巧设直线方程解过焦点的弦长问题——以2022年全国Ⅰ卷第16题为例

江苏省苏州实验中学 (215151) 张文海

高考选择题，填空题中的解析几何题大多概念性较强，小巧、灵活，思维多于计算.解答题则立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题.下面以一道高考题为例，谈谈如何巧用公式来处理解析几何中过焦点的弦长问题.

分析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了学生公式选用能力、运算求解能力、几何观察能力，解题入口宽，思路多样化．

思路1联立方程，利用圆锥曲线弦长公式硬算

图1

思路2观察特征，利用焦点弦的坐标公式简算

因为直线DE过了椭圆的左焦点F1，所以根据圆锥曲线的统一定义可以推导出DE=DF1+EF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2).

思路3调整视角，利用焦点弦极坐标公式巧算

可知△AF1F2为等边三角形，DE为AF2的中垂线，所以EA=EF2，DA=DF2，故△ADE的周长等于△DF2E的周长4a．根据极坐标可得

故△ADE的周长等于△DF2E的周长4a=13．

思路4调整视角，利用焦点弦的参数方程妙算

在解析几何中，解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本方法是设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，利用韦达定理，体现一种“设而不求”的思想.在设直线方程时，我们习惯于用斜截式、点斜式、截距式，但对于过定点的弦长问题，我们不妨考虑圆锥曲线的极坐标方程或者直线的参数方程，可能会简化我们的运算，提高答题的效率和效益.