一道椭圆斜率之积定值问题的源与流

南京市栖霞中学(210046)刘建国

南京市栖霞区教师发展中心(210000)谢弦

圆锥曲线中的定点定值问题命制往往依据一定的背景,在此背景以特定的圆锥曲线为载体(如文献[1])考察学生学科关键能力,培育数学运算,逻辑推理等核心素养.此类题型常以高考压轴题的姿态呈现,笔者通过对江苏省G4(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)的联考中的一道定值问题试题进行溯源,并在“源”的基础上拓展,在深度与广度上呈现由“源”到“流”的探究思路与过程.

1.2 观察指标 通过院内病案查询系统采集患者的临床资料：(1)临床基本情况，包括年龄、性别、从DM/PM确诊到出现ARDS的病程、ARDS诱因、预后；(2)症状和体征，包括肺内(咳嗽、咳痰、呼吸困难)及肺外(发热、关节肌肉痛、特征性皮疹)表现；(3)辅助检查结果，包括血常规、血沉、血生化、抗体、血气分析，影像学，肌电图，肌肉活检，支气管镜肺活检结果等；(4)DM/PM治疗及针对ARDS的激素使用情况。

(一)工资、薪金所得，是指个人因任职或者受雇而取得的工资、薪金、奖金、年终加薪、劳动分红、津贴、补贴以及与任职或者受雇有关的其他所得。

一、原题呈现

题目(2021-2022 学年江苏省G4 高三上学期12 月联考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:0)的离心率为,且过点(2,3).

2.在物防上，针对不法分子交通和通讯工具日益现代化的实际，各油区巡逻队也要配备巡逻车、各种先进器具等。同时，对重点油井的井口加盖铁皮房；还要对部分油井的套管安装密码防盗闸门和“三键式”防盗套管闸门。对变压器、节能箱、电机等易被盗的设施采取“全包式”加焊防盗栏、防盗锁、固定螺丝焊死等措施；对电缆线、单井管线等实行深埋80cm；对集输泵站、库房及其它要害部位进行重点巡逻，使被盗系数减少到零。

(1)求椭圆C的方程;

交通运输部近日印发了《农村公路建设质量管理办法》（以下简称《办法》）。《办法》聚焦当前农村公路建设质量管理中的突出问题，进一步明确了地方政府农村公路建设质量监管责任和施工企业质量主体责任，强化了农村公路质量关键环节管控。

注如图3所示,kPMkPN为定值的本质直线AD和直线AE的斜率之积为定值,由此可以推断结论2 至结论6 在双曲线中也有类似的结论.

二、源——追根溯源

所以

证明设D(x1,y1),E(x2,y2),直线l的方程为x=my+t,与椭圆C联立可得:(b2m2+a2)y2+ 2mtb2y+b2(t2-a2)=0,由韦达定理可知

(2)设A为椭圆C的左顶点,过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问k1k2是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

结论1已知椭圆C:A为椭圆C的左顶点,点P(t,0)为长轴上任意一点(不与椭圆C的顶点重合),过点P的直线l交椭圆C于D,E两点,直线AD和直线AE分别交直线于M,N两点,则.

I为恒等算子,而参数λ与α,β,γ和δ密切相关,并且确保算子O5为正定算子。为了确切地确定λ,可将算子O1,O2,O3,O4和O5可以表示成如下矩阵形式:

结论3已知椭圆C:A为椭圆C的左顶点,点P(t,0)为长轴上一点(不与椭圆C的顶点重合),过点P的直线l交椭圆C于D,E两点,直线AD和直线AE分别交直线于M,N两点,则M,N的纵坐标之积为定值,即.

将①代入可得

注如图1所示,上述结论可知kPMkPN为定值的本质在于为定值,即kADkAE为定值,基于这样的背景,将kADkAE的定值作为探究对象,可以进一步对上述问题进行深度挖掘.

图1

图2

三、流——渊思寂虑

因为

证明由结论1 的证明可知,

注以线段MN为直径的圆所过定点与yMyN有关,由结论2 可知,yMyN为定值本质上是kADkAE为定值.

《结婚十年》是苏青最具代表性的一部带有自传体性质的长篇小说。书中主要描写了女主人公苏怀青与丈夫徐崇贤十年以来的平淡而又辛酸的婚姻生活，揭示了一个渴望追求新生活的都市女性，在新旧思想交替的战争年代与男权压抑之下的漫长而又曲折的心路历程。

注此定值由yMyN决定,本质上由kADkAE决定.

四、流——渊远流长

通过对椭圆的探究得到了上述有关结论,其背景都是直线AD与直线AE的斜率之积为定值,若以双曲线或抛物线为载体,则也有类似的结论,于是可以将结论1 在广度上进行推广,如下所示.

结论7已知双曲线C:,A为双曲线C的右顶点,点P(t,0)为x轴上的任意一点(不与双曲线C的顶点重合),过点P的直线l交双曲线C于D,E两点,直线AD和直线AE分别交直线于M,N两点,则.

注此题以椭圆为载体,考察直线与椭圆的位置关系的综合运用,结论以定值形式呈现,主要考察学生的必备知识、关键能力以及学科素养,强化基础性、综合性、应用性和创新性.笔者对条件进行梳理,不难发现:点R的横坐标与直线的满足:MR,NR的斜率之积k1k2为定值,因为R为定点,k1k2与点M,N有关(M,N的横坐标是定值),而点M,N是由AP,AQ生成(A为椭圆C的左顶点),且点P,Q由直线l生成,直线l过定点R,则k1k2的定值一定与定点R有关.若将其置于一般的椭圆中,是否与椭圆的a,b,c、点R、点A以及直线有关,基于这样的梳理,笔者经过探究得到此题的命题背景.

图3

结论8已知抛物线C:y2=2px(p >0),点P(t,0)为x轴上的任意一点(不与抛物线C的顶点重合),过点P的直线l交抛物线C于D,E两点,直线OD和直线OE分别交直线x=-t于N,M两点,则.

证明如图4所示,设D(x1,y1),E(x2,y2),直线l的方程为x=my+t,与抛物线C联立可得y2-2pmy-2pt=0,由韦达定理可知

图4

直线OD的方程为所以同理可得根据点M,N,P的坐标可得则

图3（a）为完整模型前屈和后伸在力矩作用下，颈椎旋转角度（活动度）与文献[11-12]活动度对比图，图3（b）为完整模型侧弯和轴向旋转在力矩作用下，颈椎旋转角度与文献[13]活动度对比图.可知所建立的完整模型后伸运动时活动度与文献基本相同，前屈、侧弯和轴向旋转运动时虽然存在差异，但处于人体正常运动范围，因此认为所建模型符合人体颈椎的运动条件，可以作为本文的研究模型.

注类似于双曲线与椭圆,结论3 至结论6 在抛物线中也有类似的结论成立.

电气性能是仪表电缆测试时的重要内容，主要包括直流电阻、绝缘电阻和冲击电压试验等[18]，在文献[1-4]中均有详细的规定。结构尺寸、机械性能、物理性能等也需满足仪表电缆所执行的标准中规定的要求。对于阻燃、耐火、耐油、耐紫外线等特殊要求，相关的国内外测试标准见表2所列。

五、高考连接

基于上述问题的背景,在以往高考中多有体现,这体现了高考“常考常新”的特点,只有对问题进行深度与广度的探究,把握问题背景,了解问题命题思路,在高三复习过程中,往往可以达到事半功倍的复习效果,笔者罗列了两道有关上述问题背景的高考试题.

1.(2019年高考北京卷理科第18 题)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程;

(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0 的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1 分别交直线OM,ON于点A和点B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

2.(2010年高考四川卷理科第20 题)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2 倍,设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于M,N点.

铁坑矿区岩浆岩为花岗闪长斑岩、花岗斑岩，呈小岩株产出，侵入受构造、F1、F5控制。据新余铁山见有同岩性之脉岩侵入侏罗纪地层中，侵入时代属燕山期。

(1)求E的方程;

(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过定点,并说明理由.

六、结束语

从上述的一系列结论可以看出,椭圆、双曲线以及抛物线均有类似的定值问题的结论,若将上述系列结论中条件进行赋值,即可由“源”到“流”进行命题,所命制的题目在于同一个背景下以不同的载体(向量,圆,以及坐标)呈现丰富多彩的问题.因此只有对问题进行深入探究,追根溯源,才能了解问题的背景,并在此基础上进行命题与编题(如文[3]).在解题中探究问题的背景,在背景下进行命题,这种“源”与“流”的思路在平时的试题中多有体现,因此在高三复习过程中,教师只有跳入题海,深入的研究问题,才能真正意义上帮助学生避免题海战术,提升学生的学科关键能力,增效减负的同时培育学生的核心素养.