大概念引领，大问题导向

摘 要：数学结构化教学的基础是构建内容结构（单元或主题），而关键是提取大概念，提出大问题。对照新课标的相关要求，现行三套初中数学教材中“分式”内容的编排在结构化教学上还可以加强，特别是“数式通性”以及类比、归纳推理还可以更加凸显。由此，确定“分式的基本性质和四则运算”教学的大概念和大问题，并进一步细化设计“分式的基本性质”“分式的乘除”和“分式的加减”教学的系列子问题，从而强化该内容的结构化教学。

关键词：初中数学；结构化教学；分式；大概念；大问题

一、 对数学结构化教学的认识

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确了核心素养导向的课程（教学）目标。为此，教学内容需要由实体性知识向建构性知识转型，学习样态需要由浅层学习向深度学习转型。作为抓手，新课标强调：课程内容组织重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。［1］

当然，在设计（体现）结构化（特征）的教学内容的基础上，还需要设计相应的教学活动（过程）。

笔者自2018年起一直参与北师大版初中数学教材的编写、修订，期间得到课标修订组核心成员、教材主编马复教授等专家的多次指导。结合核心素养背后的大概念（“少而精”）思想［2］和教学活动设计的“引发学生思考”（“促进学生发展”）理念［3］，笔者对数学结构化教学有了一些基本的认识。

数学结构化教学的基础是构建内容结构（单元或主题）。而构建内容结构要关注数学内容之间的逻辑联系。［4］为此，应把眼界放得开阔些、长远些，不只关注人为划分的课时知识点（碎片化知识），也不局限于教材设计的章节知识块（毕竟，“教材只是一个例子”），而综合考虑整个学段乃至超越学段的有关内容，充分挖掘内容联系，必要时重组内容结构。当然，这很考验教师对数学学科本质、数学知识联系的理解深度和广度。

数学结构化教学的关键是提取大概念，提出大问题。大概念是“金句”，是在透彻理解数学内容的基础上提取的具有本质意义的核心观点，它是结构化教学的“灵魂”与“归宿”；大问题是在大概念的指引下提出的具有根本性的主干问题，可以分解为一系列子问题，能够驱动学生思考与探索，在掌握具体知识的同时感悟大概念，它是结构化教学的“抓手”和“载体”。

二、 “分式的基本性质和四则运算”结构化教学

（一） 课标要求分析

“分式”是初中数学“数与代数”领域“数与式”主题中的重要内容，包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算等具体知识。分式是代数式的一种重要类型，与分数（小学“数与运算”主题）、分式方程（初中“方程与不等式”主题）、反比例函数（初中“函数”主题）等知识联系密切，在数学、物理、化学等学科和生产实践（特别是有关比例的内容）中有着广泛的应用。分式的基本性质与四则运算是代数式恒等变形的重要依据。

对于“分式”，新课标在“课程内容”部分提出的“内容要求”是：“了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。”［5］提出的“学业要求”是：“知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。”［6］

结合对数学结构化教学的认识，以及新课标给出的“教学提示”，可知“分式”教学的重点是“分式的基本性质和四则运算”，教学的关键是把握数与式的整体性，以小学数学的“分数”知识为基础，凸显“数式通性”，由此让学生进一步体会类比、归纳等思想方法在数学学习中的作用，发展符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升推理能力和运算能力。

（二） 教材编排比较

目前，人教版、北师大版、苏科版三套初中数学教材，均将“分式”内容与“分式方程”内容安排在同一章。关于“分式”内容，三套教材的编排顺序略有不同：在分式的概念、分式的基本性质后，人教版教材、北师大版教材均先安排分式的乘除运算，后安排分式的加减运算；而苏科版教材先安排分式的加减运算，后安排分式的乘除运算。前者是基于分式的乘除通常比分式的加减简单（只涉及约分，不涉及通分）的考虑，后者是基于学生在数（整数、小数、分数）与整式运算的学习中习惯的一般顺序。总的来说，这样的顺序区别对学生的学习并无太大影响。

对“分式的基本性质和四则运算”的相关内容，三套教材的引入设计如下页表1所示。

可见，三套教材的引入设计均考虑了分数与分式的联系。人教版教材三部分内容均类比分数的基本性质或四则运算引入，其中“分式的加减”的引入有具体的实例，其余内容的引入未提供实例；北师大版教材中，“分式的基本性质”以“引发思考的话题”引入，而“分式的四则运算”类比分数的四则运算引入，其中“分式的乘除”的引入给出了实例；苏科版教材中，“分式的基本性质”从分数的基本性质引入，而“分式的四则运算”未从分数的四则运算引入。

总的来看，三套教材的引入设计有不同的思考和定位：人教版教材保持三部分内容引入的一致性，北师大版教材体现引入问题的设疑激思特点，苏科版教材体现内容要求的螺旋上升。

（三） 结构化教学设计

对照新课标的相关要求，现行的三套初中数学教材中“分式”内容的编排在结构化教学上还可以加强，特别是“数式通性”以及类比、归纳推理还可以更加凸显。笔者在教学中强化了该内容的结构化设计。

总体而言，在数学知识方面，希望能引导学生把分数与分式放到完整的知识结构中理解，借助“数学的眼光”，整体把握数与式的结构关系，实现知识的关联；在数学方法方面，希望能引导学生从分数的系统理解走向分式方法体系的构建，借助“数学的思考”，把分数学习过程中习得的方法迁移运用到分式问题情境中，发展抽象能力与推理（类比、归纳等）能力；在数学应用方面，希望能引导学生借助“数学的语言”，进行模型化建构和拓展，最终解决分式的相关问题。

为此，基于对该内容的分析以及结构化教学的关键，笔者确定了该内容教学的大概念和大问题：

大概念：数与式的研究往往有类似之处，数是式的具体呈现，式是数的抽象表达。

大问题：我们是如何建立起分式的基本性质与分式的运算法则的？

由此，引导学生把握内容本质，了解怎样学习，知道能解决什么问题。

在此基础上，笔者进一步细化设计了三部分内容（三课时）的系列子问题：

【分式的基本性质】

（1） 我们知道2/4＝1/2，你认为a/a2与1/a相等吗？

（2） 回忆分数的基本性质，你能用符号表示这些性质吗？

（3） 猜一猜，分式有什么性质？

【分式的乘除】

（1） 分式与整式都是代数式，类比整式的运算，我们可以研究分式的哪些运算呢？

（2） 回忆分数的乘法、除法运算，请分别写两个分数的乘法及除法的算式，并算一算。

（3） 猜一猜，分式应该如何进行乘法、除法？

【分式的加减】

（1） 我们学习了分式的乘法和除法运算，那么，分式的加法和减法运算应该如何进行呢？

（2） 回忆分数的加法、减法运算，请分别写两个分数的加法及减法的算式，并算一算。

（3） 猜一猜，同分母的分式应该如何进行加法或减法？

（4） 猜一猜，异分母的分式应该如何进行加法或减法？

这样，各部分内容的教学都是从分数的问题引入，如“回忆分数的基本性质”“回忆分数的乘法、除法运算”“回忆分数的加法、减法运算”；都让学生试着类比分数的结论，得到分式的结论，如“猜一猜，分式有什么性质”“猜一猜，分式应该如何进行乘法、除法”“猜一猜，同分母分式应该如何进行加法或减法”“猜一猜，异分母分式应该如何进行加法或减法”。此外，在教学引导（提示）方面，“你能用符号表示这些性质吗”，让学生进一步理解字母表示数的意义，感悟特殊与一般的关系，并通过基于符号的运算和推理，建立符号意识；“请你分别写两个分数的乘法及除法的算式，并算一算”“请你分别写两个分数的加法及减法的算式，并算一算”，让学生在尝试中归纳，发现分式的结论，凸显归纳推理的巨大作用；而“分式与整式都是代数式，类比整式的运算，我们可以研究分式的哪些运算呢”“我们学习了分式的乘法和除法运算，那么，分式的加法和减法运算该如何进行呢”，则让学生学会数学研究的一般方法和路径，知道数学知识的学习总是存在密切的联系。由此，凸显结构化教学的理念，直指大概念的生成与感悟。

此外，教学后还可以基于大问题设置大任务，考查学生对具体知识的掌握情况，以及对大概念的感悟程度。

例如，“分数”内容教学后，可以设计以下大任务：“结合学习，你对‘数’与‘式’的关系有什么感悟？请以此为主题写一篇数学小短文。”该大任务考查学生对“数式通性”以及类比、归纳推理等大概念的感悟程度。

参考文献：

［1］［3］［4］［5］［6］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：3，86，93，56，59.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：前言4.

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“初中数学反思型教学的设计与实践研究”（编号：D/2020/02/67）的阶段性研究成果。