圆锥曲线的几何性质在解题中的应用研究

邹慧妤

摘 要：文章举例分析圆锥曲线几何性质在解题中的应用，旨在提高学生的解题能力，锻炼学生应用知识的能力，实现学生数学思维的发展.

关键词：高中数学；圆锥曲线；几何性质；解题策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）34-0098-03

圆锥曲线不仅是高中数学教学中的重点知识，还是一大难点.学生通过对圆锥曲线相关知识的学习，可以有效培养自身的逻辑思维、计算推理、数形分析、空间转换与想象等多项能力，还有助于学生转化思想、完整思维与乐观心态的形成.在高中数学解题教学中，教师需指导学生应用圆锥曲线的几何性质处理部分特殊试题，使其根据题意灵活运用圆、抛物线、双曲线、椭圆等相关知识来解题，助推他们顺利突破解题障碍，不断提升个人的解题水平.

1 运用圆锥曲线定义，有效解答数学最值问题

例1 已知椭圆x216+y24=1上存在一点D，且点D距椭圆两个焦点的距离之积是A，求A的最大值及点D的坐标.

解析 当读完题目内容以后，教师要求学生把圆锥曲线的定义、最值等基础知识罗列出来，结合现有现象研究本题所考查的知识要点.围绕题干中提供的两个条件，他们可采用椭圆的第一定义与不等式的基本性质等知识，把原题转变为求点D与两个焦点的距离积问题，据此求解［1］.

设椭圆x216+y24=1的左焦点是F1，右焦点是F2，结合题意能够得到|DF1|+|DF2|=2a=8，A=|DF1|·|DF2|≤（|DF1|+|DF2|2）2=16.

由于只有当|DF1|=|DF2|时，等号才能够成立，根据题意是求点D距椭圆两个焦点的距离之积A的最大值，所以当|DF1|=|DF2|时距离之积的最大值是16，所以点D的坐标是（0，2）或者（0，-2）.

本题主要考查学生对圆锥曲线定义的具体应用.通过分析题目能明确这一点，但是需注重对圆锥曲线定义的拆分，使学生快速掌握解题思路，提高解题效率.

2 借助数形结合思想，解决动直线过定点问题

动直线过定点问题是高中数学中一类难度比较大的题目，既考查学生对圆锥曲线相关几何性质的应用，又对学生的数学分析能力有着较高要求.教师可提示学生借助数形结合思想的优势，深化个人逻辑思维，使其快速找到解题的切入点.

例2 如图1所示，在一个椭圆x24+y2=1上存在一个点A，且点A位于y轴的上半部分，到原点的距离是1，现在过点A作两条相互垂直的直线l1和l2，每条直线与椭圆均存在一个交点，分别是点M和N，将MN连接起来，求证：直线MN恒过一个定点，并求出该点的坐标.

解析 本题是一道典型的动直线过定点问题，结合题干中给出的信息让学生进行梳理，发现点A不仅在l1上，还在l2上，l1和l2又是垂直关系，所以与斜率肯定有所联系，学生从斜率着手几何恒等关系列出相关方程来解决.

设直线l1的斜率是k，根据题意可知l1过定点A（0，1），则直线l1的方程是y=kx+1.

由于l1和l2是垂直关系，则l2的斜率是-1k，直线l2的方程是y=-1kx+1，代换后得到等式（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0或x=-8k1+4k2，x=0不符合题意，故舍去.

将x=-8k1+4k2代入y=kx+1中能够求出点M的坐标，同理求出点N的坐标，然后利用两点式可以获得直线MN的方程，即为y=（k2-1）x5k-35.

则该直线恒过定点（0，-35）.

3 几何性质入手分析，驱使学生简洁解答试题在一些解析几何类试题中往往含有一定的几何图形结构，教师应当引领学生从圆锥曲线的几何性质入手分析题意，认真审理题目内容，找出各个条件及条件之间的联系，使其从中迅速找到解题思路，驱使学生简洁解答试题.

例3 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点是F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，sin∠ABF=35，则椭圆C的离心率e=_______.

解析 学生通过对题目内容的阅读与分析，可以根据题意画出图形，如图2所示，根据正弦定理求sin∠AFB值，然后根据图形结构求出a与c的值.

如图2，由正弦定理得10sin∠AFB=63/5.

由此可知sin∠AFB=1，则∠AFB=90°，那么在Rt△ABF中，BF2=AB2-AF2=102-62=64，

所以|BF|=8.

设F′是该椭圆的右焦点，那么四边形AFBF′是矩形，|BF′|=|AF|=6.

所以2a=6+8=14，解得a=7.

又因为2c=|FF′|=|BF|2+|BF′|2=10，

则c=5.

所以椭圆C的离心率e=ca=57.

4 注重融入相关知识，有效降低学生解题难度

数学是一门典型的逻辑性科目，各个知识点之间有着关联性较强的特点，尤其是在解题训练中，在处理一些数学题目时往往要用到与之有关的知识.要求学生阅读题目内容时，深入发掘题目中涉及的知识点，找到这些知识之间的内在联系，使其形成清晰、简便的解题思路，有效降低解题难度.

例4 已知椭圆方程是x236+y225=1，那么该椭圆内接矩形的最大面积是多少？

解析 大部分学生看到这一题目时，一般都能够明确解题的大致方向，即采用坐标求解矩形面积.不过由于受到思维的限制，导致他们习惯性把坐标设为x与y，这样后续计算量较大，十分麻烦.结合题意发现求解這一最值时要用到函数知识，其中三角函数是一种有界函数，能够提供很好的助力，可联系三角函数及圆锥曲线的几何性质进行解题.

设该椭圆的内接矩形是ABCD，其中AB和y轴的交点设为F1，线段AD与x轴的交点设为F2，根据椭圆的参数方程可知，点A的坐标是（6cosα，5sinα），其中

0＜α＜π2.然后设该椭圆的内接矩形面积是S，则S=4|AF1|·|AF2|=4×6cosα×5sinα≤60，根据题意可知当且仅当α=π4时，等式才能够成立，所以该椭圆的内接矩形最大面积是60.

5 巧妙利用几何性质，解答轨迹类型问题

在轨迹类型题目中，圆锥曲线主要表现在两个方面，即根据方程对动点运动轨迹进行判断、利用圆锥曲线性质求解方程式.轨迹类型题目主要考查学生对曲线性质的掌握以及运用，灵活利用曲线性质对运动轨迹进行分析，列出相应的方程式［2］.

例5 方程x2+（y-2）2=x-y-4对应点P（x，y）的轨迹是_______.

A.椭圆  B.抛物线  C.双曲线  D.两直线

解析 在解题时，通过对方程进行变形，可以看出动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与其到直线l：x-y-4=0的距离的比值是2，根据曲线的性质可以得出，离心率大于1的只有双曲线，所以点P的运动轨迹是双曲线.

6 灵活利用曲线性质，有效解决三角形问题

在高考数学中，圆锥曲线与三角形结合是高考命题的一个重要趋势，要求学生利用曲线性质，结合已知条件做出判断，构建圆锥曲线与三角形的关系，完成三角形问题解题.

例6 已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，经过点F2作出椭圆长轴的垂线，和椭圆的一个交点是P，如果△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_______.

解析 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），假设P（c，h），所以c2a2+h2b2=1（a＞b＞0）.所以h2=b2（1-c2a2）.

所以|h|=b2a.

根据题意得知∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°.

所以在Rt△F1PF2中，|PF2||F2F1|·|PF2|2c=|h|2c，所以a2-c2=2ac.

所以e=2-1.

总而言之，圆锥曲线是一类极为重要的数学知识，在整个高中数学课程体系中占据着非常关键的位置，而圆锥曲线的几何性质不仅有着自身的特殊性，还能够应用到解题中.数学教师在解题训练中，应当指引学生根据实际情况有的放矢地运用圆锥曲线的几何性质，使其形成清晰的解题思路，找到更为便捷的解题方法，继而提高他们的数学解题能力.

参考文献：

［1］ 方志平.圆锥曲线的定义在解题中的运用［J］.中学数学研究， 2023（03）：53-55.

［2］ 郑灿基.圆锥曲线中的解题优化［J］.数理天地， 2021（10）：13-15.

［責任编辑：李 璟］