数学解题过程的关键:问题转化——基于一类含根式的二元函数最值问题的思考

湖北省武汉市华中科技大学同济附中(430030)孔令磊

一.引言

数学教育家G.波利亚把数学解题过程分解为“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾反思”四个步骤,其中“拟定计划”的分析是最引人入胜的.他指出,解题的价值不是答案本身,而在于弄清“是怎样想到这个解法的? ”“是什么促使你这样想这么做? ”这就是说问题转化是解题过程的关键,那么如何转化? 为什么可以这样转化? 当学生思维受阻、遇到困难时,最希望了解的也是求解过程的来龙去脉.把问题转化的思维过程暴露出来,才能达到学生数学解题的目的.

二.案例

题目1已知正实数a,b满足则的最小值为____.

题目2已知实数a >1,b >2,则的最小值为____.

(一)类比联想助转化

观察题目1 和题目2 的条件和结论,联想到以下两道最值问题:

题目3已知正实数a,b满足,则ma+nb的最小值为____.(其中m,n均为正常数)

题目4已知实数a,b满足a+b>1,则的最小值为____.

其中,题目3 的求解就是常说的“1 的代换”,可利用基本不等式或者柯西不等式求最值;题目4 的求解就是将a+b看作整体,把问题化为常说的“二次除以一次”型分式的最值问题.因此,要解决题目1 和题目2,去掉恼人的根号是关键,寻求通过放缩,用a,b的线性式子来取代根式.

1.利用柯西不等式放缩去根号

以题目1 的分析与解为例.

2.利用切线放缩去根号

(二)换元代换助转化

对于结构复杂的问题,换元、代换等方法是将问题转化的常用方法.处理含根式的式子,经常考虑三角换元和整体代换.

1.三角换元去根号

以题目1 的分析与解为例.

记

则

2.整体换元处理根号

以题目2 的分析与解为例.

分析分母中含有根式给问题研究带来极大的困难,考虑将分母中每个部分的根式进行整体换元.

是上式取等号.故待求式的最小值为6.

评注上述解法在式子的变形过程中,应用到两次重要不等式(即a2+b2≥2ab)寻得最小值.事实上,也可以利用柯西不等式,得到还可以利用三角不等式,得到从而有(x+y)2+9.

(三)数形结合助转化

含根式的代数问题,具备某些几何特征,由数到形,利用图形的直观性开拓解题思路.

1.结合距离处理根式

以题目1 的分析与解为例.

分析由正实数a,b满足的代数形式,进行如下构造:如图2,过定点P(2,1)的直线l交x轴正半轴于A(a,0),交y轴正半轴于B(0,b),O为坐标原点,则即为ΔAOB周长,问题等价于求ΔAOB周长的最小值.

解如图2,在平面直角坐标系xOy中,直线l过定点P(2,1),交x轴、y轴的正半轴分别于A(a,0)、B(0,b),则即为ΔAOB周长.过点P作与x轴、y轴正半轴相切的⊙J,若⊙J与直线l不相切,则可作与l平行、与⊙J相切的直线,它与x轴正半轴交于S,与y轴正半轴交于T;过点P作⊙J的切线与x轴正半轴交于U,与y轴正半轴交于V.

图2

记ΔAOB、ΔSOT、ΔUOV周长分别为LΔAOB、LΔSOT、LΔUOV,则LΔAOB=OA+OB+AB≥OS+OT+ST=LΔSOT.利用切线长定理,LΔSOT=OS+OT+ST=OM+ON=OU+OV+UV=LΔUOV,所以LΔAOB≥LΔSOT=LΔUOV.即当且仅当直线l与⊙J相切于点P时,ΔAOB的周长最小.设⊙J的半径为r,结合图形得r >2,⊙J的方程为(x-r)2+(y-r)2=r2,由于点P(2,1)在⊙J上,故(2-r)2+(1-r)2=r2,解得r=1(舍)或r=5.从而(LΔAOB)min=LΔUOV=2r=10.

图3

2.结合勾股定理处理根式

以题目2 的分析与解为例.

分析由的形式想到勾股定理,构造斜边为a,直角边为1 的直角三角形,和斜边为b,直角边为2 的直角三角形,再结合问题中a+b和的形式,构造出几何图形.

三.结束语

以上三个视角基于对根式的理解,结合题设条件和所求问题的式子结构特点,将问题进行了有效转化,可以为含根式的二元函数最值问题的求解提供参考.通俗地讲,问题转化就是把有待解决或较难解决的问题,通过某种转化手段,使它转化成已经解决或较易解决的问题,从而求得原问题的解答.它涉及三个基本的要素:对象、目标和方法,其中对象就是有待解决或较难解决的问题,目标就是已经解决或较易解决的问题,方法就是转化过程运用的数学思想方法.其实很多大家所熟知故事,如司马光砸缸、曹冲称象等,都是成功运用转化策略的经典案例.笔者认为,可以在以下四个方面提升数学解题的转化水平:

1.提高审题质量.审题是解题的基础,解题者要通过对题意的分析,明确条件、结论中所涉及到的数学知识和数学关系,进而确定解题方向.

2.增强目标意识.解题者要对问题结论和条件展开详尽分析,并按照结论确定解题目标,将条件向结论方向进行靠拢.

3.掌握转化手段.解题者需要将复杂的结论、条件实施简化、变形、换元、数形结合等处理,使问题变得更加明朗、清晰;将未知的新问题,通过合理联想,寻找转化为已知的途径,进而拟定出解题计划.

4.善思考多积累.解题者需要在数学解题活动中,养成多角度思考问题的习惯,并积累促成问题合理转化的经验.

以下是二元根式函数最值的几道习题,供读者思考:

习题1设a >0,b >0,则的最小值为____.

习题2已知正实数a,b满足则的最小值为____.