勒让德方程的解

张捍卫 张 华 杨永勤 李晓玲

1 河南理工大学测绘与国土信息工程学院，河南省焦作市世纪路2001号，454000

勒让德方程是物理学和其他技术领域常遇到的一类常微分方程。在大地测量学中，通常只关注缔合勒让德函数递推公式及其计算精度与速度。递推公式大致可分为标准向前按列和按行递推方法[1]、列式递推方法[2]和跨阶次递推方法[3]等，这些递推公式在理论上具有等价性。但由于递推公式结构存在优劣，在计算过程中，不同类型的递推公式显示出不同的效果[4-7]，因此，需要进一步改善递推公式结构[8-9]。球谐与椭球谐理论[10-11]作为物理大地测量学的重要理论，虽然地球与太阳系内的天体椭率较小，但也可用于其他领域研究[12]。

本文给出部分特殊函数的任意阶导数表达式。在此基础上，直接给出第一类连带勒让德函数的超比表达式，及其与其他特殊函数的理论关系；同时利用级数展开方法，直接给出第二类连带勒让德函数的超比表达式。

1 勒让德方程及其奇点

复数域内勒让德方程为[13-14]：

(1)

式中，ν为待定参数。

连带(缔合)勒让德方程为：

(2)

显然，当m=0时，方程(2)就可化为方程(1)。式(2)的系数为：

(3)

由于式(3)在x0=0点解析，因此x0=0为方程(1)和(2)的常点。

根据式(3)得：

(4)

所以，x0=±1、∞分别为勒让德方程的3个正则奇点。

2 式(1)幂级数解：第一类勒让德函数

文献[13-14]指出，若x0为二阶微分方程的常点，则该方程的系数和解均可以通过麦克劳林级数来表示：

(5)

因此，方程(1)在常点x0=0邻域内的解为：

(6)

将式(6)代入式(1)，可得系数之间的递推公式：

(7)

设置c0和c1为任意常数，可证Pν(x)在|x|<1时收敛，在x=±1处发散[13-14]。

当ν=n时，Pν(x)截断为多项式Pn(x)，如果取最高幂次系数：

(8)

则有[13-14]：

(9)

式中，[·]表示取整数。值得注意的是，多项式对自变量数域范围无要求。

当ν=n时，可证明

(10)

第一个等号成立。后面3个等号，可根据(C7)、(C15)和(C21)式得到。

3 式(1)幂级数解：第二类勒让德函数

与Pn(x)线性无关的另一个解Qn(x)，可通过刘维尔公式得到[13-14]：

(11)

式中，p(x)为方程(1)的系数，具体见式(3)。

当ν=n时，设方程(1)的级数解为：

(12)

将上式代入式(1)，可得系数之间的递推公式为：

(13)

由此可得：

(14)

如果设置

(15)

则可将式(12)表示为：

(16)

上式称为第二类勒让德函数。

考虑到式(A9)、(A10)以及式(15)，可将式(16)写为：

(17)

注意，第二类勒让德函数是一个无穷级数，自变量要求|x|>1。

4 式(2)幂级数解：第一类与第二类连带Legendre函数

可证明：如果式(1)的解为y，那么式(2)的解为[13-14]：

(18)

因此，当ν=n时，则有：

(19)

分别称为第一类和第二类连带勒让德函数。

根据式(10)和式(19)中第一式，以及(C5)、(C9)、(C16)和(C23)式，可得：

(20)

上式为第一类连带勒让德函数(实际上为多项式)的不同表述。

根据式(17)和式(19)中第二式，可得：

(21)

根据式(A9)和式(A10)，可得：

因此，式(21)可写为：

(22)

这里已考虑到(B4)式。

5 结 语

本文给出超比函数、雅可比多项式、超球多项式和盖根堡多项式的任意阶导数，在此基础上利用式(19)第一式和式(10)，可直接得到式(20)。另外，首次利用级数展开方法并灵活运用括号运算符，直接给出式(16)和式(22)。

勒让德方程、切比雪夫方程、雅可比方程、超球方程和盖根堡方程等均属于超比方程类型，可以化为超比方程求解。因此，在研究勒让德方程时，可以利用其他微分方程的部分特性来研究勒让德方程的性质。