定比点差法在圆锥曲线定值定点问题中的应用

湖北省荆门市龙泉中学 (448000) 范明辉

解析几何中的圆锥曲线问题一直以来是高考数学中的一座“高地”，难于攻克，不少人都望而生畏，究其原因，不外乎是苦于圆锥曲线问题繁琐的运算.定比点差法，则可以解决繁复的数学运算，优化解题过程.

一、定比点差法

所谓定比点差法，本质就是充分利用定比分点和圆锥曲线方程中横、纵坐标表达式的一致性，而采用的一种优化运算过程的变形手段.

1.定比分点

2.调和点列

图1

二、典例精析

1.定点问题

分析(1)联立方程即可求解椭圆C的方程；(2)将|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|转化为向量形式，利用定比分点公式，结合定比点差法，得出点Q的轨迹过定点.

2.定值问题

∴λ+μ=6，又

经过探究可以发现，类似于例1，例2的圆锥曲线定点、定值问题，通过“定比点差法”都可以较为容易的解决，解决的过程是有迹可循的，熟练掌握定比分点公式后可当作“模板”一样快速完成，并且整个解答过程并没有复杂的数学运算.由此可见，“定比点差法”在解决圆锥曲线中的定值、定点问题时有着不可忽视的优化作用，值得在日常教学中多加训练和应用.