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经历课题研究过程 开展数学探究活动

2023-04-11雷晓莉杨若晨

中国数学教育(高中版) 2023年11期
关键词:杨辉三角数学探究单元教学

雷晓莉 杨若晨

摘  要:数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容. 杨辉三角是一个很有价值的探究课题. 根据课题内容及对学生在知识、能力等方面的分析,确定单元教学目标,将单元分为三个课时,采用课题研究形式进行探究.

关键词:数学探究;单元教学;杨辉三角

一、单元教学内容和内容解析

“杨辉三角的性质与应用”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册第六章的數学探究活动,其核心内容是对杨辉三角性质与应用的探究,共需3个课时. 第1课时是初识杨辉三角,包括杨辉三角的历史文化、构成规则及杨辉三角与二项式系数的联系等内容,为探究活动奠定知识基础;第2课时主要是杨辉三角的研究内容和研究方法,为探究活动奠定能力基础;第3课时主要是杨辉三角探究成果的汇报. 本单元的内容结构如图1所示.

杨辉三角是一个很有价值的探究性课题. 从知识价值来说,探究杨辉三角中的数字规律不仅有助于巩固之前学习过的二项式系数的性质,而且对进一步认识组合数,进行组合数的计算和变形具有重要的促进作用,从而能够丰富数学知识,建立不同知识之间的联系. 从探究价值来说,杨辉三角是一个特殊的数阵,学生可以在探究杨辉三角性质的过程中,体会研究一般数阵的方法,并在“观察—归纳—猜想—证明”的探究过程中体验数学发现和创造的历程,培养创新精神和数学应用意识. 不仅如此,杨辉三角还有很强的应用价值,学生通过对杨辉三角的探究,可以掌握杨辉三角的相关知识,进而利用这些知识解决一些实际问题. 杨辉三角体现了中国古代数学家的智慧,有助于增强学生的民族自豪感和文化自信,同时学生可以在对杨辉三角的探究中发现数学之美,感受数学文化,提高数学学习兴趣. 因此,杨辉三角具有很强的育人价值.

二、单元教学目标和目标解析

本单元是以“杨辉三角”为主题的数学探究活动,学生以课题研究的形式从不同的角度进行探究. 本单元的学习目标如下.

1. 知道杨辉三角是特殊的数阵,了解杨辉三角的历史文化、构成规则及杨辉三角与二项式系数的联系,发展数学抽象和逻辑推理素养

这一目标主要通过本单元的第1课时教学得以体现.

(1)目标分析.

为了最终能把对杨辉三角这一特殊数阵的探究心得推广到一般的数阵,有必要让学生先将“杨辉三角”纳入“数阵”这一上位概念. 为此,在第1课时可以采取奥苏贝尔提出的先行组织者策略,先给出概括性、包摄性更强的“数阵”,为“杨辉三角”的探究提供固着点. 然后进行下位学习,经历强抽象(外延缩小、内涵扩大)的过程,让学生认识到杨辉三角就是一个特殊的三角数阵.

杨辉三角能够很好地体现中国古代数学家的智慧,因此,学生有必要了解杨辉三角的历史文化,从而增强民族自豪感和文化自信.

为了得到杨辉三角的构成规则,学生需要对杨辉三角的数字特征进行观察,从数量与数量关系中抽象出杨辉三角的一般结构,并用数学语言予以表征. 获得数学概念和规则是数学抽象的主要表现之一.

学生只有将杨辉三角与二项式系数相联系,才能在探究中将杨辉三角的数字规律用二项式系数进行表示,进而利用已经学习过的组合数和二项式定理的知识对发现的规律进行证明. 因此,学生需要思考杨辉三角与二项式系数的联系,发现杨辉三角第[nn∈N+]行的各数就是[a+bn]展开式的二项式系数. 进一步,为了解释存在这种联系的内在原因,学生需要将问题进行多次转化,厘清内在的逻辑,直到转化为证明[C0n=Cnn=1]和[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]这两个式子,进而探索和表述对这两个式子的论证过程. 探索和表述论证的过程,即有逻辑地表达与交流是逻辑推理的主要表现之一.

(2)达成这一目标的标志.

学生知道杨辉三角是一种特殊的三角数阵,能通过杨辉三角的历史文化增强民族自豪感. 学生能通过观察,抽象概括出杨辉三角两条斜边都由数字1组成,其余的数都等于它肩上的两数之和. 学生能发现杨辉三角第[nn∈N+]行的各数就是[a+bn]展开式的二项式系数,并通过逻辑推理对杨辉三角与二项式系数间存在这一联系的内在原因进行解释.

2. 探究得出杨辉三角的常见性质,发展逻辑推理和数学运算素养

这一目标主要通过本单元第2课时教学后的小组探究和第3课时的探究成果汇报得以体现.

(1)目标分析.

本单元是针对杨辉三角性质与应用的数学探究活动,探究得出杨辉三角的常见性质是本单元的主要教学目标之一. 为了更好地得出杨辉三角的常见性质,学生在第1课时将“杨辉三角”纳入“数阵”这一上位概念,并在第2课时通过类比推理,将一维的数列的研究内容和研究方法迁移到二维的数阵,为得出杨辉三角的性质奠定了基础. 类比推理是一种从特殊到一般的推理形式.

学生在第2课时学习后开展小组探究. 探究中,为了得出杨辉三角的常见性质,学生需要观察归纳杨辉三角的数字特征,并主要用演绎推理的方式对发现的规律进行证明. 演绎推理是一种从一般到特殊的推理形式. 例如,在证明杨辉三角第 n 行的数字之和是[2n]时,需要根据一般的二项式定理,将[a+bn]中的 a 和 b 都取特殊值1,即可得证,这是一个演绎推理的过程.

无论是类比推理,还是演绎推理,都是推理的基本形式. 掌握推理的基本形式和规则是逻辑推理的主要表现之一. 学生可以在杨辉三角常见性质的汇报中进行充分地表达与交流,发展逻辑推理素养. 为了得出杨辉三角的性质,学生需要理解运算对象(如将数字规律用组合数表示),掌握运算法则(如组合数的运算法则和性质),探究运算思路(如将组合数转化为阶乘形式),求得运算结果,这体现了数学运算素养.

(2)达成这一目标的标志.

学生能从不同角度观察杨辉三角,把其中的规律用文字语言和符号语言(组合数)表示出来,加之说明或证明,从而得到杨辉三角的常见性质.

3. 应用杨辉三角解决一些实际问题,发展数学建模素养

这一目标主要通过本单元第2课时教学后的小组探究和第3课时的探究成果汇报得以体现.

(1)目标分析.

本单元是针对杨辉三角性质与应用的数学探究活动,应用杨辉三角解决一些实际问题是本单元的主要目标之一. 学生需要用数学的语言进行表达,将垛积问题、弹球游戏等实际问题转化为数学问题,在应用杨辉三角解决实际问题的过程中提升数学建模素养. 数学建模是应用数学知识解决实际问题的基本手段. 杨辉三角的应用能够很好地体现学生的数学建模的素养. 学生能够应用杨辉三角解决实际问题,提升实践能力.

(2)达成这一目标的标志.

学生能结合杨辉三角涉及的基础知识,参考相关资料,对实际问题建立数学模型,将其转化为数学问题,并应用杨辉三角解决.

4. 体会研究一般数阵的方法,发展数学抽象素养

这一目标主要通过本单元第2课时对数阵研究方法的教学和第3课时学生对探究活动的总结得以体现.

(1)目标分析.

在第2课时,学生对探究数阵的一般方法进行学习,并在课后的小组探究中以杨辉三角为载体进行实践. 在对杨辉三角进行探究时,学生需要经历将杨辉三角数字规律用组合数表示的符号化过程. 符号表达是数学抽象的一个重要的层次.

在第3课时,学生把对杨辉三角这一特殊数阵的探究心得推广到一般的数阵,经历弱抽象(外延扩大、内涵缩小)的过程,形成研究一般数阵的方法与思想. 形成数学方法与思想是数学抽象的主要表现之一. 学生在杨辉三角数学探究活动中体会研究一般数阵的方法,从事物的具体背景中抽象出一般规律(从杨辉三角这一具体背景中抽象出一般数阵的研究方法),可以在这一过程中发展数学抽象素养.

(2)达成这一目标的标志.

学生能够形成有序的思维,经历“观察—归纳—猜想—证明”的过程. 学生在对杨辉三角探究的过程中能不断体会研究数阵的方法和策略,并能在第3课时最后总结收获的时候说出对本次数学探究活动的心得体会,从杨辉三角这一具体背景抽象出一般数阵的研究方法. 学生能利用杨辉三角的探究方法探究其他数阵.

5. 增强合作精神,提高交往能力,发展主动学习和主动思考的意识

这一目标主要通过本单元第2课时教学后的小组探究和第3课时的探究成果汇报得以体现.

(1)目标分析.

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 通过自主探究、合作研究论证数学结论是数学探究活动的具体表现之一. 因此,学生需要在第2课时教学后的小组探究中将自主探究与合作研究进行结合,并在这一过程中增强合作精神,提高交往能力,发展主动学习和主动思考的意识.

(2)达成这一目标的标志.

各小组能组内分工明确,各尽所长,将自主探究与合作研究相结合,有集体意识,能齐心协力,在积极的合作探究过程中有参与、有贡献、有收获.

三、教学问题诊断分析

本单元教学中,学生以杨辉三角为研究对象,需要探究杨辉三角的性质,并应用杨辉三角解决一些实际问题.

知识方面,学生之前在本章第二节“排列与组合”学习了组合数,在本章第三节“二项式定理”学习了二项式系数的性质,这些都为“杨辉三角”的探究奠定了基础. 但是学生观察、归纳杨辉三角性质的效率有赖于学生对杨辉三角涉及的基础知识(如杨辉三角的构成规则及其与二项式系数的联系)掌握的熟练程度,而且学生对发现的规律进行证明的时候可能会用到杨辉恒等式等知识. 所以学生在探究之前需要具备一定的知识基础,这是本单元在第1课时教学中需要完成的任务.

能力方面,学生已经具备了一定的综合分析问题的能力,适时地用问题引导就能建立起知识间的联系,从而解决相关问题. 但是由于学生做过的数学探究活动不多,尤其是没有研究数阵的经验,所以预计学生对数阵中规律的发现和归纳还有一定的困难,对性质的解释或证明也难度较大,而且杨辉三角的应用综合性较强,以学生现有的能力很难独立完成探究. 因此,学生在探究前需要具备一定的能力基础,需要教师根据学生的情况适当地进行指导和引导. 这是本单元在第2课时教学中需要完成的任务.

四、单元教学任务结构图

本单元的教学任务结构如图2所示.

五、教学过程设计

第1课时:初识杨辉三角.

环节1:课堂导入,下位学习.

教师呈现如下问题.

问题1:按照确定顺序排列的一列数是数列,如果研究的内容从一维拓展到二维,那么将数字按照一定顺序组合成的图形就是数阵. 你之前接触过数阵吗?

教师引导学生体会研究路径:对于一个新的内容,需要一个研究的载体,就像研究数列时,我们从特殊的等差数列和等比数列入手. 对于数阵的研究也可以如此.

教师呈现“杨辉三角”,并说明它就是我们数学探究活动的研究对象.

学生在问题1的引领下,回顾数列的概念,并通过类比推理,认识数阵的概念.

在教师的引导下,学生明确研究路径:可以从一个具体的数阵开始进行探究. 由于一些学生在小学或初中的时候就听说过杨辉三角,不难想到杨辉三角就是一个特殊的三角数阵.

【设计意图】本环节完成了“了解数阵的概念,知道杨辉三角是一种特殊的数阵”这一目标. 这一目标的完成,不仅有助于在第2课时让學生更深刻地认识数学探究活动的研究对象,而且有助于在第3课时学生总结收获的时候将对杨辉三角的探究心得推广到一般数阵.

环节2:了解历史,感受文化.

问题2:你知道杨辉三角的历史由来吗?

教师引导学生阅读关于杨辉三角的文献资料. 学生在教师的引导下了解杨辉三角的历史背景,并通过中国古代的数学成就提高民族自豪感,增强文化自信.

【设计意图】杨辉三角能够很好地体现中国古代数学家的智慧,因此,学生有必要了解杨辉三角的历史文化,从而增强民族自豪感和文化自信,进而完成“了解杨辉三角的历史”这一学习目标.

环节3:洞悉规律,建立联系.

问题3:杨辉三角是按照怎样的规则构成的?

教师呈现杨辉三角,引导学生对杨辉三角进行深入观察. 学生在教师的启发下理解、观察,不是单纯地看一看,而是要包含积极的思维过程,要有目的. 学生通过观察,发现杨辉三角在构成上的数字特征. 然后,教师引导学生用清晰精练的语言总结杨辉三角的构成规则:杨辉三角两条斜边都由数字1组成,并且其余的数都等于它肩上的两数之和,如图3所示.

学生在教师的引导下观察杨辉三角的特征,并用清晰精练的语言表述杨辉三角的构成规则.

【设计意图】让学生观察杨辉三角的特征,完成“掌握杨辉三角的构成规则”这一目标. 一方面,有助于学生加深对杨辉三角的认识,提升自主探究的能力;另一方面,有助于学生初步体会观察的方法,为后续观察杨辉三角其他的数字规律作准备.

学生从数量与数量关系中抽象出杨辉三角的一般结构,并用数学语言予以表征,从而获得杨辉三角的构成规则. 获得数学概念和规则是数学抽象的主要表现之一.

问题4:杨辉三角与二项式系数有何联系?

教师引导学生根据二项式定理分别写出 n 取各个正整数时展开式中的二项式系数,并将这些二项式系数按照如图4所示的形式排列.

学生通过计算组合数,不难发现图4的数阵与图3的数阵是一致的(除了图3最上面的数之外). 在教师的指导下,学生认识到:为了排除图3最上面的数的干扰,从而让杨辉三角与二项式系数对应起来,我们称杨辉三角最上面一行为第0行. 这样,除了杨辉三角最上面的數之外,杨辉三角与二项式系数就建立起了一一对应的关系.

在此基础上,教师引导学生对杨辉三角与二项式系数的联系进行归纳概括:杨辉三角第 n[n∈N+]行的各数就是[a+bn]展开式的二项式系数,如图5所示.

【设计意图】学生在教师的引导下建立起知识之间的联系,完成“发现杨辉三角与二项式系数的联系”这一目标,这一目标的达成有利于学生在后续探究中将杨辉三角的数字规律用二项式系数进行表示,进而利用已经学习过的组合数和二项式定理的知识对发现的规律进行证明.

问题5:杨辉三角(除了最上面的数)与二项式系数为何一一对应?

学生思考杨辉三角与二项式系数的内在联系,回顾杨辉三角的构成规则,对问题进行适当转化. 如果学生回答上述问题有困难,教师可以引导学生思考下列问题,逐步厘清思路.

(1)为什么图5左右两边的数阵是一样的?

(2)如何证明图5左边的数阵就是杨辉三角?

(3)图5左边的数阵符合杨辉三角的构成规则吗?

教师根据学生的反馈情况,步步追问,帮助学生对问题进行多次转化:要证明杨辉三角第 n[n∈N+]行的各数是[a+bn]展开式的二项式系数,就是证明图5左右两边的数阵一样. 如果能证明[a+bn][n∈N+]的展开式的二项式系数构成的数阵符合杨辉三角的构成规则,那就可以说明图5左边的数阵就是右边的数阵. 因此,问题解决的焦点就是证明图5左边的数阵符合杨辉三角的构成规则,即证明[C0n=Cnn=1],且[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]. 对于[C0n=Cnn=1],学生可以由组合数的意义直接得出,无需教师过多引导.

对[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]的证明有一定的难度,教师根据学生的反馈情况进行引导. 一方面,可以将组合数转化成阶乘形式进行严格的数学证明;另一方面,可以创设一个问题情境来说明[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]是正确的. 例如,从 n 个元素(含甲)中取出 r 个元素,有[Crn]个方法数,而这件事可以分成“从 n 个元素中取出 r 个含甲的元素”和“从 n 个元素中取出 r 个不含甲的元素”两类,这两类的方法数分别是[Cr-1n-1]和[Crn-1],根据分类加法计数原理,从 n 个元素(含甲)中取出 r 个元素的方法总数为[Cr-1n-1+Crn-1],这就说明了[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]是正确的. 这样,就找到了杨辉三角(除了最上面的数)与二项式系数一一对应的内在原因. 教师让学生注意[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]这个式子,它具有重要的意义,被称作“杨辉恒等式”.

【设计意图】解释杨辉三角与二项式系数联系的内在原因不仅有助于加深学生对杨辉三角与二项式系数的认识,而且其中提到的杨辉恒等式为后续的探究活动奠定了基础. 至此,完成“发现杨辉三角与二项式系数的关系,并洞悉其内在原因”这一学习目标.

环节4:课堂小结,总结收获.

问题6:通过本节课的学习,你对杨辉三角有什么新的认识?

教师引导学生回顾本节课所学的知识并进行总结. 这节课先学习了数阵的概念,以及一种特殊的数阵——杨辉三角,随后了解了杨辉三角的历史由来和构成规则,认识了杨辉三角与二项式系数的联系,以及存在这种联系的内在原因.

杨辉三角有哪些有趣的性质和应用?我们该如何探究?要回答这些问题,就需要进入下一课时的学习.

第2课时:杨辉三角的研究内容和研究方法.

环节1:复习回顾.

问题1:杨辉三角与二项式系数有何联系?

环节2:探究指导.

问题2:我们可以从哪些方面探究杨辉三角?

学生在教师的指导下明确数学探究活动的研究内容:杨辉三角的性质,杨辉三角的应用.

追问1:什么是杨辉三角的性质?

学生在教师的指导下思考什么可以称为“性质”. 学生可能会根据自身的理解对这个问题进行解释,如杨辉三角的性质就是杨辉三角的数字特征和规律. 这时,教师可以借机让学生说出杨辉三角的其中一条性质. 由于学生这方面的经验较少,因此教师可以准备一些例子,当学生感到困惑时,教师举例说明什么可以称为杨辉三角的性质. 例如,将杨辉三角每一行的各个数字相加求和,分别是1,2,4,8,16,32,…,不难发现这些都是2的指数幂. 行数在变,每一行的数字也不尽相同,但无论怎么变,每一行的数字之和都是2的指数幂,这种数字变化中的不变性就是我们要探究的杨辉三角的“性质”.

这样,我们就可以归纳出杨辉三角的一个性质:第 n 行的数字之和是2的 n 次幂. 学生通过这个特殊的例子,明确了什么是杨辉三角的性质.

追问2:什么是杨辉三角的应用?

学生根据自身的理解,联系之前接触过的将数学知识进行应用的情境,对这一问题进行思考. 教师可以向学生介绍,杨辉三角的应用是一个比较综合的问题,包括开方、堆垛术、等差级数等.

【设计意图】学生在探究之前有必要明确需要研究杨辉三角的哪些方面,即研究内容是什么,这有助于学生在后续的探究中明确思路,清晰目标.

问题3:我们应该如何探究杨辉三角?

学生在上一个问题中明确了研究内容,在此基础上,学生还需要掌握探究性质和应用的方法分别是什么.

追问1:如何探究杨辉三角的性质?

学生可能会提到在探究问题时“观察—归纳—猜想—证明”的一般思路,教师可以借机让学生思考:对于杨辉三角,应该如何更好地观察出它的数字规律?若学生有困难,教师可以给出苏轼的哲理诗《题西林壁》:横看成岭侧成峰,远近高低各不同. 不识庐山真面目,只缘身在此山中. 学生受这首诗前两句的启发,认识到可以从不同的角度(横看、斜看)观察杨辉三角,从而发现一些规律. 横看,即取一横行的数进行观察,看看有没有什么特点,如前面提到的“第 n 行的数字之和是2的 n 次幂”就是通过“横看”发现的规律. 斜看,即取一斜行的数进行观察,看看有没有什么特点. 这首诗的后两句则启发学生不能仅拘泥于局部,还要放眼整体,如看看杨辉三角奇数和偶数在整体分布上的特点,可能也会得出一些结论,但是这就需要写出杨辉三角更多的数.

教师进一步引导学生思考:发现的“规律”成为杨辉三角的“性质”还需要经过哪些环节?学生不难想到,观察发现的规律不一定正确,需要总结成一般的结论,并经过证明,才可以称为“性质”. 教师建议学生准备两个杨辉三角,如图6所示.

用图6右侧的杨辉三角(数字表示)更易寻找规律,用图6左侧的杨辉三角(组合数表示)更易总结和论证规律. 例如,用图6右侧的杨辉三角容易发现“第n 行的数字之和是2的 n 次幂”,然后可以对应到图6左侧的杨辉三角,将规律用组合数表示就是[C0n+C1n+…+][Cnn=2n],形成结论. 进而根据二项式定理,利用赋值法即可证明该结论.

追问2:如何探究杨辉三角的应用?

杨辉三角应用广泛,这些应用有的是杨辉三角与数学学科的其他知识(如开方运算、高阶等差数列、斐波那契数列)的联系,有的是杨辉三角与其他学科、其他领域的联系(如弹球问题),涉及的知识比较丰富,因此学生不仅需要对杨辉三角的常见性质有一定的了解,还需要查阅一些相关资料. 教师为学生提供华罗庚先生的《从杨辉三角谈起》,并指导学生查阅资料的方法,让学生课后阅读书籍,查找资料,对杨辉三角的应用进行探究和学习.

【设计意图】关于性质,由于学生没有研究数阵的经验,对杨辉三角性质的探究难度较大,因此有必要让学生在探究前掌握研究方法,明确“观察—归纳—猜想—证明”的一般思路,了解观察数阵中数字规律的常见角度,以及对规律进行证明的常见方法. 关于应用,学生需要明确,应该先探究杨辉三角的性质,对杨辉三角有较为深入的认识,然后再应用杨辉三角的知识去解决问题. 由于杨辉三角的应用综合性较强,学生很难独立发现并完成,故希望学生建立起知识间的联系,并提升查阅文献资料进行探究学习的能力.

环节3:探究准备.

学生按要求进行分组,并分工,安排课题研究的四个环节:选题,开题,做题,结题. 各组选出一名学生对该组的日常探究活动进行记录,并最终整理研究成果,撰写研究报告.

第3课时:杨辉三角探究成果的汇报.

環节1:回顾探究.

教师播放课前录制的视频,帮助学生回顾前期的杨辉三角探究过程.

环节2:小组汇报.

问题1:着眼于局部,横看杨辉三角,有哪些性质?

A组研究成果的汇报:杨辉三角中每一行数字的平方和都是杨辉三角中的数,即[C0n2+C1n2+…+Cnn2=][Cn2n].

A组的学生用数学归纳法进行严谨的代数证明,教师和其他组的学生提出此结论也可以通过写出二项展开式用赋值法加以证明.

B组研究成果的汇报:杨辉三角第0行是11的0次幂,第1行是11的1次幂,第2行是11的2次幂,经过验算,11的3次幂正好是第3行. 因此猜测:将杨辉三角第 n 行数字依次写下来是11的 n 次幂. 接着,验算11的4次幂是否正确,发现11的4次幂是14 641,仍然符合猜想. 但再进一步,11的5次幂为161 051,这就与猜想不相符了.

学生回顾11的4次幂是通过1 331 × 11计算得到的. 从这里会发现,14 641其实是两个1331错位相加得到的. 而11的5次幂也可由两个14 641错位相加得到,但14 641错位相加时进位了,这就会出现问题. 进而,教师引导学生只需要把这个结论改一改:将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次幂. 对于这一结论,学生分别用数学归纳法和用赋值法进行了证明.

问题2:着眼于局部,斜看杨辉三角,有哪些性质?

C组研究成果的汇报:(1)与杨辉三角边平行的数列,从第二斜行开始,每一斜行相邻两数的差是上一斜行的数,如图7所示.(2)每一斜行的前 n 个数加起来都是下面一行的第 n 个数. 如图8所示:1 + 2 + 3 + 4 = 10,1 + 3 + 6 + 10 = 20.

对于第(1)条性质,可以表示成组合数后加以证明. 在学生得出这个规律后,教师简单介绍高阶等差数列的概念,师生共同归纳得到杨辉三角的第[k+1]条斜线上的数组成的数列成 k 阶等差数列.

学生解释第(2)条性质成立的必然性,思考图8中的20可以怎么拆分:可以固定20右肩上的数,不断地拆分20左肩上的数,依次往上拆分,如图9所示. 学生通过分析具体数字“20”的拆分过程,更清晰、具体地看出这个结论成立的条件还是杨辉恒等式;学生还可以拆分右肩上的数,发现结果是一样的. 在此基础上,可以从特殊到一般总结规律,用组合数表达杨辉三角的这一性质:[Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crn-1=Cr+1nn>r].

学生在证明上一结论后,利用杨辉恒等式[Crn=][Cr-1n-1+Crn-1],每一个数向上拆分,还能发现:3 + 1 + 6 + 4 + 1 = 15,4 + 6 + 5 + 10 + 10 = 35,将梯形中的5个数相加就是下面隔行的数,如图10所示. 这个结论的得出与第(2)条性质类似:因为杨辉三角的每一个数都是肩上两数之和,于是可以进一步向上推导,如15 = 10 + 5 =[6+4]+[4+1]= 6 + 4 + 1 +[3+1],就得到了这个结论. 从特殊到一般,总结规律,用组合数来表示就是[Crn+Cr+1n+Crn+1+][Cr+1n+1+Cr+2n+1=Cr+2n+3 n>r].

问题3:着眼于整体,你有哪些发现?

D组研究成果的汇报:圈出所有的奇数,发现有些行的所有数都是奇数. 再进一步概括所有数都是奇数的是哪些行,发现行数分别是1,3,7,15,31,…. 进而猜想:第[2n-1 n∈N+]行所有项都是奇数. 对于该结论的证明,可以从特殊着手,发现第[2n-1 n∈N+]行若左边的数是奇数,则由反证法可推出右边与其相邻的数必是奇数. 通过对特殊情况的分析,发现若想证明第[2n-1 n∈N+]行某个数是奇数,有赖于它左边的数是奇数,即满足前一项推后一项的特点,进而想到用数学归纳法进行证明.

问题4:杨辉三角有哪些应用?

E组研究成果的汇报:杨辉三角在我国古代被用作开方的工具. 如何利用杨辉三角解决开方问题呢?古代数学家用杨辉三角进行开方运算的方法比较复杂,书籍中的记载也比较晦涩难懂. 学生呈现两个利用杨辉三角进行开方求解的例子. 通过这两个具体的例子,简单了解杨辉三角在开方问题中的应用.

F组研究成果的汇报:F组用纸筒做了道具,介绍“三角垛”. 过去,商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时,为了节省地方,常把它们垒成许多层,俗称“垛”.

题目  每层摆成三角形的就叫“三角垛”,如图11所示. 如图12,一个三角垛,底层是每边堆 n 个圆球的三角形,向上逐层每边减少1个,顶层是1个,共有多少个球?(用n表示.)

三角垛从上往下每层球数构成数列1,3,6,10,…,[nn+12],“求总数”就是求这个有穷数列的和,即探究二阶等差数列的一般求和公式.

学生想到之前“斜看”杨辉三角时得出的性质:杨辉三角的第[k+1]条斜线上的数组成的数列成 k 阶等差数列. 再结合性质:每一斜行前 n 个数加起来都是下面一行的第 n 个数,得出如下的高阶等差数列求和公式:

[1+1+1+…+1=n];

[1+2+3+…+C1n-1=C2n];

[1+3+6+…+C2n-1=C3n];

[1+4+10+…+C3n-1=C4n].

教师提出问题:在弹球游戏中,两端区域的獎品价值高,中间区域的奖品价值低,怎样解释这一现象?

如图13,一个小球向下跌落,碰到第1层阻挡物后等可能地向两侧跌落,那么到第2层两个缝隙的路径数分别是1,1. 小球碰到第2层阻挡物后,再等可能地向两侧的第3层跌落,到第3层三个缝隙的路径数分别是1,2,1. 小球碰到第3层阻挡物后,再等可能地向两侧的第4层跌落,到第4层四个缝隙的路径数分别是1,3,3,1. 不难发现这就构成了如图14所示的杨辉三角. 结合二项式系数的增减性与最大值,容易发现小球掉到两边的概率小,掉到中间的概率大.

环节3:探究小结.

问题5:在整个数学探究活动中,我们对杨辉三角的研究采用了哪些探究方法?这些方法对你研究数阵有什么新的启示?

教师根据学生的回答进行总结,引导学生把对杨辉三角的探究心得推广到一般的数阵. 对于一般的数阵,我们同样可以研究数字变化中不变的规律,试着从不同角度(横着看、竖着看、斜着看等)进行观察,并将数阵中的数按照一定的顺序求和、求平方和、作差、乘积、作商等. 教师还可以根据学生的回答,引导学生总结小组合作学习的优势,并将这种学习方式适当地应用到其他情境中. 最后,教师对学生进行鼓励:虽然本次的探究活动接近尾声,但是我们的探究热情应该延续下去!

学生回顾探究历程,总结自己在整个杨辉三角探究活动中的收获和感想.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

[2]章建跃. 通过计数原理感悟运算真谛  利用排列组合提升思维品质[J]. 数学通报,2021,60(11):6-13.

[3]陈碧文.“杨辉三角中的一些秘密”教学设计[J]. 中国数学教育(高中版),2015(4):48-52.

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