微专题：初中数学复习教学的新模式

钱冯良

［摘  要］ 微专题复习教学将零散的知识点进行整理，使数学知识呈现整体化和系统化，能够使学生形成完整知识框架，从结构上整体把握. 教师通过专题设计，以问题为载体，激发学生主动参与学习的热情，培养学生的动手实践能力，提高学生的学习效率.

［关键词］ 微专题；初中数学；复习教学；整体化；系统化

微专题教学是以一定的主题将相关知识进行整合，并通过问题进行复习的一种教学方式. 长期以来单纯的复习教学容易陷入“炒冷饭”或者习题讲评的误区，影响了复习的效果，也导致学生对复习课提不起兴趣. 新课程改革对于数学课堂提出了具体的要求，要求在课堂上开展教学活动，落实学生的主体地位，引导学生积极主动地参与学习和获取新的知识，培养学生交流合作及自主学习的能力. 因此数学课堂应该具有整体性和系统性，将教材内容有机整合，使其符合学生的认知特点. 倘若在复习课中还是按照书本的章节进行按部就班、形式单一的复习，不利于学生建构完整的知识体系. 部分学生为了提高自己的考试成绩，常常采用“题海”战术，耗费大量的时间和精力做题，不仅没能体会数学核心思想，学会用数学的眼光看待世界，还导致缺乏创新意识. 微专题复习能弥补复习课中的上述不足，能从一个较小的切入点带领学生进行深入研究，同时又能摆脱零散的知识点教学，构建完整的知识体系，由于微专题的切口小，还能避免因过大的专题导致思维太过跳跃，使学生学得太过吃力的问题［1］. 笔者进行一些微专题的复习教学尝试，取得了不错的效果. 下面以“数轴上的动点问题”为例，谈一谈微专题复习教学的具体实践，与同行交流探讨.

研究背景

初一數学中有一个比较困扰学生的难点就是“数轴上的动点问题”，它是点在数轴上运动而形成的各种问题，相关题型综合考查学生对知识的掌握情况以及运用知识的能力，因此一般以试卷中的压轴题的形式出现，常常让许多学生望而生畏，大约一半以上的学生不能顺利解决这类问题. 其原因主要是学生对这类问题没有完整而清晰的认识，对题目考查的本质意图没有理解，导致学生每次遇到这类问题虽然能听懂教师的讲解，但是自己独立完成时又找不到解题的思路. 笔者尝试利用微专题进行专项复习，利用预习单进行有针对性的复习，获得了不错的成效.

教学过程

1. 课前导学——有效预习

课前教师精心设计了“预习单”（如表1），提前发给学生，并要求学生在独立学习的基础上，在组内进行适当的研讨. 教师可以有意识地对小组的组长进行适当培训，对研讨的内容和目的进行说明.

2. 课堂展示——汇报交流

课堂教学开始，教师利用多媒体出示“预习单”，并指出其中的问题，让学生以小组为单位进行汇报交流. 教师在听取小组汇报的过程中进行追问和评价，并组织学生之间和小组之间进行互评，提出建议，最后教师进行总结.

（1）数轴上的动点问题，不仅有数量关系，还有图形关系，因此数轴上的动点问题可以通过数量的加减进行计算. 本课主要通过数形结合的方式来研究数轴上的动点问题的解决方法. （明确本课主题）

（2）通过绝对值来表示两点之间的距离可以实现多种不同的情况采用统一的表达方式.

（3）使用含有字母的代数式来表示数轴上的动点P的位置，其依据是加法运算中的几何意义、利用含有字母t的代数式表示M点的位置的依据是根据题目中线段之间的数量关系，并且可以通过列方程进行表达.

设计说明 通过检查学生的“预习单”，发现学生在预习之后基本会模仿样例对加法计算的几何意义进行描述，并且会使用绝对值表示两点之间的距离，对于“预习单”中数轴上的动点问题也能基本解决，但是部分学生还不能解答“预习单”上“拓展思考”的问题. 因此，在课堂教学中，对于学生已经学会的问题教师不需要再进行重复教学，只要在学生展示过程中加以指导，引导学生解答疑难问题即可，这样达到突出重点、详略得当的目的［2］.

3. 探究活动——解决问题

问题1  已知，如图3，数轴上的点A和点B分别表示－15和9，点P和点Q分别从点A和点B同时开始沿着数轴正方向移动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度. 设运动时间为t秒，请问：

（1）在运动过程中，你可以用含有t的代数式来表示点P的位置吗？

（2）在运动过程中，若点P，点Q和原点这三个点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，t等于多少？

教学设计：

第一步，请一个学生回答问题（1），并进行追问，用含有t的代数式来表示点P的位置的依据是什么？

第二步，引导学生分析解决问题（2）可以分为几种情况.

第三步，请学生自主思考并小组合作计算，同时教师进行巡视指导.

第四步，组织学生进行成果展示，教师进行指导评价，并组织学生和小组之间进行互评.

第五步，教师讲解规范的答题过程：

①当点P在点O的左边时，点O是中点，因此可以列式－15+3t=－（9+t），解得t的值为3/2.

②当点P在点O的右边，在点Q的左边，并且是中点时，可以列式1/2（9+t）=－15+3t，解得t的值为39/5.

③当点P在点O、点Q的右边，点Q是中点时，可以列式2（9+t）=－15+3t，解得t的值为33.

最后，教师总结本题的基本解答思路：首先用含有t的代数式表示动点的位置，再通过分类的办法，分情况进行讨论分析，利用和线段有关的数量关系列方程进行求解.

问题2  已知，如图4，数轴上点A、点B和点C分别表示－24、－10和10，两只小甲虫分别从点A和点C同时出发相向而行，甲的速度是每秒4个单位长度，乙的速度是每秒6个单位长度. 请问：

（1）若甲分别到点A，B，C的距离的和为40个单位长度，那么它们运动了多长时间？

（2）甲、乙会在哪个点相遇？请你在数轴上表示出来.

（3）当甲分别到点A，B，C的距离的和为40个单位长度时，立即掉头返回，请问：甲、乙还会在数轴上相遇吗？如果能，请你求出它们相遇的点. 如果不能，请你说明理由.

教学设计：

第一步，引导学生分析问题（1）的解题方法：

①如果甲分别到点A，B，C的距离的和为40个单位长度，那么甲会在点C的右边吗？

②假设它们运动的时间为t秒，请你用含有t的代数式表示甲的位置.

③请问怎么表示甲分别到点A、B、C的距离？

④若甲分别到点A，B，C的距离的和为40个单位长度，请你列出相应的方程.

⑤你能求出上题所列方程的解吗？

第二步，引导学生分析问题（2）的解题方法：

①设运动时间为t秒，请你分别用含有t的代数式表示甲和乙的位置.

②根据已知条件，可以列出哪些方程？

③所列的方程的解是什么？它们相遇的点在哪里？

第三步，引导学生分析问题（3）的解题方法：

①当t的值为2时，请问甲、乙分别在哪里？甲、乙它们能相遇吗？为什么？

②当t的值为5时，请问甲、乙分别在哪里？甲、乙它们能相遇吗？为什么？

最后，教师呈现规范解题过程：

①设运动时间为t秒，那么甲的位置为（－24+4t），根据题意可以列式：（－24+4t）－（－24）+（－24+4t）－（－10）+10－（－24+4t）=40，解得t的值为2或者5.

②设运动时间为t秒，那么甲的位置为（－24+4t），乙的位置为（10－6t），根据已知条件可以列式：（－24+4t）－（－24）+10－（10－6t）=10－（－24）. 经过计算，可以得到t的值为3.4，因此相遇的点可以表示为－24+4×3.4= －10.4.

③当t的值为2时，甲的位置表示的数为－16，乙的位置表示的数为－2. 因为乙比甲的速度快，所以乙可以追上甲. 根据题意可以列式：－2－（－2－6t）－［－16－（－16－4t）］=－2－（－16）. 经过计算可以得到t的值为7，即相遇的点可以表示为－2－6×7=－44.

当t的值为5时，甲位置表示的数是－4，乙位置表示的数是－20，因为甲比乙的速度慢，所以甲和乙不能相遇.

问题3  已知，如图5，点A、B和线段CD都在数轴上，点A表示－2，点C表示0，点D表示3，点B表示12，线段CD以每秒1个单位长度的速度向正方向移动. 设运动时间为t秒，回答下列问题：

（1）当t的值分别为0和2时，线段AC的长度分别是多少？

（2）请用含有t的代数式表示线段AC的长.

（3）若AC与BD的差为5，那么t的值是多少？若AC与BD的和为15，那么t的值是多少？

（4）如果点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位长度，在移动过程中，能使AC的长度等于BD的2倍吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由.

教学过程：

第一步，请学生回答问题（1）.

第二步，再请一位学生回答问题（2）.

第三步，引导学生对问题（3）的解题方法进行分析：

①在移动过程中，点D在点B的左边还是右边？

②设移动的时间为t秒，你能用含有t的代数式分别表示动点C和动点D的位置吗？

③AC与BD的差为5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

④AC与BD的和为5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

第四步，引导学生对问题（4）的解题方法进行分析：

①在移动过程中，点D在点B的左边还是右边？点A在点C的左边还是右边？

②设移动的时间为t秒，那么动点A的位置为（－2+2t），动点C的位置为（0+t），动点D的位置为（3+t），你能用含有t的代数式分别表示AC与BD的长度吗？

③假设AC是BD长度的2倍，那么可以列出哪些方程？这些方程的解是什么？

④请你根据方程的解来回答问题.

最后，教师呈现问题（4）的规范解题过程：

设运动时间为t秒，那么点A的位置为（－2+2t），点C的位置为（0+t），点D的位置为（3+t）. 假设AC的长度是BD长度的2倍，那么可以列式：（－2+2t）－（0+t）=2（3+t）－12，经过计算可以得到t的值为16或者20/3，因此，当t等于16秒或者20/3秒时，AC的长度是BD的长度的2倍.

总结 数轴上的动点问题的基本解题思路是：首先用含有字母的代数式将动点的位置表示出来，接着通过分类讨论结合已知条件列方程进行计算. 学生的错误或者解题的困难主要表现在：不会有效利用代数式表示动点的位置，缺少分类讨论的思维能力，缺少利用绝对值对线段的长度进行表示并列出方程的经验［3］. 因此在教学时还应着重引导学生利用已学知识进行方法的建构.

4. 回顾反思——认识内化

首先，教师列出一系列问题，引导学生对这些问题进行思考和总结.

（1）解决数轴上的动点问题一般有哪些步骤？

（2）为什么要用含有字母的代数式表示动点的位置？

（3）运用绝对值表示线段的长度有哪些好处？

（4）通过今天的学习你有哪些收获？

其次，在学生进行交流讨论时，教师适当指导.

最后，教师进行课堂总结. ？摇

教后反思

微专题的数学复习教学方式体现了以过程为核心、以学生为主体的教育理念，对于问题中涉及的知识技能、解题思路、数学思想等通过分类讨论、引导探究、逐步总结的方式一一呈现，条理清晰，教学过程层层递进. 在教学活动中，学生的观察能力、思维能力、数学猜想能力和分类讨论能力得到了有效的提升. 本课例的成功关键在于：第一，为学生提供了有效的“预习单”，学生在课前做了充分的准备，使课堂教学重点更加突出和具有针对性；第二，教师对专题进行了深入研究和理解，精心设计了环环相扣的问题，引導学生由浅入深地进行学习，提高了课堂教学效率.

参考文献：

［1］ 王炜煜. 基于核心素养下中学数学教学中数学思想方法的渗透［J］. 中学数学研究（华南师范大学版），2020（06）：13-15.

［2］ 李树臣，曹继生. 加强思想方法教学提高学生整体素养［J］. 中学数学杂志，2017（10）：3-7.

［3］ 刘岳，康翠. 初中数学简约课堂教学的探索与实践［J］. 教学与管理，2015（25）：41-44.