探究与应用·过程与综合·整合与素养

薛三虎　薛红霞

摘  要：综合与实践是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动. 通过梳理2022年全国各地区中考试题中涉及或者类似于考查“综合与实践”内容的代表性试题，分析此类试题的特点，并赏析优秀试题，给出复习建议和典型模拟题．

关键词：综合与实践；中考试题；试题特点；试题赏析；复习建议

2001年至今，“综合与实践”领域一直是初中数学教学的主要内容，全国各地区中考命题者都在积极探索、创新，力求从问题情境、设问方式、考查内容等方面体现出此类试题的综合性和实践性等特点，以考查学生的必备知识、关键能力和学科素养. 本文将从全国各地区中考试卷中选择部分试题进行解题分析.

一、试题特点分析

1. 设置多样化现实生活情境，突出试题的现实性

例1 （山西卷）首届全民阅读大会（如图1）于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·奋进新征程”. 某校“综合与实践”小组为了解全校3 600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如表1所示的调查报告（不完整）.

试根据以上调查报告，解答下列问题：

（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；

（2）估计该校3 600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；

（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，试结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息.

目标解析：此题涉及条形统计图和扇形统计图等知识，考查学生从统计图中获取信息的能力、应用意识和数据观念.

解法分析：（1）从问卷第一项调查结果绘制的两个统计图中，获得所调查的学生中选择选项A，B，C，D的人数和各自占调查人数百分比等信息，由此求出本次抽样调查的学生人数为300人.（2）由问卷第二项调查结果绘出的统计图，计算出“从图书馆借阅”人数. 由选择选项A人数占调查人数的百分比，估计全校学生平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数.（3）结合调查报告所呈现的数据，可以从不同角度得到不同的结论，或者说得到不同的统计推断. 一般地，在统计与概率中，凡是基于数据做出的统计推断只有合理与不合理之分.

解：（1）由表1中的数据，可得在被调查的学生中选择选项D的人数为33，占比为11%.

[33÷11%=300]（人）[，300×62%=186]（人）.

答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；

（2）由表1中的数据，可得在被调查的学生中平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的占32%.

[3 600×32%=1 152]（人）.

答：估計该校3 600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1 152人；

（3）答案不唯一. 给出参考答案如下.

第一项：① 平均每周阅读课外书的时间在“4 ～ 6小时”的人数最多；② 平均每周阅读课外书的时间在“0 ～ 4小时”的人数最少；③ 平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占抽样调查总人数的32%；

第二项：① 阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；② 阅读的课外书的主要来源中选择“向他人借阅”的人数最少.

试题分析：在关于“阅读新时代·奋进新征程”的一次综合与实践活动中，学生依据调查目的设计调查问卷，基于调查的结果，经历了数据收集、整理与描述、统计推断等完整的统计活动过程，考查了统计的本质——数据观念. 试题情境是一个项目式学习活动，学生在解决问题的过程中，加深了对相关统计图、统计思想方法和统计意义的理解，这种完整呈现统计全过程的情境，在各版本教材中都经常采用，有利于引导教学重视学科实践.

类题赏析：对于统计量与统计图的理解，不能停留在对已知数据的统计计算，要重视统计思想方法的应用，重视引导学生经历统计活动的全过程. 2022年全国各地区中考试卷中的类似试题还有吉林卷第22题，河南卷第17题和浙江舟山卷第22题等.

2. 设置多样化现实生活情境，突出试题的综合性

例2 （湖北·武汉卷）如图2，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处．

小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm / s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得表2．

小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．

（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为64 cm时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以2 cm / s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？试说明理由．

目标解析：此题是将物理问题（同向运动的两个小球）抽象成为数学问题，研究小球运动过程中的运动时间、速度、距离之间的变量关系和规律，考查函数知识和图象的性质，以及用待定系数法确定函数解析式的基本技能，考查学生的抽象能力、模型观念和应用意识.

解法分析：基于小聪的实验数据和探究发现，解决第（1）小题用求函数表达式的一般方法——待定系数法，选取运动速度v与运动时间t的两组对应值，得到v与t之间的函数解析式为[v=-12t+10；] 在确定运动距离y与运动时间t之间的函数解析式时，根据[t=0]时[y=0，] 判断二次函数的图象经过原点，可设y = at2 + bt，从而得到函数解析式为[y=-14t2+10t．]

由第（1）小题的结果，运用解方程的相关技能即可解决第（2）小题.

将第（3）小题中“黑球在运动过程中会不会碰到白球”的问题，转化成黑白两球的距离是否可能为0的数学问题，也就是判断函数[w=70+2t-y=14t2-8t+70]的图象与x轴是否有交点，结论是“黑球不会碰到白球”.

试题分析：此题是一个运动过程比较简单的物理问题，具有跨学科的特点. 虽然在解决问题的过程中并没有涉及相关的物理知识，但在一定程度了体现了数学应用的广泛性. 事实上，从表2提供的运动速度v与运动时间t的对应值，可以初步判断运动速度v与运动时间t之间具有一次函数关系，所以未必需要用“小聪探究发现，黑球的运动速度v與运动时间t之间成一次函数关系”的方式给出，而省去让学生将实际问题数学化的思维过程. 当然“运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系”不太容易被发现，可能是为了降低问题难度而采用“小聪探究发现”的方式呈现. 在确定运动距离y与运动时间t之间的解析式时，学生如果没有发现该函数图象经过原点这一特征，列出三元一次方程组，可能会增加解决问题的复杂程度.

类题赏析：根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）对综合与实践内容的学业要求，本部分试题的设置突出跨学科的特点. 因此，在2022年还有部分地区的相关中考试题也在积极尝试命制简单的跨学科问题情境，关注数学与其他学科，以及与日常生活实际的紧密联系. 例如，湖北恩施州卷第10题、山东临沂卷第20题、浙江舟山卷第15题、江西卷第6题、浙江绍兴卷第20题、贵州遵义卷第15题等.

3. 拓展延伸教材例题和习题，突出试题的过程性

例3 （江西卷）综合与实践

问题提出：

某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P = 90°，∠F = 60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

操作发现：

（1）如图3（a），若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为      ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为      ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积[S1]与S的关系为      .

类比探究：

（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.

① 如图3（b），当BM = CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；

② 如图3（c），当CM = CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）.

拓展应用：

（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设[∠GOH=α]），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为[S2，] 试直接写出[S2]的最小值与最大值（分别用含[α]的式子表示）.（参考数据：[sin15°=6-24，cos15°=6+24，tan15°=][2-3.]）

目标解析：此题主要涉及正方形、直角三角形、全等三角形、图形的变化等基础知识. 学生对正方形和直角三角形这两个图形应该非常熟悉. 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，具有特殊的对称性. 此题基于图形的运动变化，考查学生的逻辑推理（利用合情推理发现结论，利用演绎推理证明结论）、直观想象素养，以及发现和提出数学问题的能力.

解法分析：（1）当OF与OB重合时，OE恰好经过点C，重叠部分的面积为正方形的面积的[14，] 即1；当OF与BC垂直时，OE与DC垂直，重叠部分的面积为正方形面积的[14，] 即1. 由此猜想S1 =[14S.] 利用全等三角形可以证明.

（2）① 从图形的直观性或对称性猜想△OMN是等边三角形，可先证△OMN是等腰三角形，再由∠MON = 60°说明它是等边三角形；② 容易发现图3（c）与图3（a）的不同点，即图3（a）是三角板PEF的直角顶点绕正方形的中心旋转，图3（c）是三角板PEF中60°角的顶点绕正方形的中心旋转，因此四边形OMCN的面积不可能是正方形面积的[14，] 需要将图形进行分割再计算它的面积.

（3）观察图3（b）和图3（c）发现，在锐角∠GOH绕点O逆时针旋转的过程中，图3（b）中重叠部分的面积小于图3（c）中重叠部分的面积（面积分别为[33]和[3-1]），获得猜想并画出图形. 当BM = CN时重叠部分的面积最小，当CM = CN时重叠部分的面积最大，并分别计算其值.

解：（1）1，1，[S1=14S.]

（2）① △OMN是等边三角形，理由如下.

如图4，分别连接OB，OC.

因为[BM=CN，∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，]

所以△OBM ≌ △OCN.

所以OM = ON.

由∠MON = 60°，知△OMN是等边三角形.

② 如图5，连接OC，

因为MC = CN，∠OCM = ∠OCN = 45°，OC = OC，

所以△OMC ≌ △ONC.

由四边形内角和为360°，通过计算，可得

∠OMB = ∠OND = 75°.

过点O作OQ⊥BC于点Q，作OR⊥CD于点R，

则[S△OQM=12OQ · MQ＝2-32，S△ORN＝2-32.]

所以S四边形OMCN = S正方形OQCR - S△OQM - S△ORN = [1-2-32-][2-32=3-1.]

（3）S2的最小值为[tan α2，] 最大值为[1-tan45°-α2.]

试题分析：此题源自北师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第一章习题1.8第4题，将教材中旋转的图形由正方形拓展为直角三角形，设置了层层递进的问题串，引导学生对问题进行深入探究. 这提醒学生在学习过程中要重视对教材内容的深度思考，基于习题尝试提出发展性问题，不能只是完成作业，而是要“做作业”. 此题采用“问题提出—操作发现—类比探究—拓展应用”的呈现方式，让学生经历了发现和提出问题、分析和解决问题的过程，即“像数学家一样思考”的过程.

类题赏析：在实践中学习，在学习中实践，这体现了《标准》的要求. 2022年还有部分地区的中考试题选用了教材习题（问题）为命题素材. 例如，四川乐山卷第25题以华东师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册第121页习题19.3第2题及参考答案为试题素材；河南卷第23题对人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第18章“数学活动”的活动1“折纸做60°，30°，15°的角”进行了延伸性探究和拓展应用.

二、优秀试题分析

以往中考在考查综合与实践领域的内容时，大多是将它融入数与代数、图形与几何、统计与概率内容的考查之中，很少单独设置试题进行考查，试题的问题情境、设问方式等相对单调和简单. 随着课程改革的深入推进，《标准》中对本领域内容的教学和学业质量有了更加明确而具体的要求，中考正在逐渐加强对综合与实践领域内容的考查，以此引导教师在数学教学中重视发展学生的数学核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.

例4 （江苏·常州卷）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点. 若△OAB ≌ △OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”.

（1）正方形       “等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图6，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”. 已知[CD=42，OA=5，][BC=12，] 连接AC，求AC的长；

（3）在四边形EFGH中，EH∥FG. 若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求[OFOG]的值.

解析：此题定义了四边形的“等形点”，这个概念有两个本质特征：一是它在四边形ABCD的边BC上；二是满足△OAB ≌ △OCD. 我们在学习三角形全等时有个不成文的约定，如果给出△OAB ≌ △OCD，就确定了这两个三角形边角之间的对应关系，也就是说这两个三角形顶点的顺序是确定的. 只有对这个概念有深刻的理解，才能解决接下来的问题. 此题设置的三个问题（任务）都是围绕这个新概念提出的，这三个问题层层深入，思维难度不断提高，有效考查了学生的逻辑推理，以及进一步学习数学的能力和知识的近迁移能力.

第（1）小题中，画正方形ABCD，经过反复尝试发现，无论点O在边BC上的任何位置，连接OA，OD后，△OAB和△OCD都不全等，所以在正方形中不存在“等形点”，这是经过动手操作后合情推理获得的结论.

第（2）小题中，过点A作AM⊥BC于点M，将AC置于Rt△AMC中，根据已知条件分别求出AM和MC的长，依据勾股定理就能求出AC的长.

第（3）小题中，需要学生自己画出满足条件EH∥FG的一个四边形EFGH，由“等形点”的定义可证得[OF=OG，] 即[OFOG=1.]

例5 （内蒙古·赤峰卷）同学们还记得吗？图7（a）、图7（b）是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形. 受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，试回答：

（1）【问题一】如图7（a），正方形[ABCD]的对角线相交于点[O，] 点[O]又是正方形[A1B1C1O]的一个顶点，[OA1]交[AB]于点[E，OC1]交[BC]于点[F，] 则[AE]与[BF]的数量关系为         ；

（2）【问题二】受图7（a）启发，兴趣小组画出了图8：直线[m，n]经过正方形[ABCD]的对称中心[O，]直线[m]分别与[AD，BC]交于点[E，F，] 直线[n]分别与[AB，CD]交于点[G，H，] 且[m⊥n]. 若正方形[ABCD]边长为8，求四邊形[OEAG]的面积；

（3）【问题三】受图7（b）启发，兴趣小组画出了图9：正方形[CEFG]的顶点[G]在正方形[ABCD]的边[CD]上，顶点[E]在[BC]的延长线上，且[BC=6，CE=2.] 在直线[BE]上是否存在点[P，] 使[△APF]为直角三角形？若存在，求出[BP]的长度；若不存在，说明理由.

解析：对于问题一，可以直观猜想（合情推理），也可以通过证明△OAE ≌ △OBF，得出结论AE = BF. 但是通过合情推理获得的结论不一定可靠. 因此，一般来说，在数学研究中经常采用的方法是合情推理获得数学猜想，演绎推理证明猜想. 事实上，证明出AE = BF对于问题二的解决积累了思维经验. 问题三的分析与解答同样采用猜想加证明的策略，设BP＝x，将△APF的三边分别用含x的代数式表示，建立并求解关于x的方程后解决问题.

图8和图7（a）看似没有关系，但若分别延长图7（a）中的A1O，C1O，那么图8、图9几乎就是图7（b），没有改变所研究问题的几何特征.

此题是在学生完成教材中的“实验与探究”内容后对问题的进一步思考与反思，有独立思考、有合作交流，用三个问题展示了这次学习的成果，让学生经历了项目化学习的大致过程. 因此，在中考复习期间也不应该丢弃教材，要注重基础、重视教材，对教材中的例题和习题进行深入思考也是从数学角度发现问题并提出问题的一种途径.

三、复习备考建议

复习是对已有知识的再学习，对已学知识进行整合与重组的过程，目的是达到知识结构化、能力化和系统化，加强知识的整体性和知识之间的联系，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力. 解决综合性、实践性问题，能够帮助我们深刻理解数学概念、定理和思想方法.

1. 注重解决现实问题

在解决问题的过程中，发展学生用数学的眼光观察现实世界的素养，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程，体会数学与其他学科的联系，体验数学知识之间的内在联系，提高对数学整体性的认识，在此过程中感受数学应用的广泛性，提高实践能力和创新意识.

2. 重视教材问题再学习

各版本教材中提供了许多综合与实践的学习内容，复习时要对其进行系统梳理，让学生再次经历综合与实践活动的全过程，同时对教材中的习题或者已经解决了的习题进行反思性研究，尝试自主发现和提出有价值的数学问题，或独立思考，或与同学合作解决.

3. 注重解题后的反思

通过解决操作类、探究型综合问题，体会观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究过程，积累研究问题的经验和方法，发展思维能力，加深对相关数学知识的理解.

4. 注重学科实践，开展项目学习活动

《标准》指出，初中阶段综合与实践领域，可以采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法……在学段目标、教学提示、教学建议等中有30多处与项目式学习相关的论述. 由此可见，项目式学习将是新时代义务教育数学教学的一种重要方式，它将通过改变教学方式，达成数学学科的育人功能，发展学生的数学核心素养.

四、典型模拟题

1. 某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元 / 千克. 饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元 / 千克，购买饲料每次的运费为180元.

任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；

小明的分析如下：如果2天购买一次，则饲料保管费与其他费用需支付200 × 0.05 = 10（元）；如果3天购买一次，则饲料保管费与其他费用需支付200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 30（元）；如果4天购买一次，则饲料保管费与其他费用需支付200 × 3 × 0.05 + 200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 60（元）. 他發现这不是一个好方法，而自己熟悉的数学模型不能解决这个问题，于是想到了用函数图象的方法. 设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元. 下面是他解决这个问题的过程，试解答：

（1）通过计算得到x与y的部分对应值如表3所示，试补全表格；

（2）在如图10所示的在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点；

（3）结合图象：养殖场    天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2 000千克时，价格可享受九折优惠. 在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，说明理由.

答案：任务1：（1）如表4所示.

（2）如图11所示.

（3）6.

任务2：答案不唯一，只要分析说明合理即可.

2. 问题情境：数学小组在一次课外学习的交流展示时，组内一同学提出如下问题：在△ABC中，∠ACB = 90°，D为边BC上一点，但不与点B，C重合，过点D作DE⊥AB于点E. 连接AD，设M为AD的中点，连接EM，CM.

（1）直观猜想：图12（a）中，EM与CM之间的数量关系是             ；

（2）交流分享：如图12（b），小明将△BDE绕点B顺时针旋转，而其他条件保持不变，则上述猜想仍然成立. 他是这样思考的：延长DE到点D′，使得D′E = DE，连接AD′，根据三角形中位线定理，…… 试按照他的思路或采用其他方法完成证明；

（3）深入探究：另一名学生想到，若∠ABC = 30°，AC = 4，DE = 2，在△BDE绕点B顺时针旋转一周的过程中，当直线DE经过点A时，能求出线段AD的长. AD的长等于         .

答案：（1）EM = CM；

（2）略；

（3）[213-2]或[213+2.]

3. 善于发现和提出问题的同学们，阅读了教材中“一元二次方程的发展小记”后组织了一次交流分享活动. 他们发现用图解法可以求某些特殊的一元二次方程的正实数根. 小明同学展示了他用图解法求解一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一个正根的过程：

如图13（a）是一张边长为1的正方形纸片ABCD，通过折叠确定BC的中点E，折出线段AE，再次折叠使EB落在线段EA上，得到点B的新位置B′，因而EB′ = EB. 类似地，在AB上折出点B″，使AB″ = AB′. 他的结论是：线段AB″的长度可以用来表示一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一个正根. 试运用所学解答下问题.

（1）证明小明同学解法的正确性；

（2）说出用图解法求一元二次方程根时中存在的问题           （写出一个合理即可）；

（3）受小明同学的启发，小李同学经过自主探究给出了另一种解法. 如图13（b），他将一张边长为1的正方形的纸片ABCD，通过折叠确定了AD，BC的中点G，H，折出线段AN，再沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，因而AD = AP. 他的结论是：x2 + x - 1 = 0的一个正根等于线段       的长.

答案：（1）略.

（2）答案不唯一. 示例1：只能求解正根，不能求解负根；示例2：这种方法比较复杂.

（3）DN.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［4］贾凤梅，薛红霞，常青. 开展数学项目学习，身临其境理解销售问题［J］. 中国数学教育（初中版），2018（11）：3-6.

［5］薛红霞，贾凤梅. 数学项目学习：测量高度［J］. 基础教育课程（下），2020（4）：47-54.

作者简介：薛三虎（1964— ），男，中小学高级教师，主要从事初中数学教学研究；

薛红霞（1970— ），女，中学高级教师，山西省特级教师，主要从事中学数学教育和课堂教学改革研究.