问题视角下数学例题的变式设计及思考

吴静

［摘  要］ 要想发挥例题教学的功能，除了精选典型例题，还要进行例题变式的设计. 可从问题的视角看例题，把例题看作源问题，通过水平变式和垂直变式这两类问题的变式结构分析并设计变式题，让学生在不断变式的过程中看清问题的本质，达到对问题结构的透彻理解，同时给出对水平变式和垂直变式的教学思考.

［关键词］ 例题；问题；变式；教学思考

例题教学是数学课堂教学的重要组成部分. 在学生习得例题的基本方法后，教师应引导学生发掘例题的潜在因素，挖掘例题的教育功能. 在例题教学中，教师应通过变式将例题的条件、结论、情境、问题结构等进行延展变通，使学生进一步理解和掌握例题所阐述的概念、原理、规律，积累解决问题的经验. 教师应让学生洞察问题的深层结构，真正把例题研究透彻，进而通过迁移解决其他的问题，只有这样，才能帮助学生走出“题海”，实现由知识立意向能力立意的转换，培育学生的数学学科核心素养.

变式教学是一种传统且经典的中国教学方式，中国数学教师关于变式教学的研究主要是立足教材谈变式，从教材的例题出发编制变式题［1］. 顾泠沅教授认为，变式教学是促进有效的数学学习的中国方式. 所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但保留对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

在例题教学中，由于教学内容多、教学任务紧，部分教师只是简单讲讲例题或者与学生一起做题. 这样的教学，使得学生倾向于记忆某种方法和发展某项具体技能，不利于学生形成高层次的数学思维，而学生的学习也只是停留在浅层次，不能实现深度学习. 为实现由知识立意向能力立意的转换，发展学生的数学学科核心素养，有必要对当前的例题教学加以研究. 下面笔者从问题的视角把例题作为源问题进行变式设计并加以研究.

从问题的视角看例题

在例题教学中，“例题”既可以选择教材中的例题或习题，又可以选择其他资料或出版物中的题目. 但到底应该怎样选择合适的题目作为例题呢？潘小梅老师认为应该选择内容常出现、方法能迁移、思路可借鉴、具有生长性的题目. 从问题的视角看，每个例题都应该是一个好问题，每个问题都具有“表面内容”和“内在结构”两重属性. “表面内容”指问题呈现涉及的事件、背景、对象等的浅层特征；“内在结构”指涉及问题本质的概念、关系与原理等的深层特征. 如果把例题看作源问题，那么变式题就是由源问题变换而得的新问题. 源问题与新问题之间存在四种关系：①表面内容相同，内在结构相同；②表面内容不同，内在结构相同；③表面内容相同，内在结构不同；④表面内容不同，内在结构不同［2］. 像①②改變源问题的表面内容，不改变问题的内在结构的变式称为水平变式，像③④改变了源问题的内在结构的变式称为垂直变式. 在例题教学中，教师常常通过水平变式帮助学生认识问题的本质属性；通过垂直变式发展原来的数学结构，建立新的数学结构，促进学生对问题结构的理解，深入探究问题生长的思维过程.

例题的变式设计分析

在苏教版教材七年级下册“10.3  解二元一次方程组”的例题教学中，教师从问题的视角，将如下例题看作源问题，并通过水平变式和垂直变式设计变式题.

例题 篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分.在中学生篮球联赛中，某球队赛了12场，共得20分.该球队赢了几场？输了几场？

解 设该球队赢了x场，输了y场.

分析 本例题是根据中学生篮球比赛这一生活实际，以应用题的形式展现出来的，通过设两个未知数，求解二元一次方程组可以得出结论.例题作为源问题，它的表面内容是篮球比赛，输赢的得分，比赛几场，总得分，这些内容中的数字可以改变，对问题的本质影响不大. 内在结构的特征是赢一场的得分，输一场的得分，比赛场次与输赢几场之间的关系，总得分与输赢比赛的关系等.

变式1 某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班级中开展篮球单循环比赛（每个班级与其他班级分别进行一场比赛，每个班级需进行10场比赛）． 比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1分． 如果某班级在所有的比赛中只得24分，那么该班级胜负场数分别是多少？

分析 变式1与源问题相比，只改变了比赛场次和得分，属于水平变式①，即表面内容相同，内在结构相同.从迁移的角度来看，属于源问题的近迁移题.

变式2 若x+y－12+（2x+y－20）2=0，求x，y的值.

变式3 若单项式2ax+yb20与－2a12b2x+y是同类项，求x，y的值.

分析 变式2、变式3与源问题相比，改变了问题的表面内容特征，但内在结构几个变量之间的关系仍未改变，属于水平变式②，即表面内容不同，内在结构相同. 从迁移的角度来看，属于源问题的中迁移题.

（1）甲队联赛积分为______；

（2）甲队共打赢______场比赛.

变式5 宝应县是江苏省青少年足球训练基地，每年都举行全县中小学生足球联赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 2022年的足球联赛中某校足球队参加了16场比赛，共得30分． 已知该足球队只输了2场，那么这个足球队胜了几场，平了几场？

分析 变式4、变式5与源问题相比，没改变问题的表面内容特征. 变式4给出了赢一场和输一场的得分，给出了几个变量之间的关系，去求比赛的场次和得分；变式5除了胜场次和负场次，还多了平场次，给出了几个变量之间的关系，去求比赛胜和平的场次. 变式4、变式5的内在结构已经发生了变化，属于垂直变式③，即表面内容相同，内在结构不同.从迁移的角度来看，属于源问题的中迁移题.

变式6 某家居专营店用2730元购进A，B两种新型玻璃保温杯共60个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如表1所示.

这两种玻璃保温杯各购进多少个？

变式7  若关于x的一元一次方程（a+b-12）x=2a+b-20有无数多个解，试求a，b的值.

例题的变式设计思考

1. 对水平變式的教学思考

水平变式只改变问题的表面内容，不改变问题的内在结构.而问题的内在结构特征才是问题的核心. 水平变式虽然只是内在结构的不断重复，但形式各异的水平变式仍有重要的教学价值. 在学生眼里，通过水平变式对源问题的重复，是源问题的再认识，是不断巩固和掌握源问题的过程. 在教学中通过水平变式问题的解决，可以帮助学生认识问题的本质属性，突出问题的主要因素，发现问题的内在结构. 因此，水平变式的意义在于让学生强化对问题的理解，形成问题解决的策略，发现问题的内在结构，看清问题的本质，并为过渡到垂直变式做好铺垫.

水平变式虽然只是解题技能的简单重复，但Marton变式学习理论认为：经验不断重复才能形成认知，第一次关注理论描述效度；当第二次经历时，第一次所经历的方面会被放大；第二次的经历“丰富”并“加深”第一次经历的各个方面［3］. 通过水平变式可以帮助学生形成基本活动经验. 在反复的水平变式活动中，学生以往的经验会发生变化，不断积累新的活动经验，再经过学生自我摸索和反思领悟，思维也会随之而发展.

2. 对垂直变式的教学思考

当然，只有水平变式，而没有垂直变式也不行，那样数学学习只会停留在浅表层面. 只有垂直变式才能生成抽象化和深层次的数学理解.垂直变式改变了问题的内在结构，增加了新的认知元素，加大了问题区分的认知负荷. 垂直变式是问题结构的深层次加工，它不拘泥于问题的表面内容，提取了内在结构，形成变式题的“结构骨架”. 垂直变式的核心是数学深层结构的学习，它不断增加认知负荷，逐渐驱动高阶思维发展，由表层类比向结构类比转化，增加对问题本质的深层理解，使数学学习由例题（起点）向垂直变式题（终点）过渡，由浅层学习走向深度学习，逐步发挥例题的深层教学价值.

3. 从迁移的角度来看变式题

从迁移的角度来看变式题，可以分为源问题的近迁移题、中迁移题和远迁移题. 迁移量随着近、中、远迁移题而逐渐增加. 同时，变式题要根据学生的实际情况来设计，尽量让变式的难度控制在学生的最近发展区之内. 若学生对于源问题的理解不够，则需要设计近迁移题；若学生已经掌握了源问题，则需要设计中、远迁移题. 另外，变式的“度”和“量”至关重要，如果变的“度”太小，变的“量”太多，学生就会陷入“题海”深渊. 而变的“度”太大，跳过学生的最近发展区，使学生不能理解，就会让学生产生挫败感，同样达不到促进高阶思维发展的目的. 总之，在进行问题变式设计时，教师应结合实际学情设计适度、适量的近、中、远迁移题，促进学生掌握源问题、理解问题的深层结构，从而达到对问题的理解和知识的迁移的目的，真正实现从知识立意向能力立意转变.

参考文献：

［1］ 章建跃，王嵘. 中国数学教科书使用变式素材的途径和方法［J］. 数学通报，2015，54（10）：1-8，48.

［2］ 喻平. 发展学生数学核心素养的教学与评价研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［3］ 孙旭花，黄毅英，林智中，等. 问题变式：结构与功能的统一［J］. 课程·教材·教法，2006（05）：38-42.