多维探究：基于深度学习的初中数学课堂教学

浙江省杭州市富阳区东洲中学 陆炜平 浙江省杭州市富阳区郁达夫中学 陈建国

当课堂还沉浸在“填鸭式”教育，即“教师讲讲讲，学生练练练”时，“双减”政策强势出台，使得这种教育的“最后一根稻草”终于承受不住了.在双减背景下，教师不得布置过重的作业，学生也没有机会在课后寻找培训机构重新补习.如何提高课堂教学质量迫在眉睫！

“深度学习”就是指在教师的引领下，学生能围绕具有挑战性的问题，全身心积极参与其中，并体验成功，最终获得发展的一个有意义的学习过程.在这个过程中，学生掌握科学的核心知识，把握学科的本质及思想方法，形成既具有独立性、批判性、创造性又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会实践的主人.

数学是一门锻炼个人思维能力，逻辑性、探究性很强的学科.作为数学教师，要在平时的教学中多引导学生进行课堂探究，让学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中，从而培养学生探究兴趣，最终解决问题.本文中将以不同的课型教学为例展开具体阐述.

1 概念探究，培养学生的溯源能力

《义务教育数学课程标准》指出课程内容要符合学生的认知规律，它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和其中蕴含的数学思想方法.所以，即使是概念课也不仅要让学生知道概念的内容，更要让学生思考概念形成的过程，追本溯源，才能始得真意.

1.1 概念教学课堂的探究设计

以浙教版七年级下册第一章的第2课时“同位角、内错角、同旁内角”为例，一般课堂中教师会直接提出同位角、内错角和同旁内角的概念，然后设计大量的巩固练习对概念进行辨析.这种教法使得学生只能被动地接受和记住同位角、内错角、同旁内角的概念.因此对概念进行探究很有必要，在探究的过程中让学生也当一回数学家，体验同位角、内错角、同旁内角的形成过程.具体探究过程可以如下.

图1

首先回顾两条相交直线所产生的四个角(如图1,以下简称“两线四角”)的研究路径:角的两两组合——分类——命名——研究数量关系——得出结论.

回顾两线四角后，让学生在两线上增加一条线，学生会画出共点(如图2)和不共点(如图3)的两种情况，这时让学生自己去发现图2 是在图1基础上的深化，而图3却不只有对顶角和邻补角，其他角可能也有研究价值.为了方便表达，我们将图3称为“三线八角”，那“三线八角”又该如何研究呢？此时，学生会很自然地类比“两线四角”的研究过程去研究“三线八角”.此时，放手让学生们自己去探究，学生会从以下方向去探究：

(1)将角进行两两组合，可以组成多少对角？

(2)利用角的位置关系，将角怎么分类？

(3)分类后的角该如何命名？

(4)角的数量关系该怎么研究呢？

图2

图3

在探究第(1)个问题时，教师可以引导学生探究不共顶点的一对角，那么学生比较容易得到：将不共顶点的八个角两两组合，可以产生16对角.

第(2)个问题是利用角的位置关系，将角进行分类.此时需要对每一个角所在的位置进行统一规定，那么该如何规定呢？这就需要学生去探究，只要标准一致，怎么规定都没有关系.此刻的学生正像一位数学家那样在探索一个未知的领域，并且这个领域好像并没有那样的遥不可及.给学生以充足的时间去合作探究，教师指导有困难的学习小组.在课堂上，教师能惊喜地发现学生的分类：

方法1：引用方位角，如∠1和∠5为东北角.

方法2：类似方位角，如∠1和∠5为右上角.

方法3：引用界限角，如∠1和∠5为同侧同位角.

…………

分类后，名称就呼之欲出了，但是这个权利一定要先交给学生，让学生真正体验一把当数学家的成就感.当然很多学生对部分组合的角，如∠1和∠5的角，已经命名好，就叫东北角(右上角)，也未尝不可.教师要做的事情是引导学生将所有的角进行命名，此时我们可借助巨人(教材)的力量，为了统一称呼，规定将形如∠1和∠5的角称同位角， 形如∠3和∠5的角称内错角，形如∠4和∠5的角称同旁内角.教师也要带领学生去探索更广阔的知识领域，让学生模仿命名剩余的角.只要教师指明方向，学生的想象是无穷的，例如∠1和∠6会命名为异旁异部角，∠1和∠7为外错角，∠1和∠8为同旁外角……

1.2 探究概念，追本溯源

我们花了大量的时间对16对角的位置关系进行分类，首先是为了让学生追本溯源，理解数学研究的一般过程是类似的，即研究“三线八角”可以模仿“两线四角”的过程.同时学生对本节课之后的研究内容——角的数量关系，也有了研究方向.最后还解决了部分学生的疑惑：同位角、内错角、同旁内角这三类角命名的由来，以及除了这三类角，剩余的几对角又到底是什么角.通过对角的命名，学生获得了成功的喜悦，体验了学习数学的乐趣，激发了对数学探究的热情.

2 定理探究，培养学生的质疑能力

数学定理是无需质疑的真命题.因此学生对于定理往往是全然接受，完全不会去挖掘定理中蕴含的秘密.殊不知，定理的产生本身就绝非一帆风顺，也是数学家像侦探一样经历多次尝试、冒险、质疑，验证，最后通过不断地打磨、精简得到的.

2.1 定理教学的课堂探究设计

以浙教版八年级上册第2.8课时“直角三角形全等的判定”为例,在该课时中,用“HL”来证明两个直角三角形全等．但是“HL”和之前我们否定过的“SSA”有着类似的条件, 这又是怎么一回事呢？这样的引导,势必会激发学生去质疑、探究．

在设计该课时，教师可以先引导学生回顾利用“SSA”不能证明两个三角形全等时所采用的反例：如图4，AC=AC1，AB=AB，∠B=∠B，但△ABC不全等于△ABC1.接着借助几何画板，发现在构造图4时，是因为能构造出AC和AC1两条相等的线段，如果拖动点C向右移动，发现AC和AC1两条线段重合(如图5)时，图形就唯一了，SSA也就自然成立了，此时△ABC恰好为直角三角形.接着学生必定会让老师继续将点C向右移(如图6)，发现AC1在△ABC的外部，内部AC唯一了，即SSA也成立.采用几何画板演示不仅能让学生直观地发现图形的变化过程，更能发现问题所在，现只要将图4和图6进行对比，就能发现只要满足AC>AB即可.

图4

图5

图6

于是问题就转化为：

如图7，在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠B=∠B′，AC>AB.求证：△ABC≌△A′B′C′.

图7

要证△ABC≌△A′B′C′，只要证BC=B′C′即可.假设BC≠B′C′，且BC>B′C′.这样，在边BC上就有一点C1，使BC1=B′C′，所以△ABC1≌△A′B′C′，故AC1=A′C′.由题设AC=A′C′，可得AC1=AC，故∠C=∠AC1C.又因为在△ABC1中，∠AC1C>∠B，从而∠C>∠B，由此AB>AC，这与题设中的AC>AB矛盾，故BC≠B′C′不成立，因此BC=B′C′成立[1].

2.2 探究定理，质疑辨惑

引导学生将上述结论的符号语言转化为文字语言，即“两边及其中大边的对角对应相等的两个三角形全等”这一定理，结合“HL”，发现“HL”的本质其实就是“两边及其中大边的对角对应相等的两个三角形全等”这一定理.

对于学生而言，对问题质疑正是激发他们去探索的动力，也是刺激他们去创造的源泉，教师一定要及时引导，不要错过真正培养学生数学能力的机会.经常给学生亲身研究和辨析定理背后秘密的机会，久而久之，势必会将冰冷的数学变成火热的思考.

3 变式探究，培养学生的贯通能力

我们说数学之所以会有如此强的逻辑顺序，那是因为数学的学习是层层递进的.新知识的出现不仅要求学生掌握其表面的特征，更要求学生去探索该知识衍生出来的新应用.变式教学能让学生在新的应用中再创造出新的认知，从而不断地获取新知，真正确保新知的落地.

3.1 变式教学的课堂探究设计

以浙教版七年级下册第三章第4课时“乘法公式(2)——完全平方公式”为例，该节课的难点是认识完全平方公式的结构特征并进行有效地运用.

完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2为标准形式，对标准形式的运用学生一般是没有问题的，如“计算(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”等.作为教师，我们需要做的是通过设计简单的变式练习，引导学生去探究练习背后的变与不变.如在“(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”的计算中，结合标准形式，我们可以先对条件的设置进行如下探究.

探究1：结合公式，练习中的“1”“3”是指公式中的哪一部分？你能将“1”“3”进行拓展吗？能自己设计一些练习吗？

探究2：练习中的“2m”“5y”又是指公式中的哪一部分？你能将“2m”“5y”进行拓展吗？能自己设计一些练习吗？

探究1说明标准形式中的a和b可以用数来表示，而目前学生学过的数可以拓展到正数和负数，有理数和无理数，学生可能会设计出如(a-1)2，或者(-3+m)2的式子.

接着挑选学生设计的题目，如，计算(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2，引导学生思考如何进行有效计算，探究如下.

探究3：你能利用完全平方公式的标准形式对(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2进行计算吗？

探究4：结合计算的结果，关于解法，你发现了什么？

探究3中学生基本上会套用公式得出结果，部分学生会在处理结果时忽略化简.此时教师可做适当引导和展示，如(a-1)2=[a+(-1)]2=a2+2a(-1)+(-1)2=a2-2a+1.

学生的结果如下：

(a-1)2=a2-2a+1；

(-3+2m)2=9-12m+4m2；

(-a-3b)2=a2+6ab+9b2.

得出结果后，教师再引导学生观察条件和结果之间的符号关系进而来解决探究4，即两数同号时中间项符号为“+”，两数异号时，中间项符号为“-”，用符号语言表达为：

(a+b)2=(b+a)2=(-a-b)2=(-b-a)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=(b-a)2=(-a+b)2=(-b+a)2=a2-2ab+b2.

3.2 探究变式，融会贯通

通过对变式练习的初次探究，得出了两数差的平方公式，学生发现两数差的平方公式本质还是两数和的平方公式，让学生体会利用数学知识的本源对知识进行贯通是数学的横向发展，即水平数学化.

通过对变式练习的深入探究后，发现乘法公式是在整式单元中学习的，而且学生对根式和分式的概念也不是很清晰，但通过对比，学生体会到整式的学习方法和策略可以为分式和根式的学习提供研究方向.因此，方法的使用是贯通的，这是数学知识的纵向发展，即垂直数学化[2].

巧妙地设计和利用变式，让学生体会数学知识与方法之间是相通的，让学生自己去经历这个过程，真正地将知识方法融会贯通.

4 结语

在“双减”背景下,学校课堂教学主阵地的地位越加凸显．因此向课堂要质量是教师迫切需要解决的问题．“探究式”课堂能让学生变“被动接受”为“主动探索”,从根本上去理解数学、再创数学,引领学生深度学习,从而提高课堂质量,确保“双 减”有效落地.同时“探究式”课堂也能让学生追本溯源、质疑解惑、融会贯通,真正地确保能力落地,促进学生终身发展．