巧用“三招”，求含有根式的函数值域

祁海波

函数值域问题经常出现在各类试题中，主要考查函数的定义域、解析式、图象以及性质.其中含有根式的函数值域问题较为复杂，虽然此类问题的难度较大，但是我们可将数形结合，灵活运用导数、向量知识来求解.

一、数形结合

數形结合法是结合函数的图象来解题的方法.在求含有根式的函数值域时，需首先根据函数的解析式明确函数的定义域，画出函数的图象；然后根据图象的特点在定义域内探讨函数的单调性，求出函数的值域.

本题较为简单，我们通过运算将函数式化简为只含有绝对值的函数式；然后令绝对值内部的式子为0，用零点将定义域划分为几个区间段，在每个区间段上讨论函数的表达式；再画出函数的图象，观察函数图象的变化趋势，即可求得函数的值域.

二、构造向量

向量法是解答数学问题的常用方法.在运用向量法求含有根式的函数值域时，可先根据根式的结构和特点构造合适的向量，绘制出相应的图形，借助向量的运算法则和性质求得最值.

运用导函数解答含有根式的函数值域，关键在于根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.一般地，若导函数大于0，则函数单调递增；若导函数小于0，则函数单调递减.

上述三种方法都是解答含有根式的函数值域问题的重要方法.相比较而言，第一种方法比较常用；第二种方法较为灵活，但很多同学难以构造出合适的向量模型；第三种方法的运算量较大.同学们在解题时，可根据解题需求和自身对知识掌握的程度来合理选择解题方案.

（作者单位：江苏省靖江高级中学）