多层网络中对传播内容感兴趣层的存在对其它层的影响＊

杨 非，曹 磊，陈丹丹，廖 展，赵 明

（1.广西科技师范学院，广西 来宾 546199；2.广西师范大学物理科学与技术学院，广西 桂林 541004）

0 引言

自然界和人类社会中的很多系统是错综且复杂的，人们为了研究方便，将系统中的个体抽象成节点，将个体间的联系抽象成边，这样就形成了一个巨大的结构复杂的网络[1-5]，即近二十年来科学家热衷研究的复杂网络。我们生活周边就有各式各样的复杂网络系统，例如：把人看作节点，人与人之间的朋友或熟人关系看成边，这就形成一个社会关系网络；在生物界中，将捕食者和被捕食者看做节点，捕食关系看成连边，就组成了生物网络；在每个城市中，把电力站看做节点，将输电线路看作连边，就形成了电力网络[2-3]，用复杂网络来研究复杂系统能将问题简单化，更有利于进行我们理论上的分析。因此对复杂网络的研究具有非常重要的意义，复杂网络虽然看起来复杂，但是其结构还是具有一些明显的统计特性的，比如网络的多层结[6-7]等，而近几年，复杂网络的信息传播逐渐成为热点。

在现实生活中，每个人对每类信息的关注程度都是不一样的[6]。对于感兴趣的信息或行为，该个体可能会关注、接收并传播信息，而对于不感兴趣的信息或行为，该个体可能不会关注和传播。但有的时候我们需要在一个不感兴趣的人群中传播一类特定的信息或观念，那么如何推广才能使其传播范围更广呢？举例来说老年人对电子产品比较抵触，那么如何将有益于这类人群的电子产品推广出去就是一个需要解决的问题。一个可能的办法是将这类信息首先推广到老年人的子女中去，因为这些年轻人更容易接受新的理念和新产品，再通过他们将新的理念和产品推广到老年人群中去，这将比直接向老年人推销更为有效。因此本文就将考察如何将信息在难传人群中进行传播，使更多的人收到、进而接受信息最终将信息传播出去。

在具体的操作中，我们建立一个双层网络，其中一层对所传内容感兴趣，而另一层对该信息不感兴趣，我们试图利用感兴趣层的节点的影响力将信息传播到不感兴趣层的节点。之前我们考察的是利用某一层的相对较大的平均度，而本文所利用的是某一层对所传播的内容更感兴趣，利用这样两种利于传播层的存在，将信息或理念或产品传播到难传层中去，最后，我们将这两种方法结合，找出利于促进难传网络层传播的最佳方案。

1 双层网络和传播模型介绍

双层网络模型：首先生成两个随机网络A 和B，两者的规模相同NA=NB=N，平均度分别为＜kA>和＜kB>，之后分别在两层中随机选择节点并连接作为层间连边，避免边的重连，使得层间连边的平均度达到＜kAB>。在这个工作中层间连边相对稀疏，因此只有部分节点既有层内连边又有层间连边，我们称这样的节点为“桥梁”节点。这里我们假设A 和B 层网络分别表示分属两个地域的人群，两类人群的交往方式不同即具有不同的度分布pA(k)和pB(k)。这样我们就获得了一个比较简单但却能描述两个地域人群相互关系的双层网络。在我们的工作中，N=5000，A 层网络的平均度为6，B 层网络平均度改变，层间连边数量为1000 即连边密度为kAB=0.00004（如图1 所示）。

图1 简单的双层网络示意图

传播模型：为了考察传播过程，我们采用了经典的SIR[3-7]传播模型，该模型描述了个体从未生病的易感态（S 态)被感染后变成染病态（I 态）并可能把疾病传染给其处于易感态的邻居，最后转变成免疫态（R态）的过程（如图2 所示）。该模型也往往被用来描述信息或行为的传播过程，其中S态表示个体不了解信息的状态，I 态表示个体相信了网络中正在传播的信息并传播该信息给其邻居的活跃状态，R态表示个体已经对所传信息不再感兴趣的疲惫状态。在本文，我们在A 层网络中随机选择几个节点作为传播源开始传播，考察当B层网络的平均度发生改变时对A 层网络传播范围的影响。为了简化模型，我们令层内和层间的感染率β相同，恢复率γ为1。

图2 SIR 传播模型示意图

2 B 层网络的感染率对A 层网络传播范围的影响

我们考察对所传信息感兴趣层对难传网络层的影响，如果个体对所传信息感兴趣，那么当收到信息后就很容易相信，即对于这类人群来说信息的感染率比较大，因此在我们的工作中保持A 层网络的感染率在一个比较小的值不变，考察B 层网络的感染率对A 层网络的传播范围及速度的影响，那么B 层网络的感染率越大表明B 层网络中的个体对所传信息越感兴趣。我们认为信息开始在A 层网络传播后经过层间连边传播到B 层网络，如果B 层网络的感染率比较大，那么信息在B 层网络会很快地传播开来，并通过层间连边将信息回传给A 层网络，使得A 层网络的传播范围进一步增大，为了验证我们的想法，我们保持A 层网络的感染率为0.18，B 层网络的感染率βB为0.20、0.25 和0.50，A、B 层网络的平均度都为6，初始时5 个传染源在A 层网络中开始传播，同样描述个体相信信息的时间来考察信息的传播过程。如图3 所示的是信息经过一次传播，可以看出信息首先在A 层网络传播，经过一段时间后信息传播到B 层网络，而A 层网络的传播减少，但是一段时间之后，A 层网络又开始传播，这个过程使得A 层网络的传播规模增大。这个过程表明了感染率大的B层网络的存在是怎样促进A 层网络的再次传播。

图3 网络中被感染节点出现的时间

从图3 还可以看出，似乎B 层网络的感染率越大，对A 层网络传播的促进作用越大，因此，为了进一步验证我们的猜想，我们还给出了A 层网络中刚刚相信信息的活跃个体比例（I 态个体占A 层网络总个体的比例）和信息传播范围即疲惫个体比例ρRA（R 态个体占A 层网络总个体的比例）随时间的变化规律，作为对比还考察了当不存在B 层网络（可认为B 层网络的平均度为0）、信息仅在A 层网络中传播时ρI0和ρR0随时间的变化规律，如图4 所示，图中各点是经过10000 次平均得来。从图4（a）可以看出，当不存在B 层网络时，A 层网络中活跃个体的比例随时间是先增大后减小的，增大的幅度不是很大，但当B 层网络存在时，由于B层网络的回传作用，A 层网络中活跃个体的比例随时间明显增加：B 层网络中节点间的感染率越大，A 层网络中活跃个体的数量增加越多、增速和降速都越快。图4（b）清楚的表明随着B 层网络感染率的增加A 层网络的传播范围显著提高。这两幅图都表明B 层网络的感染率越大，对A 层网络的传播范围的促进作用越明显。

图4 A 层网络中的活跃态个体和传播范围随时间的变化规律

下文将详细考察B 层网络的感染率对A 层网络的传播范围的影响，我们设置在A、B 层网络的平均度相同时，将B 层网络的感染率βB从0.08 到1.0 之间取值，分别考察了三个典型的A 层网络感染率βA=0.16，0.18和0.20 下随机选择5 个传染源时A 层网络在传播稳定时的传播范围ρRA的变化规律。为了比较，我们还给出了只存在A 层网络时网络的传播范围ρR0。在A 层网络的感染率不同的情况下A 层网络的传播范围随着B 层网络的感染率的变化情况如图5 所示。

图5 在不同的感染率βA 下A 层网络中的传播范围随B 层网络的感染率βB 的变化规律

从图5 可以看出，无论A 层网络的感染率取何值，随着B 层网络感染率的增加，A 层网络的传播范围是单调递增的，表明B 层网络感染率越大越能促进A 层网络传播范围的增加。

为了深入考察在不同的A 层网络的感染率下所造成的B 层网络对A 层网络的影响程度，我们考察了存在和不存在B 层网络时A 层网络传播范围的差值ΔρR=ρRA－ρR0随A 层网络传染率的变化关系，如图6 所示。从图可以看出这个差值随着A 层网络传染率的单调增加，并不是单调变化的，而是先升高在βB≈0.18 附近取最大值然后再降低的。出现这个现象的原因是A 层网络的传播范围受到B 层网络影响的强弱，不仅与B 层网络传输过来的信息次数有关，也与A 层网络自身的传播状态有关，自身传播的范围如果已经比较大了，那么即使传过来的信息比较多作用同样也不明显。

图6 在不同的感染率βA 下A 层网络和仅有A 层网络时的传播范围的差值随B 层网络的感染率βB 的变化规律

3 同时考察平均度与感染率

我们已经知道，易传层B 的平均度和感染率对难传层A 都是有影响的，因此我们又考察了平均度与感染率的共同作用，我们通过调节B 层网络的平均度和感染率，给出了A 层网络传播范围的灰度图，如图7 所示。我们设置A 层网络的感染率为0.18，平均度为6，横坐标代表B 层网络的平均度，从5 到20 的变化，纵坐标代表B层网络的感染率，从0.16 到1.0 变化，灰度部分表示A 层网络的传播范围。显然B 层网络的平均度和感染率都对A 层网络的传播范围有影响，但两者的结合能够更容易地提高A 层网络的传播范围。比如想令A 层网络的传播范围达到0.28，如果βA=βB=0.16，那么B 层网络的平均度要增大到非常大的值才可能（本图未能显示）；如果kB=kA=6，那么B 层网络的感染率要达到0.42，如图中左侧的蓝色正方形所示；而如果将B 层网络的平均度与传染率相结合就比较容易达到，比如图中右侧蓝色正方形所标志的当B 层网络的平均度取12，感染率取0.30时，就能将A 层网络的传播范围增长到0.28 了。因此，我们说B 层网络的平均度和感染率相结合更容易提升A 层网络的传播范围。

图7 在不同的感染率βB 和不同的平均度kB 下A 层网络的传播范围的变化规律

4 利用B 层网络的平均度来提高A 层网络的传播范围

下面的研究工作表明，B 层网络的存在会促进信息在难传的A 层网络中的传播，因此，在这里我们试图利用B 层网络的这一作用来提高信息在A 层网络中的传播范围。很容易知道，要想利用B 层网络就需要将信息尽快地传播到B 层网络，如果我们仅能控制A 层网络，那么最有效的办法就是以A 层网络中的桥梁节点为传播源，使得信息以最快的速度传播到B 层网络，为了证明这一设想的有效性，我们对比考察了在A 层网络中随机选择非桥梁节点为传播源和选择A 层网络中的桥梁节点为传播源对A 层网络传播范围的影响，数值模拟的结果如图8 所示。图中给出了传染率分别为0.16、0.18 和0.20 时两种情况下A 层网络的传播范围随B层网络的平均度的变化规律，从图8 可以看出，当B 层网络开始起作用后与在A 层网络中随机选非桥梁节点为传播源相比，以桥梁节点为传播源能够明显的提升A 层网络的传播范围，并且B 层网络的平均度越大效果越明显。利用该方法能够更有效地提高A 层网络的传播范围。

图8 在A 层网络中，随机选择桥梁节点(target)和随机选择非桥梁节点(random)为传播源时A 层网络的传播规模随B 层网络平均度的变化情况

5 结语

本文我们考察了在双层网络中，其它层网络的存在（B 层）对难传层网络（A 层）传播范围的影响，研究结果表明B 层网络的存在会有效的促进A 层网络提高传播范围，并且B 层网络的平均度越大效果越明显。此外，我们还发现，感染率的增加并不会一直促使A 层网络的传播范围单调增加，过大的感染率会降低B 层网络的作用，即使B 层网络回传给A 层网络的信息次数明显增多，这是因为感染率的增加会促进A 层网络自身的传播范围，使得从B 层网络回传的信息没有更大的传播空间。此外，我们还利用B 层网络的作用设计了提高A 层网络传播范围的方法，即令传播源为A 层网络的桥梁节点，数值模拟结果表明该方法能有效地增加A层网络的传播范围。

我们的工作表明网络中多层结构的存在会促进信息在网络中的传播，并且对信息相对难传网络的传播范围的促进作用更为明显。本文我们考察的是平均度大的网络层对信息的促进作用，实际上一些其他的网络结构特征或个体特性也会促进信息的传播，比如想在一个人群中推广某类信息或某种行为，但该人群并不感兴趣，那么就可以利用多层网络结构的特点首先在另一个对此信息或行为感兴趣的人群中先行推广，然后利用社会加强作用使得信息或行为推广到不感兴趣的人群中。我们的工作考察了双层结构对信息传播的促进作用的根本原因，并提出了有效的提高难传网络传播范围的方法，相信我们的工作对于人们更好的理解多层网络的结构对信息传播的影响并利用这一影响提供了有价值的理论基础。