在数学活动中落实核心素养——《一张A4纸中的数学》教学

文|徐世凤

人教版五年级下册“长方体和正方体”单元整理和复习是在学生已经学习了长方体和正方体的特征、表面积、体积等基础上进行学习的，本节课紧紧围绕一张A4 纸展开数学学习活动，引导学生在一张A4 纸中揭秘数学。笔者着眼于学生数学核心素养的落实和培育，结合“一张A4 纸中的数学”教学实践与思考，寻找数学核心素养的孕育点和生长点，阐述培养学生“三会”数学核心素养的教学策略，通过折纸活动启发学生发现并提出数学问题、辨析大小关系、探寻体积变化规律，逐步培养学生“三会”数学核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，把数学学习内容与数学核心素养的培育紧密融合在一起，在数学学习活动与数学课程内容的深度融合中实现数学核心素养的落地生根。

【教学过程】

教学片断一：一张A4 纸中有数学吗？

课件播放：仅用A4 纸创造出的手工艺术品。

学生看完后，不禁发出感叹：“一张纸竟然有如此之大的魔力！”

师：（出示一张A4 纸）想一想，一张A4 纸中有数学吗？你能提出哪些数学问题？

生：这张长方形A4 纸的长是多少？宽是多少？

生：这张长方形A4 纸的周长和面积分别是多少？

生：这张A4 纸有多厚？

生：这张A4 纸有多重？

生：用这张A4 纸折出一个长方体，这个长方体的棱长总和、表面积和体积分别是多少？

……

师：同学们提出来的问题都很有研究价值！想一想，要解决一张A4 纸有多重这个数学问题，需要什么数学信息？

生：需要知道一包A4 纸有多重，还需要知道一包A4 纸共有几张。

师：（出示一包A4 纸的外包装图）如果只有这些A4 纸的外包装信息，你能求出一张A4 纸有多重吗？

生1：根据“70g/m2”这个条件，可以知道每平方米的纸重70g。

生2：我们还需要知道一张A4 纸大概有多少平方米。

生3：根据“210mm×297mm”这个条件，可以算出一张A4 纸的面积=0.21×0.297=0.06237（m2）。

生4：小数位数太多了，不好算出结果。

师：为了研究方便，本节课将A4 纸的长和宽都估成整厘米，分别是30cm 和21cm，转化单位后算出面积，再乘70g/m2，算出一张A4纸的质量0.21×0.3×70=4.41（g）。

【思考：通过“一问”数学提问，激活学生的问题意识，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界。爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。上述片断学生在欣赏完精美的手工艺术品后，个个跃跃欲试，此时教师趁热打铁，追问学生在一张A4 纸中是否也能找到并提出数学问题，学生的问题意识一下被激活，他们尝试用数学的眼光去观察这张生活中常见的A4 纸。从学生提出一连串有价值的数学问题中可以看出，他们已经具备较好的数学眼光，这得益于教师创设的有利于学生发现并提出数学问题的学习活动。学生的问题意识需要教师根据实际教学内容有意识地培养，教学中教师应为学生提供发现问题、提出问题的素材和时空，引导学生用数学的眼光在众多繁杂的图文信息中寻找关键信息，并迁移旧知帮助理解，激活学生的问题意识，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界的良好习惯。】

教学片断二：做一个无底无盖的长方体

活动任务：用一张A4 纸做一个无底无盖的长方体。

活动要求：充分利用这张A4纸，不浪费，比比谁的方法多。

生1：沿着长连续对折两次，将这张A4 纸平均分成四份，再围成一个无底无盖的长方体。

生2：沿着宽连续对折两次，将这张A4 纸平均分成四份，再围成一个无底无盖的长方体。

师：你还能想到其他折法吗？

生3：沿着长折，但没有把A4纸平均分，围成一个无底无盖的长方体。

生4：沿着宽折，但没有把A4纸平均分，围成一个无底无盖的长方体。

教师同时呈现以上四种长方体（如下图），引发学生小组交流讨论：这四个长方体的体积，哪个最大？找出体积最大的长方体并说明理由。

小组1：我们小组经过认真观察，发现①③两个长方体都是将A4 纸平均分成四份，这两个长方体的底面都是正方形，分别用30÷4 和21÷4 就能求出它们底面的边长，进而求出两个长方体的体积，因此①③两个长方体的体积大小通过运算比较得出：①＞③。

小组2：①②两个长方体都是沿着同一个方向折，高相等，底面积不同，但底面周长是相同的，根据“周长相等的长方形，长和宽相差越小，面积越大”，得到①号长方体的底面积大于②号长方体的底面积，因此，①②两个长方体的体积通过推理比较得出：①＞②。

小组3：按照第2 小组的方法，我们发现③④两个长方体也都是沿着同一个方向折，高相等，底面积不同，但底面周长是相同的，根据“周长相等的长方形，长和宽相差越小，面积越大”，得到③号长方体的底面积大于④号长方体的底面积，因此，这两个长方体的体积大小关系是③＞④。

小组4：因为①＞③，①＞②，③＞④，所以得出①号长方体的体积最大。

【思考：通过“二折”数学活动，引导学生辨析长方体的体积大小关系，培养学生学会用数学的思维思考现实世界。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。”数学教学其实是思维活动的教学，教学中教师通过创设富有深度的问题情境，引导学生对比、辨析、推理，形成有条理、有逻辑的思维品质，养成用数学的思维进行思考的理性精神。上述教学片断中，教师呈现四个已知高的长方体，启发学生辨析这四个长方体体积之间的大小关系，很好地引导学生用数学的思维去思考。在有限的已知信息中，学生不断用数学思维去拓展无限的思辨空间，经历一次运算、三次推理，最终辨析出四个长方体的体积大小关系，亲历折纸操作、思维辨析的数学活动，学生逐步学会用数学的思维去思考现实世界。】

教学片断三：做一个有底无盖的长方体

活动任务：用一张A4 纸做一个有底无盖的长方体。

活动提示：这张A4 纸可以剪掉一部分，也可以都不剪。

（学生动手操作，教师巡视并随机展示学生的作品）

师：这样的长方体的高可以是多少厘米？（以整厘米为单位）

生：长方体的高可以是1cm、2cm……10cm。

师：它的高可能是11cm 吗？

生：长方体的高不可能是11cm，因为如果长方体的高是11cm，2×11＝22（cm），那么A4 纸的宽应该要大于22cm，而A4 纸的宽只有21cm，显然不够。

师：当长方体的高分别为1cm、2cm……10cm 时，长方体的长、宽、表面积和体积分别是多少呢？

（学生分组计算后汇报，课件列表呈现学生计算得到的结果）

师：仔细观察表格中各个量的变化规律并尝试解释其中的道理。

生：我们小组通过观察表格的长、宽、高以及表面积，发现长方体的表面积随着高的增加而减少。

生：我们小组通过观察表格的长、宽、高以及体积，发现长方体的体积随着高的增加，呈现出先增加后减少的变化规律。

师：真善于观察！这些变化规律背后的道理是什么呢？

生：从长方体的展开图中可以看出，一条长与两条高合起来是30cm，一条宽与两条高合起来是21cm，和不变，高增加，长和宽就相应减少，长方体的表面积就是剩余A4 纸的面积，高越长，四个角剪下来的正方形越大，剩余A4 纸的面积就越小，所以长方体的表面积随着高的增加而减少。

生：长方体的体积是由长、宽、高三个因素共同决定的。刚开始高的长度逐渐增加，长和宽逐渐减少，长、宽、高的长度越来越接近，三者的乘积就越来越大，即长方体的体积随着高的增加而增加。当高增加到一定程度并继续增加时，长和宽的长度开始减少，此时长、宽、高的长度差距越来越大，三者的乘积就越来越小，即长方体的体积随着高的增加而减少。

师：咱们借助几何画板动态演示，直观验证发现的变化规律。

【思考：通过“三折”数学活动，探寻长方体大小变化规律，培养学生学会用数学的语言表达现实世界。数学语言是数学文化的外在表现，提升数学核心素养最好的切入点便是培养学生用数学的语言表达现实世界，学生数学学习的效果很大程度上取决于学生运用和表达数学语言的结果。对比活动二和活动三的操作要求，活动二直接折就能做出相应的长方体，而活动三的操作要求更高，不但要会折，而且在四个角上还需按相同的比例剪、拼，才能做出一个有底无盖的长方体。其实这种有关有底无盖的长方体展开图问题在作业中经常出现，但学生完成的情况却不大理想，原因在于学生缺乏动手操作，缺乏深度交流。通过设计这样的活动让学生经历做中学，并用数学语言表达其中的变化规律，实现深度学习。教学中教师通过创设探寻变化规律的问题情境，启发学生用数学语言描述自己的发现并解释变化规律背后的道理。值得一提的是，长方体体积的变化规律比较复杂，学生仅凭想象是很难用数学语言说清道明的，为此教师借助几何画板动态演示，直观验证变化规律，助力学生更好地表达发现的变化规律，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。】