“幂函数”教学的几个关键点

摘 要：对苏教版高中数学教材中的“幂函数”内容进行历史分析、概念分析、学生认知基础分析和课标学习要求分析，进而阐明“幂函数”教学的几个关键点：情境的选择及概念的建构、代表函数的选择、取值范围的限制、研究方法的选择、从有理指数幂函数性质到无理指数幂函数性质的过渡，以及用幂函数的性质比较底数与指数均不同的幂的大小。由此发现：以“幂函数”为载体，可以在数学观念、数学思想、数学思维方式和数学理性精神方面让学生得到充分的发展。

关键词：高中数学；幂函数；内容分析；教学分析；教育价值

教学分析是教学（过程）设计的基础，一般包括教学内容分析（如历史分析、逻辑分析）、教学目标（如课标要求）分析、教学对象（学习情况）分析、教学条件分析等多个方面。只有对与教学内容相关的要素进行深度分析，才能设计出符合认知规律，体现内容本质，充分发挥内容教育价值的教学过程。本文对苏教版高中数学教材“幂函数”内容的相关要素进行分析，进而谈谈“幂函数”教学的几个关键点（为了节约篇幅，不将教学过程完整呈现），供参考。

一、 “幂函数”内容的相关要素分析

（一） 历史分析

由已知的数学史可知，幂函数是数学家们最早建立并研究的函数模型。法国数学家达朗贝尔在《大百科全书》中“函数”一词下这样表述：古代几何学家，更确切地说是古代分析学家，将任一量x的不同次幂称为x的函数。另一位法国数学家拉格朗日在《解析函数论》、《函数微积分教程》等著作中也是这样表述的：“函数”这个词被早期分析学家用来一般性地表示同一个量的幂……其原因很简单：人们生活在三维空间中，在生产、生活中最早遇到的就是度量问题，而一维空间、二维空间和三维空间中最基本的图形分别是线段、正方形和立方体，它们的度量分别为长度、面积和体积，故而，x、x2、x3自然地就成为最早的函数形式。

后来，由于逆向问题的研究（如根据面积求边长、根据体积求棱长），有了分数指数幂（即开方）的函数形式；由于物理学中运动过程的研究，逐步出现了负指数的幂函数，以及由前面这些幂函数通过“运算”而形成的较为复杂的函数。

学生的这种认知基础为体现幂函数的概括性与统一性提供了必要的条件。而这正是体现数学观念、思想和精神等数学本质的重要契机，其教学功能远远超出了知识内容本身，值得充分重视。

（四） 课标学习要求分析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对“幂函数”内容的要求是：通过具体实例，结合y=x，y=1/x，y=x2，y=√x，y=x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数。［2］

具体地说，要求学生了解幂函数的什么内容呢？了解它们的变化规律。如何了解幂函数的变化规律呢？一是通过5个特殊函数来了解，即这5个特殊函数是一般的幂函数的代表，通过它们就能够了解一般的幂函数的变化规律；二是结合图像理解它们的变化规律。

这里就有两个要点：这5个特殊的幂函数的变化规律是要“理解”的，同时通过它们又要“了解”一般的幂函数的变化规律。

这里又有两个值得关注的问题。一是这5个特殊的幂函数中，前3个在初中学过了，这种熟悉性有助于学生的理解，但是负指数的幂函数只有一个，能代表一般的情况吗？只对一个对象进行研究，不符合归纳思维的基本要求；只有对一批（至少2个）对象进行研究，才具有归纳的基础。二是到了高中，还在重复初中研究函数性质的方法——画图、看图，对学生知识结构的完善、逻辑思维的发展是十分不利的，况且前面已经学过了证明函数单调性的逻辑方法——定义法。

二、 “幂函数”教学的几个关键点

（一） 情境的选择与概念的建构

一方面，学生有着一些特殊的幂函数的学习经验；另一方面，幂函数又有着丰富的现实背景。因此，是从学生已有的学习经验出发，通过“结构性初始问题”，以一般化的方式创设问题情境，还是从现实背景出发，通过“应用性初始问题”，以数学建模的方式创设问题情境？我们认为，这两种方式并无优劣之分：学生的建构方式都是归纳、提炼的概念形成模式，都符合概念教学的基本要求。

在此基础上，如果要突出幂函数的“统一性”和“一般化”特点，教学中应该让学生举出更为丰富的、不同形式的幂函数，使学生认识到幂函数将整式与分式统一、有理式与无理式统一的功能，从而领悟数学之理，感受数学之美。

（二） 代表函数的选择

用几个代表函数？用哪几个代表函数？这应该是让学生思考的问题。在研究定义域、奇偶性等的过程中，应该自然地让学生承担起选择代表函数的任务，而不是在教师的指定下，对具体的几个幂函数进行解题训练（这是上一章中内容的重复）。比如，在学生建立了幂函数的概念后，教师即可提出问题：“确定一个函数要确定它的定义域，那么，幂函数y=xa的定义域是什么呢？”在学生经过思考，发现不能确定的情况下，教师顺势要求：“既然不能确定，那就请你举几个例子加以说明。”当然，由于课堂时间的限制，不需要全面覆盖，只要研究几个典型的例子就可以了。研究奇偶性时，可以类似地处理。

需要指出的是，仅有课程标准中的5个幂函数，是不能概括出agt;0和alt;0时的单调性的。建议在前面学生举出的例子中，先选择几个正指数的一起研究，再选择几个负指数的一起研究：有了“多个”，才具有归纳的基础。

（三） 取值范围的限制

对agt;0和alt;0两种情况，教材中都只给出了幂函数在（0，+∞）上的单调性及图像所过的定点。为什么这么做？在以往的教学中我们发现，一些数学素养较好的学生在用图像方法解决教师提出的“有什么共同特性？”问题的同时，会主动思考“有什么不一样的地方？”的问题，由此进一步发现：只要研究出第一象限的性质，通过奇偶性，就可以获得整个定义域上的性质。实际上，共同特性有研究价值，不一样的地方同样值得关注；通过两个方面的全面分析，才能深刻地理解幂函数的性质与关系。因此，教学过程中不应该指定学生观察第一象限的图像，而应该全面考察图像，发现共性点和相异点。这样，学生思维空间更大，收获自然更多，发展也就更加充分。

值得注意的是，先研究第一象限的图像、性质，再通过定义域、奇偶性推得整体性质，是数学求简思维的重要体现；研究奇偶性、周期性等性质的目的之一是缩小讨论范围、降低研究难度。教学中，要引导学生逐步形成这样的意识。

（四） 研究方法的选择

在以往的教学中我们还发现，有些学生并没有画图像，而依据直觉，先认为agt;0时幂函数单调递增，后通过反例（如y=x2）自我纠正，得到第一象限内单调递增；在教师让其说明理由时，才着手画图，用图说明。事实证明，由于初中的定式，学生并不认为“看图说话”不严密，反而将其作为理论依据。图像直观是一种好的思维习惯，尤其是对函数问题，但是教学中，还应重视理性精神的严格要求，发展学生的逻辑思维和逻辑表达的能力。

因此，幂函数单调性的研究也不能固化研究方法，而应该让学生自由发挥，充分思考，从理性证明和图形观察两方面展开研究。在学生研究后，还要指出：这些结论是需要严格证明的，有些幂函数的单调性可以用定义证明，有些暂时还证明不了，在后续的数学学习中会有解决这个问题的方法。

（五） 从有理指数幂函数性质到无理指数幂函数性质的过渡

从完善学生知识结构和发展学生逻辑思维的角度看，无理指数的幂函数完全不提，并不适当，但是提出来后，如果没有找到恰当的处理方法，则可能会造成学生思维的混乱。

考虑再三，我们觉得，可以不直接提出来，而通过作图软件演示：令a为点P的横坐标，当点P在一条平行于x轴的直线上运动时，对应的幂函数图像同步变化。当横坐标a为正时，第一象限内的图像逐步向上；当横坐标a为负时，第一象限内的图像逐步向下。由此“验证”学生的猜想。

（六） 用幂函数的性质比较底数与指数均不同的幂的大小

教材中的例2让学生比较三组数的大小关系。前两小题比较的均是同指数的幂，学生应该能由其结构特征构造出对应的幂函数，再通过幂函数的单调性得到结论。当然，从过去的教学经验看，也有不少学生通过图像观察得到结论，但其本质还是先构造对应的幂函数，再作图像。对此，同样应该从逻辑严谨性的角度强调：先构造函数，再用单调性说明。

其中，思路三中蕴含了更多的数学解题的重要技术，比如，除了“过渡点”，还有“过渡线”，即“过渡函数”的构造，这在运用导数证明不等式等问题中都很有用。这说明，数学解题技术（能力）的训练完全可以在常规教学内容中进行。

总之，以“幂函数”为载体，可以在数学观念、数学思想、数学思维方式和数学理性

精神等方面让学生得到充分的发展：对具体的函数概括、提炼，形成一般的幂函数的概念，可以提高数学抽象能力；求负指数和分数指数的幂函数的定义域、奇偶性时需要进行变形转化，即负指数幂化分式、分数指数幂化根式，可以提高变形转化的数学技能；研究函数单调性时进行数形结合与定义证明，可以协调发展逻辑思维和直观思维；按分类选择代表函数进行研究，既是分类讨论思维策略的运用，又可以让学生形成分类标准的意识，学会合理分类的方法；比较函数值的大小时构造对应的幂函数，既是数学抽象能力的训练，也能提高数学构造的水平；构造中间量来比较数的大小，既能让学生学会转化和变通，又渗透了研究不等式问题的一种重要技巧；对幂函数统整了基本的整式与分式、有理式与无理式的认识，提升了学生对数学价值观、数学精神追求的理解。所有这些，都能有效提升学生的数学素养。

参考文献：

［1］ 李长明，周焕山.初等数学研究［M］.北京：高等教育出版社，1995：169.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：20.