浅谈数学教学中学生思维能力的培养

许春红

新课程标准指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者；学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学应围绕揭示思维过程、培养学生思维能力为目的而展开，引导学生从不同角度、不同途径去思考问题，使得学生在学习中能举一反三、闻一知十。下面就结合教学实践谈谈数学教学中学生思维能力培养的探索。

1、 一题多解，培养学生发散思维能力

发散思维是指从已知信息中产生大量变化的独特的新信息中，沿着不同方向，在不同范围的思维方式。如数学教学中引导学生一题多变或一题多解是培养学生发散思维的重要途径。

在一次数学课上，我出了这样的一道数学题：

例1：已知 ，且 ，则 的值等于多少？

结果发现许多学生都是这样做的。具体解法如下：

解法1：用主元法，将 视为主元，由已知可得：

分解因式得： ，即 ，由于 ，故有

学生解完后，我向学生提出有没有其它解法？学生们讨论开了，最后还得出了另外三种解法。

解法2：构造一元二次方程，由于已知

所以方程 有两个相等的实数根，

由此看出，学生学会了发散思维，可以全方位地考虑问题，沿着不同的方向去思考、探索，寻找尽可能多的设想思路、可能性和联系，可开发学生的智力，使学生思维流畅，能随机应变，达到高效率学习的目标。

2、 数形结合，培养学生形象思维的能力

数形结合，是把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述结合起来，使几何问题代数化，代数问题几何化，从而将抽象思维和形象思维结合使用，使许多复杂问题获得简捷解法。数和形是整个数学发展中的两大柱石，将代数问题转化为相应的几何问题，或者将几何问题经恰当处理转化为相应的代数问题，再根据问题的特点用相应的知识进行解决，这样的数形转换既可以发展学生的形象思维能力，也是优化思维品质的有效途径。

例2：（1） 的最小值是（  ）。

A、1     B、2    C、3     D、4

有的学生看到此题觉得无从下手，有的说选A，有的说选B。我问他们为什么选A或B，他们答不上来，说是猜的。我就引导学生思考绝对值的几何意义，学生们马上想到去画数轴，从而找到了答案。

解法：作数轴，点A表示1，点B表示2，点C表示3。根据绝对值的几何意义，本题就是在数轴上求一个点X，使它到A、B、C三点的距离之和最小。从数轴上易见，这个点X应取在点B的位置，此时最小值是2，故选B。

（2）当实数 为何值时，方程 无解、有二解、三解、四解？

分析：怎样来确定 的值呢？这是含有绝对值符号的二次方程，如果去掉绝对值再利用根的判别式来考察，必然很繁。我启发学生思考能否用函数知识来解呢？

有位男同学站起来说：先令 ， ，这两个函数的图象容易作出。而要确定方程  的解的个数，从图形上看，就是确定直线 与曲线 的交点的个数，由图立即可以得到：

当 时，方程无解；

当 及 时，方程有两个实数解；

当 时，方程有三个实数解；

当 时，方程有四个实数解；

3、突破常规，培养学生灵活思维的能力

解决数学问题时别出心裁的奇思妙想，让人拍案叫绝！这就是数学解题的灵活性，也是数学解题的魅力之处。构思反例，寻求特例能获得出人意料的解法，而许多奇异的设想，能成为新方法和新思想的起点。我在进行数学竞赛辅导时，常启发学生解数学竞赛题时要敢于突破常规，去分析去思考，从而得出绝妙的解法。

例3：分解因式：

分析此题按常规的“一提、二套、三分组”的方法难以施行，十字相乘法也用不上，所以此题要得到正确解答必需另辟蹊径。

例4：甲、乙两人相距 公里，分别以每小时 公里和每小时 公里的速度相向而行，同时，甲所带的小狗以每小时 公里的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回头奔向甲，遇甲后又立即回头奔向乙……直到甲乙相遇，小狗所走的路程是多少？

分析：如果把小狗所走的路程加起来，即小狗第一次与乙相遇所走的路程，加上返回与甲相遇所走的路程，再加上……直到两人相遇，这样显得太麻烦。若从整体上看，小狗从出发到甲乙两人相遇时所用的时间与甲、乙用的时间相同，解法则显而易见，真是出奇制胜。

解：从出发到甲、乙两人相遇时所用的时间为 小时，则

得

所以小狗所走的路程为 公里。

例5：学校有 名学生参加乒乓球选拔赛，采用输一場即予淘汰的单淘汰制，为了确定第一名，共需安排多少场比赛？

分析：按常规思路，第一轮需 场，第二轮需 场，第三轮需     场第四轮、第五轮……这样计算很麻烦。如果这样考虑，只选拔一人，需要淘汰 人，而每淘汰 人，需要安排 场比赛，所以需要安排 场比赛。

在数学教学中我常采用启发式教学来培养学生灵活思维的能力。

在数学教学活动中，教师应善于鼓励和引导学生对数学问题所涉及的知识进行多角度的联想，数与形，外在形式和内在联系，从各个不同的角度研究分析问题，探索新颖的解决问题的方法，从而达到培养学生创新思维和创新精神的目的。

总之，培养学生的思维能力贯穿于数学的全过程，在数学教学的过程中，要长期坚持培养学生的思维能力，以利于全面提高学生的数学素质。