深挖教材 提炼方法 培养思维

摘 要：在新课程改革背景下，教育教学的重心从知识传授向综合素质培养转变.培养学生的综合素质，不仅要求学生掌握教材知识内容，同时还要求教师注重学生思维方式的培养.数学作为初中阶段的基础学科，具有比较强的逻辑性，教师应当重视学生问题分析能力的培养，引导学生利用辩证思想，借助分类讨论思想解决问题.据此，文章浅析分类讨论思想在初中数学中的应用.

关键词：分类讨论思想；初中数学；应用策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0062-03

在初中数学解题中，解题方式较为灵活，一道习题可能会有多种解题方式，不同类型的题目也可能有着相同的解题思路.在数学问题解决中，教师应当注重数学思想的应用.分类讨论思想是重要的数学思想之一，广泛用于学习与生活，可完善学生数学知识体系，锻炼学生思维能力及逻辑能力.同时，借助分类讨论思想，帮助学生整理数学知识点，深入探究数学知识规律，简化数学问题，让学生切实做到举一反三.

1 初中数学教材中分类讨论思想内容分析

在初中数学教材中，包含很多分类讨论思想内容，要求学生在学习过程中，体会分类讨论思想，做出归纳和总结，以此，完善学生知识结构，体会分类讨论思想在解题中的运用.初中数学各阶段分类讨论思想内容如表1所示.

对于初中阶段的学生来说，刚刚系统化地接触分类讨论思想，想要深入发掘教材中的分类讨论思想，需要了解分类的原则与步骤，尝试自主分类，明确分类思路，为数学问题解决做出知识迁移准备［1］.

2分类讨论思想的应用原则

2.1 同一性原则

在初中数学解题中，分类讨论应当坚持同一个标准，对对象做出合理的分类.需要让学生认识到，分类思想应用的前提是有着明确的研究对象，只有准确把握对象特征，才能够灵活利用，围绕同一性进行分类，避免出现不同组对象产生属性交集.

2.2 层次性原则

针对多次分类问题，需要准确把握层次性原则，结合概念的差异做好研究对象分类.在整个分类过程中，应当做到全面考虑，避免忽略对象的某个属性，导致出现分类错误.

3 初中数学解题中分类讨论思想的应用策略

3.1 利用分类讨论思想解决方程问题

例1 某商场准确购进A、B、C三种型号的电视机，A型号电视机每台进价为1 500元，B型号电视机每台进价为2 100元，C型号电视机每台进价为2 500元，如果商场准备使用90 000元购进三种型号的电视机50台，那么进货方案有几种？

分析 通过对题目条件进行分析，利用方程不能够直接得出结果，而且A、B、C三种电视机的数量都是变量，因此，需要对问题进行转化，利用分类讨论思想进行解题.

解 设购进A、B、C三种型号电视机数量分别是x、y、z台，根据题意得出x+y+z=501 500x+2 100y+2 500z=90 000，得出3y+5z=75，即y=25-53z，∵53z为正整数，∴z是3的倍数.

∴5≤53z＜25且53z为正整数，∴z的值可能是3、6、9、12.

当z=3时，得出y=20，x=27；

当z=6时，得出y=15，x=29；

当z=9时，得出y=10，x=31；

当z=12时，得出y=5，x=33；

答：商場可以有四种进货方案.

3.2 利用分类讨论思想解决函数问题

函数问题是初中数学中的常见题型，主要有一次函数、反比例函数、二次函数等，作为考试中常见的题型，是初中数学解题中的重点和难点.因此，作为初中数学教师，需要有效利用分类讨论思想，引导学生解决函数问题.

例2 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx的对称轴是x=34，且抛物线经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，横坐标为m（0＜m＜2），过P点作PB⊥x轴，垂足为B，PB与OA的交点是C，点O关于直线PB的对称点是D，连接CD、AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E.

（1）求解抛物线的解析式；

（2）用含有m的式子表示C、D的坐标；

（3）如果△ACD为等腰三角形，求解所有符合条件的P点坐标.

解 （1）根据题意得-b2a=344a+2b=1，解得a=1b=-32，∴抛物线的解析式为y=x2-32x.

（2）C（m，12m），D（2m，0）.

（3）根据题意，得出B（m，0），

在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+（12m）2=54m2，∴OC=52m，

∵O、D关于直线PC对称，∴CD=OC=52m，

在Rt△AOE中，OA=OE2+AE2=5，

∴AC=OA-OC=5-52m，

在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P点坐标求解时，可以分三种情况进行讨论.

当AC=CD时，即5-52m=52m，解得m=1，∴P（1，-12）；

当AC=AD时，则AC2=AD2，即5-5m+54m2=4m2-8m+5，解得m1=0，m2=1211，

∵0＜m＜2，∴m=1211，即P（1211，-54121）；

当DA=DC时，则DA2=DC2，∴4m2-8m+5=54m2，

解得m1=1011，m2=2，∵0＜m＜2，∴m=1011，即P（1011，-65121）.

综上，当△ACD为等腰三角形时，点P的坐标分别是P1（1，-12）、P2（1211，-54121）、P3（1011，-65121）.

3.3 利用分类讨论思想解决几何问题

在初中几何问题教学中，教师可以巧妙引入分类讨论思想，引导学生思考问题，明确解题思路.如直线与圆的位置关系、等边三角形的边角关系以及直角三角形的边角关系等，可以巧妙利用分类讨论思想，完成几何问题的解题.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别为BC、AB的中点，将△BDE围绕B点旋转，旋转后D、E的对应点分别是D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长是_______.

分析 此题解题时分两种情况，当A点在E′D′的延长线上以及A点在线段D′E′的延长线上，通过分类讨论，求解出BD的长度，完成解题.

解 如图2所示，当A点在E′D′的延长线上时，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴根据勾股定理得出AB=25，

∵点D、E分别为BC、AB的中点，

∴DE∥AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，

∴∠EDB=∠ACB=90°，

∵将△BDE绕着点B旋转，

∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD′=2，

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中，D′B=AC=2，AB=BA，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′，

∴四边形ACBD′为平行四边形，且∠ACB=90°，

∴四边形ACBD′是矩形，

∴CD′=AB=25.

如圖3所示，当点A在线段D′E′的延长线上时，

∵∠AD′B=90°，

∴根据勾股定理得出AD′=4，

∴AE′=AD′-D′E′=3，

∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠ABC=∠E′BD′，

∵BE′AB=12=BD′BC，

∴△ABE′∽△CBD′，∴AE′CD′=ABBC，

∴3CD′=254，∴CD′=655.

∴CD′的长度是25或者655.

参考文献：

［1］ 关建昌.新课标下初中数学分类讨论思想教学的几个着力点［J］.数学学习与研究（教研版），2021（16）：12-13.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：陈友杰（1971.11-），男，福建省闽清人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.