基于核心素养的高中数学微型探究的教学设计与思考

［摘  要］ 文章以“立体几何初步”的教学为例，浅谈基于核心素养的高中数学微型探究的教学设计与思考.

［关键词］ 核心素养；微型探究；教学设计

核心素养是未来数学教育改革的关键和数学课程改革的核心，在教育不断改革并迅速发展的今天，提升学生的核心素养无疑是极其重要的［1］. 然而，迫于高考压力，仍有不少教师还是热衷于传统的教学方式，过分重视专业知识的传授和学生解题能力的训练，而忽视概念、定理等重要数学知识的过程性教学，不能很好地引导学生领悟数学本质与数学思想方法，导致学生数学学科核心素养的培养匮乏.

微型探究是指教师根据学生实际情况、教材特征以及具体教学内容的特点，针对某节课的重难点、关键点或该节课某个知识的疑点、易错点而选择一个合适的角度，通过创设有效情境，使学生能在短时间内快速达成教学目标的探究活动. 微型探究作为一种优化数学探究的方式，具有“短”（教学内容耗时较短）“小”（针对特定知识点，切口小）“精”（精心创设问题情境）“悍”（形式灵活，有的放矢）等优点. 微型探究基于人本理念，尊重学生，理解教材，将一节课中某些关键性知识通过探究完成传授，而其他内容则辅以教师讲授，使探究式与讲授式两种重要的教学方式相辅相成、互为补充、和谐共存，极大地增强课堂活力，优化数学课堂教学，不仅兼顾传统教学的优势，而且充分发挥探究教学的作用，促进学生知识、能力以及数学素养共同发展.

下面，笔者以“立体几何初步”的教学为例，浅谈如何对数学概念、定理等知识开展微型探究.

精心设计概念微型探究，感受概念自然形成的过程，发展直观想象、数学抽象等核心素养

“数学根本上是玩概念的”. 在概念教学中，有的教师为了赶进度，往往照本宣科，直接叙述教材上的定义，然后就是大量练习. 这种以解题教学代替概念教学的行为，没有让学生亲身经历概念形成的过程，学生对概念的理解停留在一知半解的层面上. 概念教学要讲清楚概念的来龙去脉，通过微型探究，分析透彻概念的本质与内涵，使学生积极参与自我探索、自我发现的反思建构活动，充分经历直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，获得良好的数学素养.

案例1 棱柱的结构特征.

（1）直观感知，抽象概括.

问题1 观察图1中的①②③④，它们各自有什么特点？又有什么共同特点？

设计意图 引导学生观察图片或实物模型，在充分分析这些棱柱各自的特点以及共同特点后，归纳出棱柱的结构特征及其概念.

（2）变式探究，深化理解.

问题2 一个长方体ABCD－A′B′C′D′（如图2所示）被截去一部分，其中 EH∥A′D′，那么截去的几何体是否为棱柱？剩下的几何体呢？

设计意图 通过改变棱柱的放置位置，引导学生关注棱柱的概念，深化学生对棱柱概念的理解，培养学生用概念思考问题的习惯.

问题3 观察长方体ABCD－A′B′C′D′，共有多少对平行的平面？其中能作为棱柱底面的有几对？

问题4 图3所示的是一螺杆模型，观察它的头部有多少对平行的平面？其中能作为棱柱底面的有几对？

设计意图 问题3、问题4借助变式探究，结合具体空间图形明确棱柱底面、侧面的结构特征，深化学生对棱柱概念的理解.

问题5 有人认为，如果某一个几何体有两个面互相平行，其他各面都是平行四边形，那么这个几何体一定是棱柱. 这对吗？请你举例说明.

设计意图 引导学生尝试构造反例（若有困难，可以引导学生动手制作模型，如图4所示），通过概念辨析，进一步深化学生对棱柱概念的理解.

上述关于棱柱概念的微型探究，先引导学生充分观察图片或实物模型，然后通过问题驱动探究，使学生在直观感知、观察发现、抽象概括、反思建构等思维过程中，形成对棱柱深刻的体验与感悟并内化为知识结构，最终迁移、升华成创新思维，对棱柱的理解也由感性上升到理性，提升直观想象与数学抽象等核心素养.

精心设计定理微型探究，挖掘定理产生的背景与历程，发展数学抽象核心素养

定理也是高中数学中的重要内容. “立体几何初步”的定理教学的基本途径是，让学生充分观察空间图形和动手实验，经过直观感知、操作探索，最后归纳概括出相应定理，并应用定理去证明关于空间基本图形位置关系的简单命题. 在定理教学中进行微型探究，教师可以通过创设生活情境或借助实物模型，引导学生开展自主探索活动，使学生了解定理产生的背景，经历定理自然形成的过程，并体会蕴含其中的数学思想，提升数学抽象素养.

案例2 直线与平面垂直的判定定理.

（1）创设情境，引导观察.

问题1 某校要安装一根8米长的旗杆，如图5所示，可以先从旗杆的顶端引两条10米长的绳子，再拉紧绳子，使绳子的下端刚好落在地面上两点（与旗杆底端不在同一直线上）. 若这两点与旗杆底端的距离都为6米，就知道旗杆和地面垂直，为什么？（继续投影如跨栏、挂物架等生活中的示例圖片）

（2）折纸实验，形成猜想.

折纸实验：学生拿出一张事先准备好的三角形纸片，过顶点A将纸片翻折，如图6所示，形成一条折痕AD，然后将翻折后的纸片竖立在水平桌面上（保持BD，DC与桌面紧密接触）.

问题2 ①折痕AD是否与桌面垂直？②要如何进行翻折，才能使得折痕AD与桌面所在的平面α垂直？

问题3 ①纸片翻折前后，虽然纸片的形状发生了变化，但保持不变的是什么？（考虑线与线的位置关系）②将纸片绕直线AD（点D始终在桌面上）转动，若直线CD，BD不在桌面所在的平面α内，则直线AD与桌面所在的平面α垂直吗？（引导学生明确：若直线AD与平面α垂直，则直线CD，BD都必须在平面α内.）

设计意图 在定理关键点处设计有助于学生发现结果的问题串，使学生通过构造反例、实验操作，理解直线与平面垂直的判定定理成立的条件（注意突出关键句：平面内的两条相交直线）.

（3）抽象概括，形成定理.

问题4 ①将图6的折纸模型抽象成图7①所示的图形，那么直线l与平面α垂直的条件是什么？②将图7①中的两条相交直线m，n的位置改成图7②所示的位置，仍满足l与m，n垂直，则直线l还与平面α垂直吗？根据以上分析，请你叙述直线与平面垂直的判定定理，并结合图7用符号表示.

设计意图 鼓励学生尝试用文字、图形、符号三种数学语言表述直线与平面垂直的判定定理，培养学生的数学语言交流能力，发展其数学抽象素养.

（4）反思建构，深化理解.

问题5 直线与平面垂直的判定定理与直线与平面互相垂直的定义相比较，具有什么优越性？

设计意图 引导学生感悟判定定理“将空间问题转化为平面问题”“将线面垂直转化为线线垂直”“将无限转化为有限”的数学思想.

问题6 请大家回答问题1中的安装旗杆的原理. 为什么必须保持两条绳子的下端在地面上的两点与旗杆的底端不共线？

设计意图 回扣情境，用学到的数学知识解释实际生活中的现象，增强学生应用数学的意识，深化学生对直线与平面垂直的判定定理的理解.

上述微型探究，引入了生活情境、折纸活动、问题串，学生經过观察发现、归纳猜想、分析综合、抽象概括等思维活动，完成由感性认识上升为理性认识的思维抽象过程，有效发展了直观想象与数学抽象等核心素养. 根据史宁中教授的研究，数学抽象按程度不同可分为三个阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段. 本案例先将复杂的线面垂直判定问题简洁化，抓住问题的本质特征，以实际生活例子和有趣的折纸活动，启发学生直观感知并形成猜想，完成简约阶段的抽象过程；接着对折纸活动得到的认识进行反思，依托逐步深入的问题系列，创设有利于学生发现结果的探究氛围，使学生不断纯化结论，形成判定定理，完成符号阶段的抽象过程；最后回扣情境，用线面垂直的判定定理解释旗杆安装的原理，完成普适阶段的抽象过程.

在概念、定理等知识应用过程中精心设计微型探究，促进学生深度学习，发展逻辑推理与数学运算等核心素养

数学概念和定理有着丰富的内涵与外延，其形成和应用是一个循序渐进、逐步深化的过程. 因此，在经历概念、定理的形成过程后，还要进行有针对性的实际应用以及适当拓展才能进一步深化学生对它们的理解. 在概念、定理等知识的应用过程中精心设计微型探究，深入挖掘数学思想方法，使学生在应用概念、定理解决问题的过程中进行反思与再建构，可促进学生深度学习，进一步完善知识结构，提升数学素养.

案例3 空间角的计算.

（1）回归概念，把握本质.

问题1 请同学们回顾并辨析两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角以及二面角的概念，叙述这三种角的计算方法.

设计意图 对空间角的概念进行回顾并辨析，弄清疑点、易错点，厘清计算思路.

（2）迁移应用，深化理解.

问题2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，①求下列异面直线所成的角的大小：CD′和BC′；AC和B′D. ②求下列直线和平面所成的角的大小：D′C和平面BCC′B′；D′C和平面A′B′CD. ③求下列二面角的余弦值：二面角A′-BC-D；二面角A′－BD－A.

设计意图 空间角的计算要遵循“一‘作（利用平行转化或辅助线作出相应的角）”“二‘证（根据空间角的概念，利用立体几何中的判定定理、性质定理证明所作的角即为相应空间角的平面角）”“三‘算（利用解三角形的知识或相关的平面几何知识计算求解）”的步骤. 通过设计简单的三种空间角的计算问题，进一步巩固学生对空间角的认识.

（3）拓展训练，深度学习.

简析 如图9②所示，过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF. （一“作”）

由已知可证AE⊥平面PBC，故AE⊥PB. 又AF⊥PB，故PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF，故∠AFE是二面角A－PB－C的平面角. （二“证”）

变式题：若H在线段PB上运动，求AH与平面PBC所成最大角的正弦值. 结合问题3，有什么发现？

设计意图 二面角是高中数学十大难点概念之一［2］. 除定义法外，还能用“三垂线法”作二面角的平面角求解（有时更方便，如问题3）. 在解题后通过变式拓展，启发学生深入探索空间角的内隐规律（比如，在二面角的一个平面内的任意一条直线与另一个平面所成的角，最大等于该二面角的大小），把握空间角问题的本质，进一步感悟求解空间角问题的基本策略，体会立体几何动点问题的处理方法，熟悉数形结合思想方法的应用，实现数学不同板块知识的融会贯通.

上述关于空间角概念应用的微型探究，由易到难，由静到动，层层递进，凸显概念、定理在解题中的基本作用. 突出本质，注重探究，构建空间角问题“一‘作”“二‘证”“三‘算”的基本求解策略，通过变式探究，有效训练学生的基本知识与基本技能，并适度拓展学生思维的深度和广度，在学生想图、画图及用图的过程中发展直观想象、数学抽象、逻辑推理以及数学运算等核心素养.

设计微型探究教学时，教师首先要树立“为理解而教”的思想，把学生的理解视为重要关注点，在概念、定理的教学过程中自然渗透数学思想方法，强调数学本质，适当融入数学文化，并深入挖掘概念、定理等数学知识的教育价值，促使学生深度学习的发生［3］.

基于核心素养的微型探究教学在理解学生、理解数学、理解教学的多重视角上开展，为学生思维能力的发展营造良好互动的氛围. 返璞归真、凸显本质、以小见大、见微知著，有效突破教学重难点，解决疑点和易错点，使学生深刻理解数学知识，促进学生能力与素养和谐发展.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 阮晓明，王琴. 高中数学十大难点概念的调查研究［J］. 数学教育学报，2012，22（05）：29-33.

［3］ 李锋. 注重课堂学习评价 发展数学核心素养——以一节微专题复习课的教学为例［J］.中国数学教育，2022（20）：16-20+28.

基金项目：2020年度福建省基础教育课程教学研究课题“指数函数与对数函数课堂学习评价的实践研究”（MJYKT2020-032）.

作者简介：李锋（1974—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教育与教学研究工作.