基于数学建模核心素养的课堂教学实践

郭治鑫　黄丹　廖俊宇

摘  要：以一堂完整的数学建模活动课为载体，在探究“定点投篮命中率”这一实际问题的过程中，培养学生运用数学知识的能力和创新能力，探讨提升学生数学建模素养的策略与方法.

关键词：数学建模；核心素养；教学实践

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中明确指出，普通高中的培养目标是进一步提升学生的综合素质，着力发展学生的核心素养. 此外，《标准》中还凝练了数学核心素养，明确了学生学习数学课程后应该达成的正确价值观、必备品格和关键能力. 数学建模素养指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 对培养高中生的实践能力、创新意识和科学精神意义重大. 但数学建模活动在高中数学课堂教学中一直处于一个较为模糊的位置，教师难以引导学生全身心参与其中，教学效果比较差. 如何在数学课堂教学中将数学建模核心素养的培养落到实处，仍然是当前一线教师亟须思考的重要问题. 对此，本文以“定点投篮命中率问题”这个容易激发学生学习兴趣的课题为例，探究在《标准》背景下，如何有效激发学生的学习主体性，培养学生的数学建模素养.

一、内容和内容解析

1. 内容

从校内篮球比赛这一实际背景出发，提出问题：定点投篮命中率受哪些因素影响？怎样提供一个科学的投篮策略？进而引导学生完成分析问题、构建模型和解决问题的数学建模全过程.

建议课时：1课时.

本节课安排在数学建模活动案例教学之后，此时学生对数学建模活动的流程有了一定的了解. 课前，通过导学案，让学生对“定点投篮命中率问题”这个课题的情境、目标进行一定了解；课中，着重引导学生利用已有数学知识和数学建模理念发现并提出问题，进一步分析问题、构建模型并优化模型，从而解决问题；课后，要求学生整理、完善导学案上的研究报告.

2. 内容解析

人教A版《普通高中教科書·数学》首次出现数学建模专题活动是必修第一册中，属于“函数”板块，位于第四章“指数函数与对数函数”之后. 在此专题活动中，以课题研究为主线，先用一个数学建模实例作为案例，在这个过程中总结数学建模的整个流程，紧接着提供了一些数学建模活动的选题，让学生根据自己的兴趣爱好选择相应的课题参与并完成，最后给出了研究报告的参考格式.

从整个设计中可以看出，对于数学建模活动，教材编写者认为要以小组合作的方式展开课题研究，更注重学生的参与和切身体验，注重培养学生在体验数学建模活动的过程中从实际情境中发现和提出问题、分析并解决问题，从而有效提升他们的数学建模素养.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）通过将实际问题提炼成数学问题，找出合适的数学模型，总结出数学建模的过程.

（2）根据实际情况检验数学模型，完善、优化建模的过程，深化数学建模思想.

（3）经历数学建模解决实际问题的全过程，从实际生活出发，思考数学建模的意义，体会数学来源于生活又服务于生活的魅力.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：通过观看视频及基于现实背景创设与学生息息相关的生活情境等方式引导学生将生活中的实际问题转化并提出数学问题：定点投篮命中率受哪些因素影响？怎样提出一个科学的投篮策略？进而以问题串的形式引导学生分析问题，发现问题中的影响因素：篮球直径、篮筐直径、定点距篮筐中心的水平距离、篮筐中心的高度、篮球的出手高度、篮球的出手速度和篮球的出手角度等. 通过突出主要因素、忽略次要因素的手段创建合适的数学模型，体会并总结数学建模的过程.

达成目标（2）的标志：数学建模解决实际问题与学生常见的应用题不同. 数学建模并没有直接给出解决问题的数学模型，同时也难以一步到位找到最适合的数学模型解决问题. 因此，在搭建数学模型后，需要培养学生根据实际情况反思、检验模型合理性的能力，并引导其优化模型，从而进一步体会数学建模思想.

达成目标（3）的标志：从校内篮球赛搭建的生活情境出发，经历提出问题、分析问题、建立模型、求解模型、结果检验、优化模型和模型解释的数学建模全过程，学生能更加深刻地感受数学建模在沟通数学与现实世界中的桥梁作用. 同时，在此过程中培养学生的实践能力、创新意识和数学建模素养.

三、教学问题诊断分析

本次教学的重、难点之一是引导学生将实际问题转化为数学问题. 在本节课的学习前，学生已经学完教材必修第一册的全部内容，掌握了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等知识内容，熟悉了使用函数构建数学模型解决数学问题的基本过程. 同时，物理选科也让学生对本节课涉及的斜抛运动、运动方程等概念有所了解. 但是，学生对于借助数学模型解决实际问题比较陌生，而将实际问题情境转化为数学问题又恰好是数学建模活动的先决条件. 对此，在教学过程中，设计使用视频引入、搭建生活情境等多种形式逐步引导学生将实际问题转化为数学问题.

本次教学的重、难点之二是模型的选择与建立. 与应用题不同，数学建模中的数学问题并没有确定的数学模型，需要学生从已学知识中自主选择并搭建最合适的数学模型，这对于学生对各种数学模型特点与作用的掌握、知识的串联与使用、各种因素间的联想与洞察等能力有较高要求，而高一年级的学生在此方面较为欠缺. 对此，在教学过程中，课前将以导学案的方式给予学生充分的时间进行思考；课中通过问题串、动画展示、联系实际等方式逐步引导学生选择并搭建数学模型.

本次教学的重、难点之三是学生对数学建模活动的一般步骤和方法不熟悉. 虽然在本节课前，已经对学生进行了数学建模活动案例的教学，使其对数学建模活动全流程有了一定的了解. 并通过导学案，帮助学生对“定点投篮命中率问题”这个课题的情境、目标等有了一定的了解. 但由于学生之前较少接触数学建模活动，故仍然存在建模意识薄弱、建模能力欠缺等问题. 对此，在教学过程中，首先结合学生刚参加过校内篮球比赛的背景，选择与学生密切相关的选题，充分调动学生参与建模活动的积极性和主动性；其次，采用教师主导、学生参与的形式，着重引导学生体验从数学建模角度出发的发现并提出问题、分析问题、构建模型等数学建模全过程；最后，要求学生整理、完善导学案上的研究报告，从而消化、理解数学建模活动的一般步骤和方法.

四、教学支持条件分析

本次教学中，环节紧凑，内容较为抽象，故使用PPT对主体内容进行展示，以提高教学效率. 同时，借助GeoGebra软件绘制关键步骤图象，将抽象内容形象化，辅助学生理解数学建模的关键环节.

五、教学过程

1. 视频引入，激发兴趣

在正式上课之前，给学生播放视频片段：一个不会打篮球的学霸，通过数学公式计算，投篮百发百中.

【设计意图】以诙谐幽默的视频暖场. 该视频中的主人公虽然不会打篮球，但是通过数学计算可以做到投篮百发百中，契合“定点投篮命中率问题”这一课题，能在激发学生兴趣的同时引出主旨内容.

2. 联系生活，创设情境

生活情境：在近期的篮球比赛中，江同学看到其他同学在球场上的飒爽英姿，十分羡慕，暗暗下定决心要在下一次的篮球比赛中一展风采. 但是他的球技很差，定点投篮的命中率也很低. 因此，他首先想到要提升定点投篮命中率. 还好他的数学思维很好，想到将投篮问题数学化，准备分析出影响定点投篮命中率的因素，为自己的投篮训练提供一个科学的策略. 但是，一个人的力量终究是有限的，为了尽快构建出合适的数学模型，他向我们寻求帮助.

【设计意图】使用情境引入，创设贴近学生的生活情境，将空洞的数学问题实际化，增强学生的代入感和积极性，促使学生快速进入学习状态.

3. 提出问题，分析问题

问题1：影响篮球命中率的因素有哪些？

学生可能遇到的困难：认为手感也是影响篮球命中率的因素之一.

破解方法：手感在很大程度上是身高、出手速度等因素综合作用的结果. 所以手感是多个影响篮球命中率的因素综合的结果，而不是一个独立的影响篮球命中率的因素.

【设计意图】对于一个完整的数学建模活动来说，发现问题和提出问题是活动顺利进行的前提，十分重要. 但由于学生是初学者，在此方面的能力较为薄弱，此处将问题在导学案中直接给出，让学生有充足的时间进行思考和讨论. 此问题旨在引出影响定点投篮命中率的主要因素：投篮者身高，篮球的出手速度、出手角度，空气阻力，定点与篮筐的距离，篮球的大小、质量，等等. 并通过设立假设，忽略次要影响因素，选择篮球的出手高度、出手速度和出手角度这三个影响定点投篮命中率的主要因素.

问题2：如何在问题1的基础上建立一个合适的数学模型？并根据这个模型为江同学提供一个科学的投篮策略.

问题2是此次数学建模的关键问题，为了方便学生思考讨论，在课前将其分解成以下三个问题.

问题2.1：影响因素变化会改变篮球的运动轨迹吗？

【设计意图】影响因素会改变运动轨迹是显然的，此问题的设计目的是引出影响因素与运动轨迹之间存在着某种联系，这种联系正是我们想要通过数学模型去刻画的.

问题2.2：可以用什么函数模型刻画篮球的运动轨迹？针对所选择的模型，你们准备收集哪些数据？

预设答案：可以使用一元二次函数进行刻画，需要收集篮球直径[d]、篮筐直径[D]、定点距篮筐中心的水平距离[L]、篮筐中心的高度[H]、篮球的出手高度[h]、篮球的出手速度[v]、篮球的出手角度[α]等数据.

【设计意图】篮球的运动轨迹符合抛物线特征，学生经过小组讨论可以很直接地想到使用一元二次函数去刻画. 但需要引导学生跳出数学学科，思考在其他学科中是否还有轨迹为抛物线的运动过程，从而得出斜抛运动.

问题2.3：我们可以使用一元二次函数模型将影响定点投篮命中率的因素联系起来吗？

【设计意图】根据前面的问题，发现影响定点投篮命中率的因素和運动轨迹之间存在关联，而轨迹又可以使用抛物线进行刻画，这个问题主要是想得出如何将影响定点投篮命中率的因素和篮球命中率联系起来，即使用[h，v，α]这三个数据刻画运动轨迹. 也就是说，可以将抛物线方程简单表示为[fh，v，α=0.]

4. 收集数据，建立模型

【设计意图】结合实际情况选择更大出手角度，恰好是数学建模活动与常规应用题等数学问题的不同之处，其主要目的是解决实际问题，故需要考虑问题的现实意义. 让学生体会数学来源于生活又服务于生活.

7. 课堂小结，布置作业

小结：这节课通过实例让学生体会了数学建模的整个流程；从生活情境发现问题、提出问题和分析问题，收集数据，进而选择和求解函数模型. 在求解之后需要进行检验、优化模型.

在研究过程中，确定出手高度、出手速度和出手角度三个影响定点投篮命中率的关键因素，三个变量增加了研究难度，所以采用控制变量法，先固定部分影响因素，仅研究某一个因素对定点投篮命中率的影响. 这是针对多变量模型的重要研究方法，整个过程体现了函数与方程思想、数学建模思想和数形结合思想.

虽然初步建立的模型不够贴合实际，但是通过探究让学生体会了数学建模的过程，让学生学会了突出主要因素、忽略次要因素、逐步优化模型的建模要领. 这对学生今后的数学建模学习有着重要意义.

作业：整理、完善导学案上的研究报告.

【设计意图】研究报告的撰写是数学建模活动的重要内容，有助于学生厘清建模流程，方便保存学生思考讨论的痕迹，同时可以作为活动评价的依据.

六、教学反思

本节课的主题是数学建模活动. 章建跃博士认为，数学教育需要做到“四个理解”，即理解数学、理解学生、理解技术、理解教学. 本节课的设计正是基于“四个理解”.

1. 理解数学是提高教学质量的前提

理解数学，即了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法等. 落实到本节课就是厘清数学建模的基本概念、流程、环节等. 只有教师弄懂了数学建模，才能引导好学生.

2. 理解学生是课堂成功的重要因素

理解学生，即对学生的知识水平、认知结构，甚至个性差异有充分的了解. 具体到本节课就是课题的选取是与学生息息相关且感兴趣的篮球. 对于定点投篮的数学模型，很多教师都发表过类似文章，其中曾文艺早在1994年就对该模型进行了较为详细的阐释，本文也正是在此基础上构建的模型. 但是各位学者讨论的定点投篮的数学模型往往考虑得更为全面. 例如，入射角、球筐在球员投球时眼中看到的为椭圆等情况. 但对模型原封不动地生搬硬套，而不去理解学生、适应学生，将加大本节课的教学难度，甚至导致课程的失败. 因此，在备课之初，笔者对模型进行了删繁就简和重新建构，利用的是当前阶段学生能理解甚至能上手自行操作的知识点.

3. 理解技术是提升效率的有效手段

理解技術，即在“互联网+”背景下，教师应该与时俱进，懂得如何有效借助信息技术手段去辅助教学，助力高效课堂. 具体到本节课，就是课前播放与课程内容息息相关的视频用以提升学生的兴趣；利用PPT对教学主体内容进行展示，提高教学效率；借助GeoGebra软件绘制关键步骤图象并将其动画展示. 从而使抽象内容形象化，协助学生理解数学建模的关键环节.

4. 理解教学是课堂质量的直接保障

理解教学是对数学教学规律和特点的理解. 在教学过程中，基于对课堂教学中载体知识的理解，对教学对象学生的理解，保证教学质量. 针对本节课，就是从引入开始每个环节都精心设计，在保证学生兴趣的同时，利用环环相扣的问题串激发学生的主观能动性，促使学生积极参与到课堂探究之中.

七、思考感悟

当然，在实际教学中也发现了诸如课堂容量大、对学生知识水平要求高、学生小组讨论及展示环节较少等缺点. 但经过实践，也据此总结了基于《标准》提高高中生数学建模素养的几点思考.

1. 突出学生在数学建模活动中的主体性和参与性

学生是课堂的主体，在数学建模活动中，更是独一无二的探究者. 数学建模的教学与传统课堂教学有着根本性的差别. 教师应该找准自己的定位——引导者，负责给学生创设情境、提供资料并给予必要的引导，可积极探索基于情境和问题导向的体验式、探究式、启发式、互动式等课堂教学方式，从而让学生真正动起来，主动去参与数学建模活动. 具体而言，可对问题本身进行必要的简化，抓住关键因素，逐步厘清变量之间的关系，从而建立并完善数学模型；给学生营造课题研究的氛围，强调小组合作，以团队为单位参与全过程；培养学生过程记录的习惯，加强数学论文写作的教学，帮助学生顺利完成研究报告，培养综合性人才.

2. 重视数学建模活动的过程性评价

数学建模活动重结果但更重过程. 数学建模活动的评价体系与其他数学知识的评价有所不同. 在数学建模活动中能得到一个完善的、符合实际的结果固然值得欣喜，但更为重要的是根据实际情境发现问题、提出问题，从而逐步构建模型的过程. 因此，应该重视数学建模活动的过程性评价. 可采用教师评价占比40%与小组互评占比60%相结合，教师评价可以从提出问题合理性、运用知识正确性、数据的翔实性、建模的创新性、结果的有效性等方面对以小组为单位的课题表现、研究报告进行评价；小组互评主要为小组成员间的互评和给其他小组的汇报打分，并简单给出理由.

3. 鼓励数学建模选题多样化

数学建模活动的选题直接关系活动的顺利进行. 一个好的选题可以引起学生的兴趣并促使其积极参与其中. 同时，难度适宜的选题可以增强学生学习的自信心，提高学习效率，选题的重要性不言而喻. 针对选题，一方面，可以对教材中给出的情境和问题进行扩展，如“三角函数”章节的摩天轮模型；另一方面，可以根据学生的知识水平和学习生活提炼设计相关的选题，如投篮命中率、测量教学楼高度等. 除此之外，也可以鼓励学生自己提出选题，培养学生用数学的眼光观察现实世界，以及根据实际情境发现和提出问题，并运用数学的知识和方法分析和解决问题的能力.

4. 合理使用信息技术辅助教学

数学建模活动应该与时俱进，合理使用信息技术辅助教学. 在数学建模过程中，往往需要测量大量信息或进行较为烦琐的计算，离开信息技术的支持很难开展下去. 同时，信息技术与教学的融合可以使数学课题变得有声有色，将难以理解的情境实物化，有效提高课堂教学效率. 信息技术还可以提供交互学习、合作共享的学习环节，充分调动学生的主动性和积极性，从而锻炼学生的创新能力和实践能力，有效落实《标准》要求，为新时代培养所需的创新型人才.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃. 理解数学是教好数学的前提［J］. 数学通报，2015，54（1）：61-63.

［3］曾文艺. 定点投篮中的数学问题［J］. 数学通报，1994（7）：44-46.

作者简介：郭治鑫（1995— ），男，中小学一级教师，主要从事高中数学和数学教育研究；

黄丹（1995— ），女，中小学一级教师，主要从事高中数学教育教学及数学竞赛研究；

廖俊宇（1987— ），男，中小学一级教师，主要从事数学教育及高考试题研究.