数学广角“鸽巢问题”教学设计

丁海生

观察人教版小学数学教材，可以发现每册教材中都有一个单元是关于“数学广角”的内容，但它的作用是什么呢？为什么教材要这样设置呢？“数学广角”为什么不直接叫做“数学单元应用”呢？

其实仔细阅读后可以发现在这一部分的课题中，教材着重向学生渗透一些数学思想及方法，使学生深入理解本册教材中抽象的数学理念、公式、定理，并加以综合应用，将数学问题与实际生活相联系，使数学原理不再是束之高阁的真理，而是平易近人的解决方式，培养学生的数学核心素养。本文将以人教版小学数学六年级下册的“数学广角”单元的“鸽巢问题”教学设计为例，观察“数学广角”单元在教学中发挥的独特作用。

一、教学目标

★初步认识“鸽巢问题”；通过观察、比较、判断、归纳等方法，经历“鸽巢问题”的探究过程；理解几个不同原理虽然使用的名字不同，但是其本质相同。

★明白“鸽巢问题”的推导过程，掌握“鸽巢问题”的一般形式；能够应用“鸽巢问题”解决实际问题。

★通过“鸽巢问题”的灵活运用，对数学推理有进一步的认识，对数学的严密性和科学性有更深的体会；感受数学的独特魅力，渗透数学的模型思想。

二、教学重、难点

教学重点：

理解“鸽巢问题”的具体内容，掌握先“平均分”，再分配的方法。

教学难点：

学生理解“总有”“至少”词语的意义，知道数量与种类之间的联系；建立鸽子与鸟巢的数学模型。

三、教材分析

“鸽巢问题”中包含着一个重要而又基础的数学问题，应用其中的原理可以解决很多问题，本节课学生初步认识这一问题中蕴含的定理，了解定理的由来，通过几个直观的数学情境，明白重点词汇下的组合分配方式，在理解的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，应用“鸽巢问题”解决。在模型的不断建立过程中，加深对“鸽巢问题”的理解应用，从而在复杂的数学问题中可以拓展应用。

四、学情分析

学生对“平均分”有一定的了解。“数学是思维的体操”，“鸽巢问题”就是学生应用数学知识推理得出结论的过程。但由于“鸽巢问题”关键是一个抽象的存在性问题，学生理解易存在偏差，故教师教学中要把握实际与抽象转换的界限，使学生深刻理解数学原理，并建立起自己的思维模型，这具有一定的挑战性。

五、教学过程

（一）复习旧知，导入主题

师：同学们，老师家里有两个苹果，但是却有四个家人需要分享苹果，应该怎么分配呢？

生：我知道！可以将苹果对半切开，然后就可以进行平均分配了。（引导学生说出“平均分”的概念）

师：看来大家都很聪明呢！那如果老师需要分配的物品不能拆分呢，现在老师家里养了四只鸽子，需要将它们放在三只鸟笼里，你还会分配吗？

（教师通过“平均分”概念导入，但是与之前平均分配问题不同的是本节课中的物品不可拆分，引导学生从平均分配的状态进入推理分配的情境）

（设计意图：通过两个小的生活情境导入，第一情境采用可以拆分的物品，学生可以采用平均分的方式进行分配，第二个情境采用不可拆分物品进行提问，二者形成对比，学生借此思考在不同物品状态下的推理。导入今天的新课，不可拆分物品下的分配状态。）

（二）创设情境，引出问题

师：看来同学们对“鸽子的家在哪里”都很感兴趣，那现在我们一起动手操作模拟一下这个情境。

教师指导学生利用身边力所能及的物品模拟情境。用铅笔替代鸽子，笔筒代替鸟笼，以小组为单位，尝试将物品进行分配。

师：如果将四支铅笔放入三个笔筒，你会怎么分配呢？

（引导学生再次明确探究的问题，关注问题本质，不单单是某个物体或者情境，而是类似情境需要解决问题的迁移）

（设计意图：指导学生进行情境的模拟，为之后的动手操作作准备，也使学生了解到这个问题并不是仅仅只存在特定情境下，而是通过不同的生活情境总结出的一类问题的特性。）

（三）自主探究，解决问题

学生探究，分小组反馈成果。

（学生操作，教师巡视指导）

1.直观列举

这一组学生认为鸽子只有四只，数量不多，可以将所有的可能情况列出再进行探究。

他们将四支铅笔进行分配，分配方式有四种：

第一种，所有笔筒先进行平均分配，采用之前所学的除法算式进行列式，发现余下一支铅笔，而这只铅笔只能随机分配给其中的一个笔筒，才能保证所有的铅笔都能有笔筒放置。

第二种，笔筒的大小并未确定，这组学生认为可以直接都放进一个笔筒，这样就不存在分配的问题。

第三种，在上一组学生的影响下发现有两个笔筒处于空置状态，如果只有一个笔筒空置的话，我们就可以将四支铅笔平均放入两个笔筒中。

第四种，有一个笔筒空置的情况时，我们可以将其余两个笔筒中的一个放入三支，一个放入一支，也不失为一种分配方式。

在进行完情况的模拟后，他们还进行了作图列举，如图1。

2.理论推理

另一组学生则是直接进行思考，然后根据一种情况进行推理。

首先他们还是维持“平均分”的思想进行分配，发现鸽子和鸟笼如果是一一对应的状态，那三个笔筒中必有三支铅笔。可是现在我们手中多出一支铅笔，所以总有一个笔筒至少有两支铅笔。

（设计意图：设计学生采用两种不同的分配方式进行分配，学生的思维是发散的，而且他们的想法并不会受到思维的拘束，所以教师要针对学生可能出现的各种情况进行模拟，就像本文中学生探究的“直观列举法”就是学生最常采用的方式，在此基础上学生也有可能跳出“平均分”的概念进行分配。教学设计既要考虑学生的既有水平，也要關注学生发展水平的进步。）

（四）构建模型，总结方法

师：同学们的想法非常多呢！在同学们的表述中出现了两个特别的词汇“总有”和“至少”，有没有同学能结合你们两组的想法谈一谈这两个词在其中的含义呢？

（引导学生根据列举法解释词汇含义）

生：通过列举法可以发现“总有”是在所有情况中这个特性是固定不变的，“至少”则是在问题中有多余的数量需要我们划分，在调整之后分得的数量。

师：同学们的观察很细心，但是如何找到这个多出来的数量或者“至少数”呢？

生：可以平均分，多余的数量再加上平均分的数量就是“至少数”。

师：看来同学们都有自己的想法呢？但是老师想问问大家如果老师手中有100根铅笔需要分配到99支笔筒里，你们的方法还能使用吗？

师：有的同学面露难色，是的，在数量庞大的物品分配中，我们使用列举法时情况会非常复杂，所以一般我们会采用“平均分”的方式进行划分。那“平均”后我们具体需要怎样调整呢？

（引导学生思考问题解决步骤）

生：我们需要先找到这个“至少数”，可以通过列有余数的除法计算，得出多余的数量，再将多余数量调整。

（设计意图：学生根据之前的问题探究操作解决“总有”和“至少”的情况，再找到“至少数”，最后通过庞大数量的物品分配，得出使用先“平均分”再调整的方式解决问题更为广泛和简捷。同时引导学生思考问题解决步骤，使学生联想到应用有余数的除法算式的数学方法解决问题。）

（五）运用模型，综合实践

师：同学们的思路非常清晰，那这种思路是否能在实际问题中应用操作呢？让我们一起来试一试。（教师出示问题情境）

问题1：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。为什么？

根据之前的思路进行“平均分”，列出式子。

7÷3=2（本）……1（本）

得到多余数量为1本，下一步我们就需要将这一部分多余的数量放入抽屉，这样就会导致有一个抽屉里的数量由之前的2本增加到现在的3本，所以总有一个抽屉里至少放进3本书。

师：同学们的操作非常顺畅，但是如果书籍的数量增多，情况会发生改变吗？一起动手算一算10本书时的情况。

10÷3=3（本）……1（本）

10本书时，总有一个抽屉里至少放进4本书。可以发现这个至少的数量就是我们算式里的“商+1”。

（设计意图：学生在之前初步得出“鸽巢问题”解决方法的基础上实践应用，再次拓展提升，发现“鸽巢问题”的第二种类型，对之前的方法进一步细化、优化。）

（六）回顾知识，归纳原理

师：同学们，回顾本节课的内容，你们还记得我们做了什么吗？

生：我们今天提到了一个新的问题“鸽巢问题”，但是其并不只是鸽与巢的问题，而更像是一种物品分配问题，并且关键是对推理能力的锻炼，应用一些数学运算对事件发生情况进行一个简单的推理。

师：今天我们学习了两种“鸽巢问题”发生的类型，你还记得有什么吗？

（引导学生回顾问题的同时进行总结）

师生总结“鸽巢问题”的两种类型：

如果有m+1个数量的物品放入m个格子中，则总有一个格子至少有2个数量的物品。

如果有多于kn个数量的物品放入n个格子中，则总有一个格子中至少有（k+1）个数量的物品，其中k为正整数。

在解决这两种问题时，学生都需要根据先“平均分”再调整的思路进行探究，列出有余数的除法算式，知道“至少数”为算式中的“商+1”。

（设计意图：根据本节课内容进行知识回顾，学生在教师的引导下总结出“鸽巢问题”的两种类型，知道解决问题的思路及方法，加深对这一类问题模型的认识，巩固应用方法。从问题开始，到问题解决结束。同时帮助学生建立逻辑思维，培养学生自主总结模型问题的能力。）

六、教學反思

本节课的教学设计第一步以学生日常中所见的小事开启，加强实际生活与数学推理之间的联系，从“可拆分物体”引出“平均分”概念，为之后的首步思路作准备；第二步以“鸽子”与“鸟笼”的问题引出本课教学内容，这个“鸽巢问题”的题目也体现了数学教学中的生活化，从生活问题出发，探究数学思维；第三步小组讨论解决课堂开始的问题，得到解决思路，动手操作，得出结论；第四步在总结方法的基础上进一步深入探究不同问题类型下的解决方式，得出结论；第五步回顾总结，将遇到的“鸽巢问题”总结出问题模型，同时再次确定问题解决的思路和方式。

在教学时，需要注意“鸽巢问题”不只应用于实际的物品分配中，也可以在几何问题、数字整除关系、“连续时间”问题、“人的相识”问题等多个数学场景中出现。

编辑：温雪莲