核心素养视域下数学隐性课程资源的开发

杭毅成 高峰官

摘 要：新课标确立了核心素养导向的课程目标，注重对学生数学思维的培养.隐性课程资源是知识背后有利于课程实施的深层次元素所构成的集合，有利于培养学生的数学关键能力、品格和价值观，是发展核心素养的有效手段.本文以“勾股定理的简单应用”为例，立足于数学核心素养，深入挖掘隐性课程资源，引导学生对知识进行深入探索，获得实践经验，发展数学思维.

关键词：数学核心素养;隐性课程资源;勾股定理的简单应用

随着《义务教育数学课程标准（2022版）》的颁布，培养初中生的数学核心素养提上了新的高度.从发展的角度来看，数学核心素养既是对“四基”和“四能”的整合与细化，又进一步发挥了数学的育人价值，而如何在教学中落实核心素养是亟待解决的问题.数学课程资源作为教师教与学中运用到的各种资源，关系到整个教学的实施，其中数学隐性课程资源主要包括数学知识的过程、逻辑、背景、文化等元素，这些元素与核心素养所提倡的启发学生用数学的思维思考，获得必备的品格不谋而合.因此，需要进一步开发数学隐性课程资源，逐步由原来的知识教育为核心转向以培养学生素养为核心.

1 基本概念及其特征

数学核心素养主要是培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实现实世界，其中初中数学核心素养更加侧重对概念的理解.

在国内，《义务教育数学课程标准（2011版）》中出现了数学课程资源的概念.喻平教授进一步将数学课程资源分为外显性资源和内隐性资源^［1］，外显性资源大多以静态的数学知识为主，而内隐性资源则是知识背后深层次元素构成的集合，例如：探索过程、数学思想、历史文化等.

充分利用隐性课程资源，创造利于学生学习的教学内容，引导学生经历探索的过程，获得实践的经验，逐步形成数学思维，促进学生核心素养的发展.因此，挖掘隐性课程资源，有助于践行新课标理念.

2 数学课程资源运用现状

数学教师在课程资源的运用上注重外显性资源，能在认真阅读教材的基础上，把握好教学的重难点，传授书本上的知识点，训练解题技能.但是很少有教师真正注重知识的探索与生成过程，缺乏挖掘基于数学教材的隐性资源，忽视学生核心素养的培育.因此，开发数学课程隐性资源是十分有必要，有助于提升数学课堂的品质，促进教师专业化发展和教学水平，最终让学生在数学上获得良好发展.

3 教学设计

笔者以开设的公开课“勾股定理的简单应用”为例，详细谈一谈如何在课堂中充分利用数学课程的隐性资源，发展学生数学核心素养.

3.1 背景分析

本节课是八上第三章的第三节内容，主要涉及运用勾股定理及其逆定理来解决一些简单的实际问题.本课内容基于之前所学习的勾股定理和直角三角形的判定定理，发展学生的数学建模能力和应用意识，渗透“数形结合”“转化”等思想.

学生在七年级已经对数学知识与实际应用的结合有了初步认识，为本课的学习打下了基础.但是部分学生未充分认识到勾股定理及其逆定理的区别和联系，仍缺乏分析问题、抽象出数学模型和解决问题的能力.

3.2 教学目标

（1） 经历运用勾股定理和逆定理解决实际问题的过程，培养发现问题、分析问题和解决问题的能力.

（2） 经历运用数形结合、转化、方程的方法解决问题的过程，形成模型觀念，增强应用意识.

3.3 教学重难点

（1） 运用勾股定理及其逆定理解决实际问题；

（2） 运用数形结合、转化、方程的方法解决问题.

3.4 教学流程

3.4.1 复习回顾

问题1：“一桥飞架南北，天堑变通途！”假期出游时往往会经过江阴大桥（如图1所示）

（1） 观察图1（a），你能从中发现什么几何图形？

（2） 已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长.

（3） 工人检修桥梁，已知索塔AB、桥面BC与拉索AC的长度，如何检查索塔是否垂直于桥面？

设计意图：依托江阴大桥这一实际背景，以真实问题为载体，引导学生回顾复习.

3.4.2 探索一、“折竹”问题

首先介绍《九章算术》作为古代算经之首，有着深厚的历史底蕴，激发学生的民族自豪感和文化自信，进而引出“折竹问题”.

问题2：如图2（a）所示九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？其大意是有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？

设计意图：通过“折竹”问题来引导学生根据具体问题情境，抽象出几何模型，使用方程思想来解决实际问题，激发学生的文化自信.

3.4.3 探索二、草坪问题

问题3：校园内有一个三角形草坪△ABC（如图3所示） ，AD是△ABC的中线，AD=24dm，AB=26dm，BC=20dm.求AC的长.

变式1：如图4所示，校园内有一四边形草坪，∠A=90°，已知AD=12dm，AB=16dm，DC=15dm， BC=25dm，求四边形ABCD的面积.

〖KH-1〗变式2：如图5所示，校园内有一三角形草坪，已知AC=15dm，BC=14dm，AB=13dm，求△ABC的面积.

最后提出一个开放性问题：设计一个新的草坪形状，要求可以利用勾股定理或逆定理求解草坪面积，看谁设计的草坪最漂亮！

设计意图：以转化思想为主线，通过解决一系列的草坪问题，渗透一题多解，体现问题设计的变化性、开放性，培养学生的创造力.

3.4.4 探索三、最短路径

问题4：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐朝诗人李欣所作的诗句，其中蕴含着“将军饮马问题”.

如图6所示，若诗中将军从A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.已知点A、B到河边的距离分别为2km和3km，点A和B间的水平距离为12km，请问怎样走才能使总路程最短，最短为多少？

设计意图：古代背景与现实背景相结合，设计一系列“最短路径”问题，渗透数形结合和转化思想，培育学生兴趣，发展学生的应用意识.

3.4.5 总结提升

（1） 你是如何运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的？

（2） 蕴含了什么数学思想？

（3） 结合之前学习的一元一次方程和一元一次不等式在生活中的应用，谈一谈如何将数学应用于生活.

设计意图：通过知识与技能、数学思想以及知识之间的前后联系这三个层面来引导学生进行总结，既回顾了本节课的内容，又从整体的角度把握知识的脉络与研究方法.

4 教学反思

新课标下的数学教学着眼于培养学生的“三会”，这就要求教学不能局限于书本，要充分运用数学课程的隐性资源，着眼于培养学生的数学思维能力和创造力，充分发挥数学教学的育人功能.在数学核心素养视域下，抓住以下三方面，发展学生的核心素养：

4.1 了解背景，激发兴趣

数学教学的背景分为知识背景和学生背景.数学知识不是凭空产生的，它有着丰富的现实和历史意义，“勾股定理”作为几何的基本定理，体现的“形数统一”思想对科学创新有着重要意义.在实际生活中，它在屋顶构造、桥梁设计等方面有着重要应用.从学生角度看，初二的学生有一定的几何基础和推理能力，但综合运用能力较弱，要在课堂中逐步引导，以实际情境促进学生数学能力的发展.

在了解教学背景的前提下，将感性和理性相结合，充分融入文化元素，融入数学家们的事迹，在课堂中渗透坚持不懈、勇敢探索等精神，激发学生的学习兴趣，增强文化自信.

4.2 经历过程，发展思维

数学知识是相对真理，它产生于问题，随着时代的变迁不断发展变化，是一个过程，所以在课堂中用重视过程，积累学习经验，发展数学思维.本课通过数学问题引导学生主动回忆之前学习的勾股定理及其逆定理，但是此前并没有将其运用到生活中，学生在解决实际问题中會遇到困难，找到知识的生长点，激起学生的探索欲.在经历一系列探索的活动中，收获研究数学的方法，发展学生思维，培养应用意识、创新意识.

4.3 单元视角，整体思维

数学知识不是割裂的个体，它是一个体系，单个的知识点与较多其他知识存在着关联.从单元的角度来看，所教内容往往存在着明线与暗线，需要我们站在不同的角度来研究.以本课为例，它是勾股定理及其逆定理的运用，也为之后进一步学习几何奠定基础，在总结时，引导学生从单元视角来理解该知识点.此外，从知识关联来看，它是数学在生活中的应用中的一课时；思想角度来看，它是初中“数形结合”这一暗线中的一课时，因此课堂中要做好引导，为之后进一步研究做铺垫.

树立整体思维，有利于学生健全个性，引导学生用数学的眼光看待问题，用数学的思维思考问题，促进数学知识的掌握和灵活运用.

参考文献：

［1］ 喻平.论内隐性数学课程资源［J］.中国教育学刊，2013（7）：59-63.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］ 高峰官，张珉.挖掘教材资源价值，激活核心素养——从一节课说数学隐性课程资源的开发和利用［J］.中学数学，2020（18）：11-12+28.

［4］ 蒋茵.提升数学核心素养的有效途径：与隐性知识深度对话——以基本不等式为例［J］.上海中学数学，2018（11）：32-35.

基金项目：江苏省“十三五”教育科学规划课题“初中数学隐性课程资源开发利用的实践研究”（编号：E-c/2016/12）.