以问题驱动 引深度学习

许瑞珠 吴小明

摘 要：以“直线与圆的位置关系”为例，教师在大单元视角下设计层次性问题、思辨性问题以及开放性问题，以问题驱动，让学生不断产生“愤悱感”“领悟感”以及“惊异感”，引深度学习.

关键词：问题驱动;深度学习;课堂教学

1 理论基础

张奠宙先生说：“问题驱动是数学教育的特有原则之一.”作为教师，要引导学生主动发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，从而形成问题主线，让教师的教学有所指向，让学生的数学学习有所聚焦.教师以“问题驱动”，引学生“深度学习”.

问题驱动，是以问题为载体，通过问题背景创设情境，让学生融入既定的问题情境中思考，使学生始终处于积极探究的学习状态中，解决问题到发现新问题再到解决问题，形成良性的探究性学习，从而激发学生自主探究问题和解决问题的能力.而作为知识的传授者以及学生认知能力发展的推动者，教师必须根据学生已有的认知基础，结合教学内容设计合理又富有层次性的问题，为学生的思考提供正确的方向以及有效的信息，针对学生在解决问题中遇到的新问题及时反馈，引导其获得完整准确的数学知识.

深度学习，是将学生置身于真实、复杂且具有挑战性的学习情境中，充分调动他们的思维活动，促使他们主动地、批判地运用多样化学习策略来深度加工知识信息，使原有的认知结构能有效地迁移到新的情境中，质疑问难、求异思辨、举一反三，从而不断地挑战新任务、解决新问题，发展它们的批判性思维、创新精神以及学科能力的认知策略.

2 教学片段分析

片段一 设计层次性问题，让学生不断产生“愤悱感”

师：请看例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆C：x²+y²-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

生1：联立直线l与圆C的方程，求出交点，再用距离公式即可求得.

师：消元的时候为什么会选择消去y？

生1：看①式中y的系数为1，所以选择消去y.

追问1：消去x可以吗？

生2：也可以，因为②式中x只出现了一项.

师：很好，那以后我们怎么选择呢？

师生：看系数和项数，灵活选择.

设计意图：从反思二元二次方程组运算的角度（消元）开始，考虑是消x还是消y？由特殊到一般的思维方式，教学生学会积累经验.层次性问题的反思设计，不断地切入学生学习数学的“最近发展区”，不断地激发学生的思考与探究.在这过程中，学生对相关的数学知识进行深度加工，进而对相关知识获得深度理解.

层次性问题将外在的、具体化的经验转化为学生内在的、抽象的、理性化的学习素养.正是借助于问题，学生能“跳一跳摘到桃子”.

片段二 设计思辨性问题，让學生不断产生“领悟感”

师：若本题只需要判断直线与圆的位置关系，不需要求出弦长.我们只要解到哪里就可以？

生3：解到（*）式，再用判别式Δ判别即可.

追问3：为什么可以用判别式Δ判别呢？

生3：因为这是一个关于x的一元二次方程.

再追问：关于x的一元二次方程有两个不同解，是不是一定表示方程组有两组不同的解呢，为什么？

生4：不一定，但本题是的，因为①式中的x，y是一一对应的.

设计意图：一元二次方程有两个不同的解是不是就等价于二元二次方程组有两组解？这个问题是学生思维、认知的盲点、困惑点，也是解题的易错点，通过思辨性的问题设计，引导学生认识到相关数学知识的充分性、必要性以及开放性，就显得尤为重要.

片段三：设计开放性问题，让学生不断产生“惊异感”

师：再请看例2：过点P（1，1）作圆O：x²+y²=2的切线l，求切线l的方程.

生1：画图分析，易知切线方程为：y=-x+2.

师：很好！对于一些特殊的背景，我们优先画图.那一般的方法呢？

生2：因为P在圆O上，所以切线l是垂直于OP且过点P的一条直线，利用点斜式即可.

再追问：一般地，求过圆O：x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀）的切线方程.

师：上述的做法是否有漏洞？

生4：需要对y₀=0单独讨论.

师：很好，这是分母不为0的需要，是否有办法可以避免讨论？

生5：可以考虑用轨迹法，设切线上任意一点M的坐标为（x，y），都满足MP⊥OP，利用其向量数量积为0化简得到.

再一次追问：既然考虑到向量这个工具，注意到垂直，我们不妨再优化一下，用向量的投影来推导得到切线方程.换个角度，我们以（x-x₀）²+（y-y₀）²=0来表示点P，你能解释两个式子x²+y²=r²和（x-x₀）²+（y-y₀）²=0相减的几何意义吗？为什么？

生6：两式相减得到的方程x₀x+y₀y=r²就是我们所要找的切线方程.那是因为切点P（x₀，y₀）既在圆上，又在切线上.

设计意图：求过圆上一点的切线方程，通过设计层次性问题，让学生从特殊到一般，考虑从图形到代数的方法，让学生不断产生“愤悱感”；通过设计思辨性问题，在不断的辩证思维优化中完成算法的一次又一次优化，让学生不断产生“领悟感”；进一步地，设计开放性的问题，在用方程表示点P的基础上，理解切线方程的由来，即两个方程差的几何意义，让学生有豁然开朗的顿悟，不断产生“惊异感”，更是为后续二元方程相减的几何意义埋下伏笔.在开放性问题的设计引导下，学生既能用代数的眼光理解几何图形的意义，又能从几何的角度解决代数问题，真正地领悟解析几何的本质，进一步推动学生的数学深度学习发展.

3 几点反思

3.1 问题驱动应在大单元视角下进行

基于核心素养的高中数学大单元教学，是数学学科育人价值的体现，在整个教学的推进过程中，有助于培养学生正确价值观、必备品格和关键能力.大单元视角下的数学教学，能够有效推动教学由“碎片化”向“整体化”转变，其中问题驱动教学可以起到“催化剂”的作用，能够将关键问题进行串联，最终达成大单元教学目标.在这个过程中应把握以下三个方面，一是从大单元视角厘清问题；二是从大单元视角推进问题；三是从大单元视角深化问题.比如，“直线与圆的位置关系”这节课是建立在“大单元——解析几何”的基础上展开研究的，一方面，我们要用代数的眼光量化几何问题；另一方面，我们也要用几何的性质优化代数运算，所有的问题设计都要基于此，真正做到“数形结合”.

3.2 问题驱动是师生间的一个支点

问题驱动的首要环节是教师的提问，所以实施的关键在于设计有效的驱动问题.因此，这对教师的要求较高，除了丰富的学科知识和专业素养，还需要掌握学生的认知情况，综合教学内容与学生基础设计驱动问题，同时具有较强的课堂掌控能力，引导学生在问题驱动下发现数学知识的本质，完成知识体系的构建.

问题驱动是共同学习，教师需要建立学习共同体，教师应着重引领学生思维，将学习主动权留给学生，实现教学相长共赢的局面.

3.3 问题驱动的角度灵活多变

问题驱动，根据不同的素养水平，熟悉的情境可以选择思考驱动，关联的情境可以选择运算（代数与几何）驱动，综合的情境可以选择理解驱动.总之，教学情境复杂多变，但教师需要多思考，寻求规律，探寻根源，用“图解”的形式诱发教师自身的深度学习，进而才能启发学生的深度学习.

参考文献：

［1］ 张奠宙，张萌南.新概念：用问题驱动的数学教学［J］.高等数学研究，2004（3）：8-10.

［2］ 易文辉.基于“深度学习”的高中数学教学思考［J］.数学教学通讯，2019（21）：3-5.

［3］ 曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学·理论与实践卷［M］.北京：清华大学出版社，2018.