建立模型 拓展思维——数学特色校本课程“华容道”教学例谈

江苏苏州工业园区金鸡湖学校（215000） 张玲芳

喜欢玩游戏是儿童的天性。教师带领学生接触“七巧板”“九连环”“华容道”“莫比乌斯带”等中外古典、开放式益智游戏，挖掘游戏中的数学元素，可引导学生轻松愉快地走进数学世界，感受数学的乐趣。下面，以特色校本教材五、六年级分册第1页的“华容道”为例，浅议如何发展学生的数学思维。

一、认识游戏的故事背景

“七巧板”“九连环”“华容道”并称“智力游戏界的三大不可思议”。“华容道”游戏取材于《三国演义》中“诸葛亮智算华容 关云长义释曹操”这一章，曹操在赤壁大战中被刘备和孙权联手打败，被迫退逃到华容道时，又遭遇诸葛亮的伏兵，最后关羽为了报答曹操之前对他的恩情，明逼实让，最终放走了曹操。

“华容道”游戏基于该背景故事，通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方的中部，从出口逃走。滑动过程中不允许跨越棋子，也不可以旋转棋子，只能平移，还要设法用最少的步数把曹操移到出口。曹操要逃出华容道，最大的障碍是关羽，关羽立马华容道，一夫当关，万夫莫开。关羽和曹操是解开这个游戏的关键，而其中四个小卒是最灵活的，因此在玩游戏的过程中，也需要思考如何发挥四个小卒的作用，这也是一个教学难点。教师需要知道该游戏的通关策略，挖掘通关策略中的数学元素，引导学生在玩的过程中感悟策略。

二、挖掘游戏中的数学元素

吴鹤龄教授把“华容道”游戏叫作“好玩的数学”。这个说法让人心头一亮。“华容道”好玩不假，可它又是什么样的数学题？起初，笔者研究“华容道”时感觉无从入手，本校也未曾有教师上过这类课，实足是一次挑战。于是笔者开始寻找一些有关“华容道”的资料，如背景故事、布局、玩法。与此同时，笔者也不断地尝试玩“华容道”以及多次进行公开试教，发现里面蕴含着很多数学策略，值得思考与探索。在教学中，笔者常选择“华容道”的“过五关”局面着手进行教学。因为这一关相对比较容易，又蕴含最基本的经验方法。在多次试教中，难度最高的莫过于寻找游戏中的数学元素。经过多次教学，“华容道”游戏的教学目标正发生着潜移默化的变化。

在第一次教学时，笔者以“过五关”（如图1）这个简单局面为本节课的突破口，通过猜布局→观察布局→尝试操作→学生再摆初始布局→学生再次尝试“过五关”→“过五关”比赛→寻找最佳路径这样7 个环节展开“过五关”教学。紧随其后，笔者又展开了“一字长蛇”（如图2）的局面，选择这个局面的原因是其难度稍高于“过五关”，但所用策略是相似的。通过猜布局、出示布局、学生尝试和比较“过五关”与“一字长蛇”这两个局面，引出“倒推”的数学策略，选取学生未能通关的典型案例进行分析，引导学生发现要想让曹操逃出来，身边的棋子必须是兵。不过，整节课尝试下来，笔者发现学生一直处于玩的状态，并未真正挖掘出“华容道”里面蕴含的数学元素。

图1

图2

有了经验，在第二次的教学过程中，笔者仍选择“过五关”“一字长蛇”这两个局面。在研究完这两个局面后，为了探究“华容道”所蕴含的数学元素，笔者继续翻阅有关“华容道”的资料，于是在新的教学中拓展了“华容道”游戏，介绍“华容道”的由来、创新玩法、不同布局，引导学生了解玩“华容道”，也是玩数学，在教学的最后，引出生活中的“汽车华容道”。笔者发现，若要在一节课内全部教授完这些内容显得很吃力，另外，一直想要揭示的数学元素也显得有些勉强。

三、探寻游戏深藏的核心策略

在前两次不断尝试的过程中，笔者逐渐清楚了教学“华容道”游戏的核心策略——逐步明确笔者需要选取的布局，其中将布局分解为残局进行讲解，是一次突破。在前两次的教学过程中，笔者都是将一个局面从头玩到尾，这样很难快速回到原来的布局，同时因为步数较多，学生也很难理解。于是笔者将“过五关”布局通过倒推的办法分解为三个残局局面，既方便了教学的讲解，也方便了学生对步骤的思考。

1.观察“过五关”

师（出示“过五关”布局，如图1 所示）：仔细观察，它们是如何布阵的？

2.尝试“过五关”

师：你能解救曹操吗？

生1：能。

师：那就拿出“华容道”，开始布局并解救！

3.对比成功与失败

师：曹操被解救出来了吗？还有同学没有成功解救出来，没有成功解救出来的同学遇到了什么困难？

生2：曹操走不动了，被大将挡住了。（图略）

师：那你希望这里是？

生2：小兵，把大将变成小兵，这里的小兵就可以拐弯，给曹操留出移动空间（单兵拐弯）。

（1）局面一

师：刚才同学们在玩的过程中，老师仔细观察，看到了这样一个局面（如图3）。

图3

师：玩到这个局面的话，我们能顺利解救曹操吗？

生3：能。

师：真的吗？你们这么快就想到了？那就试一试。谁上来走走看？（学生上前演示）

师：大家都是这样走的吗？

生（齐）：是的。

（2）局面二

师（出示图4）：再来看看！这样能顺利解救吗？

图4

（学生沉默）

师：看来同学们遇到困难了，这个局面比刚才更复杂了，谁来走走看？（学生上前演示）

（3）局面三

师（出示图5）：接着看，情况更复杂了，这样能解救吗？

图5

（学生拿出“华容道”尝试解救）

师：谁来演示走走看？

（学生上前演示）

师：咦？又回到了局面一（如图3）的情况，这下可以解救了吧？

生4：可以。

4.对比小结

师（展示对比图，图略）：同学们看，想要成功解救曹操，我们分别经历了这样的局面，有什么相似之处吗？

生5：小兵两两一起，为曹操开道。

5.“过五关”比赛

师：同学们刚才在解救曹操的时候，得出了这一个重要策略，相信有了这个策略，同学们一定会玩得更顺手，那接下来我们就进行一场比赛，如何？

（选一名学生上台演示，并计时）

师：你真厉害，这么快就成功了。

三个局面由易到难，始终围绕一个核心策略：小兵两两一起，为曹操开道。学生在玩的过程中逐步建立这一策略的模型（如图6）。

图6

6.利用策略再次尝试

师（出示图7）：老师布了一个局面，仔细瞧，你能给它起个名字吗？

图7

（学生纷纷起名字）

师：大家取的名字都挺有道理，其实像这样的布局一般称为“前呼后拥”。

笔者选择了“前呼后拥”局面，因为尝试下来，相比“一字长蛇”局面，“前呼后拥”局面能够更好地巩固揭示的核心策略。

（1）展示过程中随机叫停

（让学生在棋盘上按照图7所示布局，并操作）

师：我看刚才你最快，请你上来展示一下。

（学生上前展示，在展示的过程中，笔者在关键点叫停，使局面固定，以强化学生思维）

（2）对比“过五关”和“前呼后拥”

师（出示图1、图7）：观察这两关的布局，你有什么发现？

生6：小兵都在曹操边上，为他开道。

师：是啊，我们可以总结出这样的经验，四个小兵必须两两在一起，不要分开；曹操、关羽等大将移动时，前面应有两个小兵开道。

（3）五横式

师：“过五关”“前呼后拥”在布局时若五名大将都是横向放，称为五横式。瞧，老师还给大家带来一些五横式（图略），它们分别是上下镜缘、身先士卒、兵威将广。

（4）创造布局

师：同学们，你能布一个局吗？

（同桌合作布局并交换玩）

（5）几横式拓展

师（出示图8）：同学们请看，其实除了五横式，还有一、二、三横式。

图8

在本次教学中，笔者尝试将玩“过五关”的过程进行分解，再选用“前呼后拥”布局进行一个策略的巩固。学生通过观察布局、尝试解救、优化策略，成功地将曹操解救了出来。“玩‘华容道’玩的就是数学，是组合数学。”不断地变换新的几何块组合图，在这无序的组合中找到最佳路径，在教学最后对“华容道”游戏进行一些拓展，希望能够开启探究“华容道”之路，引导学生领会其中的奥秘并继续走下去。

笔者之所以选择教学“华容道”，是因为顾泠沅教授提出的“寻找中间地带”给了笔者很大的启发，他说在中美两国教育之间，可能存在一个“中间地带”，双方可以基于各自的本土文化，相互借鉴，取长补短，用以改进本国的教育教学。

“寻找中间地带”是一种不走极端而达到集大成的智慧。这样的理念能否在数学教学中得以体现呢？数学好玩，玩好数学，如何在这两者之间直接架起一座七色彩桥？这就需要教师花费心思进行实践与思考。笔者通过研究“华容道”，挖掘游戏策略，建立模型，探寻游戏中的数学元素，在数学与游戏中找到了“中间地带”，引导学生在这块“中间地带”轻松愉快地走进数学世界，感受数学的乐趣，说明游戏与数学教学是可以共同发展的。