探究平行四边形的存在性问题

摘 要：抛物线中的动点问题，尤其是与存在性有关的动点问题，是中考的一个难点.文章以2016年贵州省安顺市的一道中考题为例，借助网络画板，从试验探究、思路分析、一题多解的角度来进行深度探究.

关键词：抛物线；动点；平行四边形；存在性；探究

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0092-03

抛物线中平行四边形的存在性问题，是中考的一个难点，也是热点，常常以压轴题的形式出现.如何突破这一类试题呢？笔者以2016年安顺市一道中考题为例进行探究.

1 試题呈现

抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C0，-52三点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标.

（3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在， 请说明理由［1］.

2思路分析

第（1）（2）问略.第（3）问：①如图1所示，AC为对角线时，取AC中点O′，连接M4O′，交抛物线于点N4；如图2所示，若AC为边，平移AC得到另外三种情况.过四边形顶点作横平坚直线 （平行于坐标轴）构造全等三角形解决问题.

②设M（x，0），分别以AC，AM，AN为对角线，分三种情况根据平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等，纵坐标之和也相等，表示出点N的坐标，代入抛物线解析式求解即可.

③如图3所示，从路径（轨迹）角度分析.假设以A，C，M，N为顶点的平行四边形存在. 在x轴上任取一动点M，把M看作定点，然后分别以AM，AC，CM为对角线作出三个平行四边形，设第四个顶点分别为N1，N2，N3.若拖动动点M可以发现，动点N1，N2，N3运动的路径均为与x轴平行的直线.易得N1，N3到x轴的距离等于OC=52， 到x轴的距离为52的直线有两条.易知，点N1的路径为直线y=52，点N2，N3的路径为直线y=-52.所以求点N的坐标就可以转化为由抛物线的解析式与点N的路径解析式组成的方程组的解的问题.

3 一题多解

解 （1）y=12x2-2x-52.（2）点P的坐标是2，-32.过程略.

（3）解法1  存在点N，使A，C，M，N四点为顶点构成的四边形为平行四边形.

①当AC为边时，如图2所示，若点N在x轴下方.

又对称轴为直线x=2，C0，-52，所以点N14，-52.当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D.

∵AC=M2N2，∠CAO=∠N2M2D，∠COA=∠N2DM2，

∴△AOC△M2DN2，∴N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为52.

∴12x2-2x-52=52，解得x=2+14或x=2-14，

∴N22+14，52，N32-14，52.

②如图1所示，当AC为对角线时，由四边形AM4CN4为平行四边形，知CN4∥AM4， 所以点N4的纵坐标为-52，∴N44，-52.

综上所述， 符合条件的点N的坐标为4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法2 设M（x，0），NxN，yN.

①若AC为对角线，则有-1+0=x+xN，0-52=0+yN，即xN=-1-x，yN=-52.

将N-1-x，-52代入抛物线表达式，得12（-1-x）2-2（-1-x）-52=-52，

解得x=-1或-5，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（与C重合， 舍去）或N4，-52.

②若AN为对角线，则有-1+xN=x+0，0+yN=0-52，即xN=x+1，yN=-52.，

将Nx+1，-52代入抛物线表达式，即12（x+1）2-2（x+1）-52=-52，

解得x=-1或3，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（与C重合， 舍去）或N4，-52.

③若AM为对角线， 则有-1+x=xN+0，0+0=yN-52，即xN=x-1，yN=52.

将Nx-1，52代入抛物线表达式，即12（x-1）2-2（x-1）-52=52，

解得x1=3+14或x2=3-14， 即xN=2+14或xN=2-14，

所以N2+14，52或N2-14，52.

综上所述， 符合条件的点N的坐标为4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法3 如图4所示，在x轴上任取一点M，连接CM，分别过点A，C，M作CM，AM，AC的平行线，得平行四边形ACMN1，四边形CMAN2，四边形ACN3M，分别过N1，N2，N3作x轴的垂线，垂足分别为F，G，E.过点M作MH⊥N2N3于点H.易证明N1F=N2G=N3E=OC=52.

所以N1运动的路径为直线y=52，N2，N3运动的路径为直线y=-52.

因为N1，N2，N3在抛物线y=12x2-2x-52上，所以N的坐标满足y=52，y=12x2-2x-52或y=-52，y=12x2-2x-52，

解得x1=2+14，y1=52，x2=2-14，y2=52，x3=0，y3=-52（舍去），x4=4，y3=-52.

综上所述， 符合条件的点N的坐标为4，-52，2+14，52或2-14，52.

解法4 如图3所示，因为A（-1，0），C0，-52，所以A，C两点间的水平距离为1，坚直距离为52.

设点M的坐标为（m，0），将点M按C→A方向平移， 得到点N1m-1，52，将点C按M→A方向平移， 得到点N2-m-1，-52，将点M按A→C方向平移， 得到点N3m+1，-52.

将点N1m-1，52，N2-m-1，-52，N3m+1，-52分别代代入抛物线的解析式y=12x2-2x-52得

①12（m-1）2-2（m-1）-52=52，解得m=3-14或m=14+3，

∴N12+14，52或N12-14，52.

②12（-m-1）2-2（-m-1）-52=-52，解得m=-1或m=-5，

∴N20，-52（与C重合， 舍去）或N24，-52.

③12（m+1）2-2（m+1）-52=-52，解得m=-1或m=3，

∴N30，-52（与C重合， 舍去）或N34，-52.

综上所述， 符合条件的点N的坐标为4，-52，2+14，52或2-14，52.

对于平行四边形的存在性问题中已知两个定点，先虚拟一个动点，围成一个三角形， 过三角形的每一个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，就可以确定平行四边形的第四个顶点.按照虚拟的第三个点，第四个顶点存在三种情况.但是第四个点到底有几个，要具体问题具体分析.

已知两个定点、两个动点的情况下，可以选择定点中的一个为起始点（如A），分别以AX（X为其他三个顶点）为对角线进行讨论.若有动点在直线上，则设这个点的坐标，用已知两个定点和直线上的动点坐标，根据“平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等，纵坐标之和也相等” 表示出第四个顶点.把第四个顶点的坐标代入满足的函数解析式，解方程即可. 如果是三个定点、一个动点的问题，则不需要构造两个方程来解决，通过平移即可解决.这种方法不需要画图，不漏解，最后需检验是否满足题意.

参考文献：

［1］ 董红凤.有效解决函数中动点型综合题教学探究［J］.数学学习，2016（01）：25-30.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：刘利果（1981.10-），女，河北省邢台人，本科，中小学高级教师，从事初中数学教学研究.