自动跟踪型加速度计电流数字转换电路数字闭环控制研究

丁浩珅, 谢元平, 樊振方

（1. 国防科技大学前沿交叉学科学院, 长沙 410073;2. 国防科技大学南湖之光实验室, 长沙 410073）

0 引言

自动跟踪型加速度计电流数字转换（Current to Digital Conversion, CDC）技术作为加速度计模数转换电路的一种［1］, 为了达到最优控制效果, 需要设计一种响应速度快、 工作稳定、 通带平稳的闭环控制传递函数。 关于CDC 的数字闭环控制系统,数字信号处理器是实现控制功能的核心, 它根据系统的控制要求, 按照一定的规律或规则对系统实施控制［2］。 反馈控制为PID 算法, 由现场可编程门阵列（Field Programmable Gate Array, FPGA）来实现, 算法性能的好坏将直接决定整个闭环系统的性能。 所以, 根据系统要求, 设计出最佳的PID 算法参数至关重要。

ROJO 等［3］进行了基于PID 算法的数字闭环控制系统研究, 这种控制算法至今仍在沿用。 国内目前对数字闭环的研究更多集中在硬件设计与代码优化方面［4-5］, 缺少针对性的控制系统理论研究。本文针对PID 参数优化问题, 建立了CDC 的闭环控制系统, 采用根轨迹法对控制系统的PID 参数进行分析求解。 校正后系统的动态性能指标接近期望值, 具有较大的稳定裕度。 最后, 用Simulink 仿真验证了PID 参数的实用性和方案的可行性。

1 CDC 系统组成及工作原理

CDC 的结构如图1 所示［1］。 CDC 主要由模拟电路与数字控制处理模块两个部分组成: 模拟电路主要是积分电路、 电压转电流电路（Voltage to Current Circuits, V/I）组成; 数字控制处理模块由高性能的数字信号处理器（单片机或者FPGA）和高分辨率的模数转换器（Analog to Digital Converters,A/D）、 数模转换器（Digital to Analogue Converters,D/A）构成。

图1 CDC 结构图Fig.1 Structure diagram of CDC

该闭环系统的工作原理如下: 以数字信号处理器为闭环回路的控制核心。 加速度计传感器将测量的加速度变化转换成相应变化的电流量I1, 积分电路对输入电流I1进行积分后输出误差电压E,E经过A/D 转换变成数字量e,e经过数字信号处理器处理后, 数字信号处理器产生调整数字信号d经D/A 和V/I 转换为反馈跟踪电流I2作用于积分电容C上,I1、I2二者电荷保持平衡, 实时反馈控制使误差电压E稳定在0 附近, 有

式（1） 中,En为第n个采样周期中的误差电压,C为积分电容的电容值, A/D、 D/A 采样频率为fS,T为采样周期, 采样周期T=1/fS。 数字信号处理器将调整数字信号d通过串口输出到上位机, 有

式（2）中,L为数字输出d与输入电流I1之间的标度因数, 单位为LSB/mA;dn为第n个周期内的数字信号。 由式（2）可知, 数字信号d正比于输入电流I1在采样周期T内的平均值。 当采样频率fS较高时,d可视为输入电流I1的实时采样。 说明CDC 一方面完成对输入电流I1的反馈再平衡, 另一方面直接将与输入电流I1成正比的数字量d传递给导航计算机, 其全数字的处理方式也能解决模拟闭环方案中的精度损失等问题。

2 仿真模型

为保证CDC 的闭环控制系统可以稳定运行,需要设置好数字信号处理器的参数, 本电路采用数字PID 控制作为数字信号处理器的控制算法, 通过构建控制系统, 求解数字PID 参数, 对校正后的控制系统进行仿真验证, 证明该方法的有效性。

2.1 仿真模型说明

一个模拟信号经过A/D 变换成为二进制数字信号时, 必须经过量化处理和编码。 本电路采用的是16 位高精度模数转换芯片, 该芯片转换精度高, 产生的量化误差很小, 故可忽略量化误差的影响。 因此, 在电路仿真分析中可以略去量化误差和编码环节, 建立系统传递函数时可以将所研究的电路控制系统当成采样系统, 仅含有采样及零阶保持器两种过程, 再进一步将其看作时间离散系统来进行z变换分析［6］。

通过z变换, 可以把传递函数、 根轨迹等概念应用于离散控制系统中。 首先, 将转换电路当成连续系统去分析, 算出模拟PID 参数后, 将PID 环节代入系统, 相当于对整体系统加入校正环节［7］,通过校正来改善系统的动静态特性。 随后, 将PID控制器离散化, 利用Simulink 对电路系统进行仿真。

2.2 连续控制系统

将图1 中的电路系统看成是连续控制系统, 输入电流I1、 反馈跟踪电流I2等效成系统输入信号和输出信号, 积分电路等效成积分环节, 积分电容的电容值为C=0.1μF =1 ×10-7F, 积分环节表达式为

图1 中的V/I 表示为电压转电流环节, 用1/R表示,R为330Ω 电阻, 通过电压转电流环节可得W2（s） =1/330。 为了在控制系统仿真中等效A/D采样效果, 本文在之后的Simulink 仿真中使用零阶保持器, 这样连续控制器的输出在离散化后会产生一定时长的延时, 延迟模块的传递函数为

式（4）中, 延时τ大约为0.5T［8］, 得τ=0.5T,T为A/D 采样周期。

控制处理模块看成是控制器控制环节, 用C（s）表示。 各个系统的等效环节用图2 的子方框图中的传递函数来表示。

图2 连续控制系统各框架示意图Fig.2 Schematic diagram of each frame for the continuous control system

将积分环节、 延时环节和电压转电流环节整理汇总, 得传递函数G（s）, 表达式为

e-τs在τ较小的情况下可以用一阶Pade 进行线性化处理, 精度较高, 计算方便［9］。 计算公式如下

根据经验, 一般设定采样频率T为系统带宽的10 ～20 倍, 这样可以确保数字控制器与连续控制器的性能相匹配［10］。 由于输入电流信号I1的频率一般不超过5kHz, 所以本文最终选取的采样频率为50kHz。 因此, 将式（6） 代入式（5） 中,τ=0.5T,T为0.00002s, 化简后得传递函数G1（s）,表达式为

则整个连续系统的传递函数如图3 所示。

图3 连续系统传递函数结构简图Fig.3 Structure diagram of transfer function for a continuous system

连续控制系统的闭环传递函数表达式为

3 PID 控制器参数的求解

在采样周期足够小的情况下, 使用各种连续域设计方法设计出符合要求的连续域控制器, 然后将连续控制器离散化, 这种方法称为连续域-离散化设计法［8］。 连续系统通过串联PID 控制器达到校正系统的效果, 所以本文使用根轨迹法来设计出符合要求的校正装置, 来求解PID 控制器。

3.1 根轨迹法的校正原理

根据连续控制系统要求实现的动态性能指标期望值, 来计算出系统的期望闭环主导极点, 如果系统显示根轨迹通过期望的闭环主导极点, 说明系统性能指标符合要求, 无需校正; 否则需要在系统中引入新的开环零点z和极点p来改变根轨迹的走向, 如果引入的开环零极点合适, 就可以使根轨迹经过期望的闭环主导极点［11］。

待校正系统的开环传递函数的一般表达式为

式（9）中,zi为系统开环零点,pj为系统开环极点,K为系统的根轨迹增益。

对待校正系统进行根轨迹校正时, 计算校正装置步骤如下［12］:

1）根据系统要求实现的动态性能指标期望值,确定系统的期望闭环主导极点位置, 表达式为

2）串联一超前校正装置C（s） =K（s+z） /（s+p）, 通过引入新的开环零点z和新的开环极点p改变原根轨迹的走向, 使1 +G0（s）C（s） =0 的根轨迹通过期望的闭环主导极点s1,2。

3）根据式（11）（幅值条件表达式） 和式（12） （相位条件表达式）计算求解出K、z和p。

3.2 校正装置的参数计算

根据实际电路需求, 本文将系统动态性能指标期望值设定为: 上升时间tr≤1.8 ×10-5s、 调整时间ts≤4.3 ×10-5s、 超调量σP≤3%。

根据公式

根据ts和σP的期望值, 代入式（13）和式（14）中, 解出ζ≈0.74 和ωn≈112612rad/s, 再由式（10） 得出期望闭环主导极点s1,2= - 83333 ±75744j。

常用的PID 控制包括PID 控制、 PI 控制和PD控制三种类型。 本文采用PD 控制对系统进行超前校正, PD 控制器表达式为

联立式（7）和式（15）, 得到校正后系统函数表达式为

引入一个零点z和极点p, 画图求解零极点,如图4 所示。

图4 零极点示意图Fig.4 Schematic diagram of zero and pole

先设定零点z为（ -60000, 0）, 由式（12）（相位条件表达式）可计算出p= -68610。

将z= -60000、p= -68610 代入式（11）（幅值条件表达式） 中, 解算出K≈2.0206。 将z=-60000、p= -68610 和K≈2.0206 代入式（15）中, 可得

由此得出经过超前校正后的系统开环传递函数为

校正后的系统单位阶跃响应如图5 所示。

图5 校正后的系统单位阶跃响应（延迟环节一阶近似）Fig.5 Unit step response of the system after calibration（first-order approximation of delay link）

由图5 可知, 系统稳定, 稳态误差趋于0。 此时, 系统的超调量σP=2.2%, 上升时间tr=1.8 ×10-5s, 调节时间ts=4.3 ×10-5s, 动态性能指标符合期望值。

为探究延时环节的一阶近似对系统的影响,现用式（4）替换式（18）中的一阶近似, 得到系统开环传递函数, 表达式为

校正后的系统单位阶跃响应如图6 所示。

图6 校正后的系统单位阶跃响应Fig.6 Unit step response of the system after calibration

由图6 可知, 系统稳定, 稳态误差趋于0。 此时, 系统的超调量σP= 5.3%, 上升时间tr=1.5 ×10-5s, 调节时间ts=6.7 ×10-5s, 动态性能指标与期望值接近, 证明了延时环节一阶近似在本次参数求解过程中的可行性。

校正后的系统开环频率特性曲线如图7 所示,相角裕度γ=61°, 幅值裕度Kg=8.6dB, 具有较大的稳定裕度, 证明系统的鲁棒性较好。 此时, 系统-3dB 带宽为fb≈6.2kHz。

图7 校正后的系统开环频率特性曲线Fig.7 Open-loop frequency characteristic curves of the system after calibration

3.3 连续域控制器离散化

本文采用连续域-离散化设计法, 直接将连续域控制器离散化, 对式（17）进行z变换, 得到

C1（z）即为所求得的离散化PD 控制器。

4 Simulink 仿真

4.1 连续域-离散化设计法验证

将C1（z）代入离散控制系统, 如图8 所示。

图8 离散控制系统示意图Fig.8 Diagram of discrete control system

为探究这种方法对整个系统的影响, 以Simulink 为工具, 对连续系统与离散系统进行仿真, 如图9 所示。

图9 Simulink 仿真图Fig.9 Simulation diagram of Simulink

仿真输入信号为1mA 电流的单位阶跃响应,离散域系统的A/D 采样频率为50kHz。 为了使连续域与离散域的输出误差电压信号同步, 在连续域的Simulink 仿真中加入相应的延时环节, 对比连续域与离散域的闭环系统阶跃响应曲线, 如图10所示。

图10 连续域和离散域的单位阶跃响应曲线Fig.10 Unit step response curves for continuous and discrete domains

仿真结果表明, CDC 控制系统在连续域和离散域的单位阶跃响应曲线基本一致, 证明了连续域-离散化设计法在本次实验中的可行性, 并且仿真结果为实际控制系统提供了依据。

4.2 输出稳态误差

将Simulink 仿真信号源设为1mA 的电流值,信号发生时间设置为0.0001s, 离散域稳态误差如图11 所示。

图11 离散域稳态误差Fig.11 Diagram of discrete domain steady state error

通过离散PD 控制器的调节, 离散控制系统稳定, 稳态误差为0, 实际上这与控制环路包含积分环节有关。

5 结论

本文建立了自动跟踪型电流数字转换电路的控制系统模型, 采用根轨迹法求解连续控制系统的PID 控制器参数, 校正后系统动态性能指标接近期望值, 闭环阶跃响应的超调量为σP=5.3%, 上升时间tr=1.5 ×10-5s, 调节时间ts=6.7 ×10-5s。该系统具有较大的稳定裕度, 证明系统的鲁棒性较好, 系统的-3dB 带宽约为6.2kHz。 采用连续域-离散化设计法对连续域PID 进行离散化处理,基于Simulink 分别建立了连续域与离散域的闭环系统仿真模型, 仿真结果表明两个系统的阶跃响应曲线特性基本相同。 在离散域中, 输入单位阶跃信号时, 系统稳定且输出稳态误差为0。 仿真结果可用于电流数字转换电路控制参数优化。