把握解析式分离本质 突破含参不等关系问题

文/广州大学数学与信息科学学院 朱凯良 卢建川

含参不等式“恒成立”问题是高中数学的教学难点之一，该类问题的解决由于涉及函数、方程、不等式及几何图形等多方面知识，还涉及转化与化归、函数与方程、分类与整合等思想方法，历来是各类考试命题的热点。关于此类问题，最典型的解决方法有判别式法、数形结合法、分离参数法等。这个阶段的学生学习数学的障碍之一就是解题方法太过灵活，难以捉摸，况且这些方法中除了数形结合法，其他都只是停留在“数”的层面，这样浅尝辄止的学习使得学生无法从根本上理解此类问题的解法本质。由此，本文提出“解析式分离法”以突破此类含参不等关系问题。该法旨在通过图像的辅助，在“形”的层面上加以明晰，使学生从“数”和“形”两方面深刻体会数学严谨的逻辑性和概念之间的内在联系，从根本上形成此类问题的解题思路。

一、解法本质的揭示

一个含有参数的函数如y=f（x，a）（a为参数），我们称其为动态函数，相应的不带参数的函数如y=f（x），我们称其为静态函数。以下先通过一道二次函数恒成立问题揭示其解法本质：

例1已知函数f（x）=x2-2ax+1，当x∈R时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围。

“解析式分离法”的解题逻辑：先对原函数进行分离简化，拆分为一个动态函数和一个静态函数，再对分离后的两个函数进行图像比较，从而根据动态函数的变化情况，求出参数的范围。其中关键是分离方式的选择，笔者总结为三种分离模式：1.如果函数本身就是熟知的、可以直接画出函数图像的初等函数，则将其分离为y=f（x，a）与y=R的形式；2.如果函数本身可以通过恒等变形拆分为两个初等函数的和或差，则将其分离为y=p（x，a）与y=q（x）的形式；3.如果函数本身比较复杂，可以选择通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，则将其分离为y=a与y=h（x）的形式。

二、含参不等关系问题求解分析

例2（2018年高考全国Ⅰ卷·理）

已知f（x）=|x+1|-|ax-1|，当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围。

原解概要：当x∈（0，1）时，原问题等价于求当x∈（0，1）时，使|ax-1|＜1恒成立的实数a的取值范围的求解。对a展开分类讨论得a≤0时|ax-1|≥1不成立，a＞0时|ax-1|＜1的解集为，所以≥1，故实数a的取值范围是（0，2]。

另解：首先确立动态函数：y=|ax-1|和静态函数：y=1。注意到x∈（0，1）并对a进行分类讨论：

（1）当a≤0时，ax≤0，则|ax-1|≥1，原不等式不成立；

（2）当a＞0时，借助图像进行分析。①当时，动态函数满足在x∈（0，1）时小于1.②当时，动态函数满足在时小于1，当时，动态函数单调递增，则存在一个临界位置（可取），即与直线x=1的交点（1，1）。综上，即当x=1时，需满足ax-1≤1，求得实数a的取值范围是（0，2]。

三、总结与反思

“解析式分离法”作为一种通解通法，可以规避因解法选择带来的困难。“解析式分离法”适用面广泛，且通过抽象与形象思维的结合，从“数”与“形”两个角度进行直观表征，有助于学生形成“数形结合”的思想，从而更加清晰直观地领会“恒成立”这个数学概念。“解析式分离法”虽然不是所有问题的最优解，但是它可以引导学生以一种整体性的角度理解不同解法之间的共性，从“数”和“形”两个角度深度把握此类问题的数学本质，从而突破含参不等关系问题。