一致性，并理解教材编排为先乘除后加减的道理。

（三） 研究乘除运算，体会其本质上的一致性

师 研究完加减运算自然要研究乘除运算。先来看乘法。同样请你选取两个二次根式，并相乘。

（学生完成。教师巡视。）

生 我写的是4×9＝4×9，因为4×9＝2×3＝6，4×9＝36＝6。我发现，两个数先开根号再相乘和先相乘再开根号的结果是一样的。

生 你举的例子太特殊了：被开方数是平方数，能直接开方，这是假的二次根式。其实，如果被开方数不是平方数，不能直接开方，结论也成立。我写的式子是2×3＝2×3＝6。

师 你能说明你写的式子的正确性吗？

生 我参照前面的方法，把等式两边同时平方。左边＝（2×3）2＝（2）2×（3）2＝2×3＝6，右边＝（6）2＝6，所以等式成立。

生 由于左右两边原来都是正数，所以肯定相等。

师 你的补充使他的推理更严谨了，给你们点赞！我们可以再举几个类似的例子，看看是否有类似的结论。

（学生验证。）

师 这样，就得到了对二次根式乘法运算的印象。请分别用文字语言和符号语言描述一下。

生 两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根。

生 a·b＝ab。

师 非常准确，真棒！现在，你能解决“2与8是‘一伙’的吗？”这个问题了吗？

生 我觉得是“一伙”的，因为8就是22。

师 哦？你是怎么发现8就是22的？

生 8＝4×2＝4×2＝22。

师 漂亮！8的被开方数8含有平方数因数4，根据ab＝a·b，我们可以把4单独拿出来，并且变成2。这样，8＝22，8与2是同类的。所以，它们可以相加（合并）。这里，把8变成22，是二次根式化简的过程。可见，进行二次根式的加法运算，首先要尽量化简二次根式——化到不能再化的二次根式被称为“最简二次根式”，从而确定到底有没有同类二次根式。（板书：12、18、27、50）请将这几个二次根式化简。

（学生完成。）

师 体会到化简的关键了吗？

生 把被开方数分解因数，如果有相同的因数，就可以组成平方数，单独开出去。

师 很好！可见因数分解以及因式分解的重要性——之前有同学不明白学了整式乘法再学因式分解的道理，其实，不仅分式的约分化简需要因式分解，二次根式的开方化简也需要因式分解。（稍停）现在再来看我们之前对二次根式加法运算的研究，有问题吗？

生 之前我们说“二次根式的加法要求被开方数相同”，这句话其实是不严谨的，应该是“要求化简后的被开方数相同”。比如，12＋27=23+33=53。

生 这样看来，二次根式的加法运算好像比乘法运算更复杂一点。

师 哦？复杂在哪里？

生 加法运算要通过某些加工把被开方数变成相同的，也就是说，对被开方数是有要求的；而乘法运算就简单了，直接把被开方数相乘再开方即可。

师 真是一语道破天机啊！这也是教材先讲乘法运算再讲加法运算的原因。（稍停）搞清楚二次根式加法与乘法的关系后，再来想一想我们以前学习的乘法，即整数、小数、分数、整式、分式的乘法，和二次根式的乘法有一样的地方吗？

（学生迟疑。）

师 可以从计数单位或同类项的角度看。

生 （恍然大悟）乘法运算中，计数单位或同类项也是要相乘的。比如，20×30=2×3×10×10，2/5×3/7=2×3×1/5×1/7，2ab×（-3ab）=2×（-3）×ab×ab……所以，二次根式的乘法也可以一股脑儿乘起来。

师 很好！其实，多项式乘法不过是在单项式乘法的基础上使用分配律，而单项式乘法其实是幂（乘方）的运算性质的使用。那么，二次根式的乘法和幂的运算性质有关系吗？

生 二次根式乘法的计算法则a·b=ab和乘方的积的计算法则am·bm=（ab）m是一样的，就是积的乘方的运算性质的逆用。

师 很厉害！数学就是这么神奇，数与式的运算内部充满了一致性！实际上，到高中后，大家就会学到：二次根式其实也是一种幂（乘方），只不过其指数是分数，而不是整数。（稍停）现在可以说说除法运算了吧。

生 除法是乘法的逆运算，自然也可以一股脑儿地除下去。以2×3＝2×3＝6为例，只要把乘法运算中的一个因数移到等号的另一边，就成了除法运算，即6/2=6/2=3。

师 很好！看来大家已经一通百通了。

二次根式乘除运算的探究相对容易。在学生自主探究、发现运算法则的基础上，教师首先引导学生回头解决加减运算探究中判断是否同为类二次根式的困惑，让学生真正明白教材“先乘除后加减”这一编排的道理；其次引导学生将其与其他数或式的乘除运算进行比较，发现“计数单位或同类项也要参与运算”这样的共同点，以及二次根式乘除的计算法则和乘方的积（商）的计算法则是完全一样的，从而进一步体会乘除运算本质上的一致性，并为高中分数指数幂的学习做好特例铺垫。

参考文献：

［1］ 史宁中.数学课程标准修订与核心素养［J］.教育研究与评论，2022（5）：2425.

［2］ 吕世虎，颜飞.新课标“数与代数”内容分析：从结构到要求［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：9.

［3］［4］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：18，61.