着力考查关键能力 充分发挥导向作用

周远方　陈朝建　胡红芳

编者按：《中国数学教育》“中考专刊”深耕中考研究十六载，坚持围绕当年的中考数学试题策划中考专题. 2022年，本刊编委会成员群策群力，调整2023年“中考专刊”策划方案，以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为依据，参照数学课程学业质量标准的要求，突出核心素养导向的评价观. 邀请来自全国20个省、市的权威专家分“命题分析”和“解题分析”两个专版，按“整体评价”和“专题评价”两个层次，通过三个维度展开分析，帮助教师理解中考的命题理念和考查要求，促进学生理解中考试题的考查要点和解题方向. 本专题将持续刊登，欢迎广大教师继续关注！（文章中所用中考试题如有出入，以官方发布为准.）

摘  要：通过梳理2022年全国各地区中考数学试题，从必备知识、关键能力、学科素养和核心价值的角度，对试题的基础性、综合性、应用性和创新性特点进行整体分析，并以典型试题和优秀试题为例，按目标解析、解法分析、试题评析和类题赏析的要求，诠释中考试题考查功能、甄别功能、育人功能和引领功能的导向作用，同时提出有针对性和可操作性的中考复习备考建议.

关键词：中考数学；试题特点；整体分析；解题分析；复习建议

2022年中考数学试题的命制落实了《教育部办公厅关于做好2022年中考命题工作的通知》的总体要求，贯彻了新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）关于命题的规定要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了中考数学“两考合一、一考多用”的评价功能和全面育人的导向作用. 试题体现了以下特点：第一，突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；第二，倡导理论联系实际、学以致用，体现数学的应用价值；第三，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现了时代特征和制度优势；第四，稳中求变、稳中求新，科学把握必备知识与关键能力的关系，准确把握了数学题型的开放性与数学思维的开放性，全面体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.

一、试题特点分析

2022年全国各地区中考数学试题呈现注重基础性、突出综合性、关注应用性、引导创新性的共同特点，试题着眼于全方位考查学生数学关键能力和核心素养的发展水平. 与往年相比，2022年中考数学试题既有传承又有创新，师其意而不泥其跡.

1. 注重基础，充分发挥必备知识的考查功能

中考数学试题是对学生义务教育阶段数学学习的学业质量水平的整体检测，涵盖的知识面广，每年推陈出新、形式多样，然而对数学“四基”的考查是始终不变的，基础性仍是2022年中考试题的显著特点之一. 与往年相比，2022年中考的许多基础性试题更加注重在相互关联中考查通性通法，以评价学生必备知识的系统性和认知体系的完整性.

例1 （云南卷）临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况. 在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如图1所示的统计图.

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子.

根据以上信息，解答下列问题.

（1）补全条形统计图；

（2）若该小区有1 820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？

目标解析：该题主要考查扇形统计图、条形统计图等统计基础知识，考查用样本估计总体的思想、数据观念和应用意识.

解法分析：第（1）小题需要利用扇形统计图与条形统计图的对应关系，先根据喜爱鲜花粽的人数及其所占的百分比得到调查的总人数，进而计算喜爱火腿粽的人数，再补全条形统计图；第（2）小题用样本估计总体，由1 820乘30%即可估计喜爱火腿粽的人数.

解：（1）这次随机调查中被调查到的人数是70 ÷ 35% = 200（人），喜爱火腿粽的人数为200 - 70 - 40 - 30 = 60（人），补全的条形统计图如图2所示.

（2）估计喜爱火腿粽的有1 820 × 30% = 546（人）.

答：估计喜爱火腿粽的有546人.

试题评析：该题以统计图为载体，意在评价学生的数据观念，试题考查的内容虽然基础但是形式不失鲜活，在学生熟知的生活背景中展开数学问题，引导学生在情境中解决问题，感悟数据蕴含的信息，进而从数据中发现规律，养成用数据说话的习惯，发展了应用意识，凸显了对中考数学试题基础性的考查特点.

类题赏析：统计图表既是统计与概率的必备知识，又是每年中考考查的重点内容. 通过统计图表考查学生的数据观念，有助于学生形成对数据的感悟，有助于学生对数据的归纳整理、分析判断并发现其中隐藏的规律，有助于学生通过比较更好地理解不同统计量与统计图表的意义及适用场合. 类似的试题还有2022年黑龙江哈尔滨卷第23题、2022年湖北荆州卷第19题、2021年山东临沂卷第17题、2021年湖南株洲卷第23题、2020年江苏泰州卷第20题和2020年浙江湖州卷第20题等. 这类试题都是让学生通过统计图表发现数据规律，利用样本数据的统计特征来描述和推断总体的统计特征，在一定程度上反映了运用数学工具解决统计问题的考查特点.

2. 突出综合，充分发挥关键能力的甄别功能

基于中考“兼顾毕业和升学”的功能定位，综合性自然成为中考试题的重要特征之一. 这种综合性既体现在考查内容纵横联系的综合上，也体现在考查对象动静结合和变与不变的综合上，更体现在多种解法的综合运用上. 2022年中考数学试题既有四个领域内部的深度综合，也有不同领域之间的跨界综合，通常作为压轴题，对学生的关键能力具有较强的甄别功能.

例2 （福建卷）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线[y=ax2+bx]经过A（4，0），B（1，4）两点. P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图3，OP交AB于点C，[PD∥BO]交AB于点D. 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为[S1]，[S2]，[S3]. 判断[S1S2+S2S3]是否存在最大值. 若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

目标解析：该题主要考查二次函数的图象与性质、待定系数法、面积计算、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查学生的运算能力、推理能力、几何直观等核心素养的发展水平.

解法分析：第（1）小题直接运用待定系数法求解析式即可；第（2）小题先用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过三角形面积的转换和解方程，即可求得m的值；第（3）小题利用相似三角形的性质，将[S1S2+S2S3]表示成关于m的二次函数，由二次函数的性质即可求得最大值.

试题评析：该题综合性较强，涉及多个数学知识点、方法及原理的运用. 特别是第（3）小题中将面积比转化为线段的比是解题的关键，有较强的区分度. 函数与几何知识的综合加大了对关键能力的考查力度，要求学生能在具体问题中结合数量关系与空间形式，串联相关数学概念、性质、法则和方法，并能用数学语言表达思维过程，综合考查数学核心素养的发展水平.

类题赏析：函数是研究运动变化的重要数学模型，是培养和考查学生数学核心素养的重要载体，是中考压轴题的命题热点，在初中数学中具有核心地位. 近几年的中考二次函数压轴题大多数是以“抛物线的帽子 + 几何的内核”的形式呈现，即以抛物线为背景，将抛物线与三角形、四边形、圆等图形结合起来考查有关图形面积最值问题和学生的综合应用能力. 类似的试题还有2022年江苏苏州卷第26题、2021年湖北荆门卷第24题、2021年湖南常德卷第25题、2021年江苏盐城卷第27题和2021年重庆A卷第25题等. 解决此类问题的关键是先找到已知与未知的关系，表示出图形的面积或周长，再利用函数相关知识加以解决.

3. 关注应用，充分发挥核心素养的育人功能

《标准》要求学生在解决数学问题的过程中，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的应用价值. 因此，2022年中考数学重视运用数学必备知识、思想方法及数学模型解决实际问题，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，增强学生的社会责任感，引导学生学以致用，提升数学核心素养.

例3 （天津卷）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓[1.2 km]，超市离学生公寓[2 km]. 小琪从学生公寓出发，匀速步行了[12min]到阅览室；在阅览室停留[70min]后，匀速步行了[10min]到超市；在超市停留[20min]后，匀速骑行了[8min]返回学生公寓. 图6给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离[y km]与离开学生公寓的时间[xmin]之间的对应关系.

根据相关信息，解答下列问题.

（1）填表1.

（2）填空.

① 阅览室到超市的距离为___________；

② 小琪从超市返回学生公寓的速度为_________；

③ 当小琪离学生公寓的距离为[1 km]时，他离开学生公寓的时间为___________.

（3）当[0≤x≤92]时，试直接写出y关于x的函数解析式.

目标解析：该题主要考查学生运用数学知识和方法解决简单实际问题的能力，考查学生的应用意识和数学建模能力.

解法分析：第（1）小题综合题意和函数图象，可以将表格补充完整；第（2）小题根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；第（3）小题根据第（2）小题中的结果和函数图象中的数据，可以求出当[0≤x≤92]时y关于x的函数解析式.

解：（1）由图6可知，小琪前12分钟的速度为1.2 ÷ 12 = 0.1（km / min）.

故当x = 8时，离学生公寓的距离为8 × 0.1 = 0.8（km）；

在[12≤x≤82]时，小琪离学生公寓的距离不变，都是1.2 km，

故当x = 50时，小琪离学生公寓的距离为1.2 km；

在[92≤x≤112]时，小琪离学生公寓的距离不变，都是2 km，

所以当x = 112时，小琪离学生公寓的距离为2 km.

故填写完整的表格如表2所示.

（2）① 阅览室到超市的距离为2 - 1.2 = 0.8（km）.

② 小琪从超市返回学生公寓速度为2 ÷ （120 -112） = 0.25（km / min）.

③ 分如下两种情形.

当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为[1 km]时，他离开学生公寓的时间为1 ÷ 0.1 = 10[min]；

当小琪返回并与学生公寓的距离为[1 km]时，他离开学生公寓的时间为112 + （2 - 1） ÷ ［2 ÷ （120 - 112）］ = 112 + 4 = 116（min）.

試题评析：该题依托学生熟悉的生活情境，以初中数学中隐含的高中“分段函数”的图象和性质为载体，考查学生运用数形结合、函数与方程的思想分析和解决问题的能力. 试题对学生读懂信息、明确题意的数学阅读理解能力提出了较高要求，体现了数学模型的应用价值和工具作用，有利于引导学生养成理论联系实际的习惯，发展模型观念和应用意识.

类题赏析：数形结合思想是研究函数的基本思想. 综观近几年全国各地中考函数试题，立足于对函数基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验等方面的考查，突出对学生数学观察、数学思考和数学表达能力的考查，渗透了对抽象能力、推理能力、运算能力和模型观念等数学核心素养的考查，彰显了数学的理性思维和数学的育人功能. 类似的试题还有2022年湖北十堰卷第23题、2022年四川成都卷第24题、2020年黑龙江牡丹江卷第25题、2020年江苏淮安卷第24题和2020年浙江宁波卷第22题等. 此类试题不仅体现了这种考查特点，而且致力于教材资源的开发，使教材发挥其应有的范本功能.

4. 适度创新，充分发挥核心价值的引领功能

中考的核心功能是立德树人、服务选择、引导教学，构建德智体美劳全面发展的教育体系是新时代教育和中考的重要任务. 2022年中考数学试题关注数学文化育人的价值，充分发挥中考数学在深化中学课程改革、全面提高教育质量的引导和促进作用，坚持适度开放创新，突出理性思维特点，考查数学关键能力.

培养学生的创新精神、创新意识和创新能力是初中数学新课程的重要任务. 开放性试题为学生提供了发挥的空间和选择的权利，这种选择包括选择适合自己特点的问题，选择解决问题的方向，选择恰当的解题方法，这是理性思维的高度体现，需要学生有较强的独立思考能力和批判性思维品质，对学生素养和能力的考查更深刻、更有效.

例4 （北京卷）在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[Ma，b，N.] 对于点[P]给出如下定义：将点[P]向右[a≥0]或向左[a<0]平移[a]个单位长度，再向上[b≥0]或向下[b<0]平移[b]个单位长度，得到点[P]，点[P]关于点[N]的对称点为[Q]，称点[Q]为点[P]的“对应点”.

（2）[⊙O]的半径为1，[M]是[⊙O]上一点，点[N]在线段[OM]上，且[ON=t  12

目标解析：该题主要考查点的平移、对称的性质，全等三角形的判定，两点间的距离，中位线的性质及线段的最值问题，考查学生的创新意识、动手实践能力、运算能力和推理能力.

解法分析：第（1）小题只需要根据题意在图中找出点[Q]的位置即可；解决第（2）小题的关键是结合图形的对称性质，得出[PQmax-PQmin]的线性关系.

解：（1）① 点Q的位置如图8所示. 因为点M的坐标为[M1，1]，所以点[P-2，0]向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到[P-1，1]. 依题意，可得[N2，2]. 因为点[P]关于点[N]的对称点为点[Q]，所以点[Q]的横坐标为[2×2--1=5]，纵坐标为[2×2-1=3]. 所以点Q的坐标为[Q5，3]. 在坐标系内找出该点即可.

因为[Ma，b]，点[P]向右[a≥0]或向左[a<0]平移[a]个单位长度，再向上[b≥0]或向下[b<0]平移[b]个单位长度，得到点[P]，

试题评析：该题以新定义为载体，综合性强，考查学生即学即用的能力. 试题分步设问、梯次递进. 第（2）小题中，画出点Q和点[P]的轨迹是破题的关键，有助于引导学生在解题过程中逐步克服困难，养成独立思考、反思质疑和勇于创新的学习习惯.

类题赏析：即学即用能力是指学生能够即刻运用新习得的数学知识或方法解决问题的一种迁移能力，其学习方法与“定义—表示—性质—应用”的研究路径一脉相承. 近几年部分中考试题新颖别致，关注利用创新思维解决问题的一般观念，解决问题的过程需要运用联系与变化的观点，厘清量与量之间的关系，发现对应关系及其规律，体现创新性的考查要求. 类似的试题还有2022年浙江宁波卷第14题、2021年湖北荆州卷第21题、2021年浙江衢州卷第23题和2021年重庆B卷第22题等. 此类试题采用新定义的方式，落实“双减”政策的要求，加强对思想内涵的考查，减弱繁难的推理论证，立足新颖性，注重适度的开放性和有效的探索性.

二、优秀试题剖析

优秀数学試题通常应该具备六个基本要素，即基本要求达标、考核目标明确、情境设计新颖、区分功能优良、育人价值突出和引导作用显著. 其中，结合学生认知水平和生活经验， 设计真实合理的生活情境、数学情境和科学情境，渗透数学文化，考查学生对数学概念、原理和思想方法的理解程度，有效展现学生的数学核心素养及继续学习的潜能，是优秀数学试题的一个显著标志.

在2022年全国各地区中考数学试题中，有很多情境化的优秀试题值得分析研究，深刻领悟其中蕴含的价值功能，可以为今后的数学复习备考提供参考.

1. 体现课程学习情境

为体现课程学习情境而选取的情境材料主要源于学生已有数学课程的学习经历、学习体验和学习收获，主要关注学生通过学习掌握的知识基础，包括数学概念、原理、运算和逻辑推理等问题情境. 与之相应的情境化试题主要在基础性和综合性的层次上考查学生对已有知识与方法的掌握和运用水平，为检验基础提供量尺.

例5 （重庆B卷）如图10，在平面直角坐标系中，抛物线[y=-34x2+bx+c]与x轴交于点[A4，0]，与y轴交于点[B0，3].

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线[AB]上方抛物线上一动点，过点P作[PQ⊥Ox]于点Q，交[AB]于点M，求[PM+65AM]的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点[P′]与点P关于抛物线[y=][-34x2+bx+c]的对称轴对称. 将抛物线[y=-34x2+bx+c]向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A. 点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A，[P′]，C，D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来.

目标解析：该题主要考查一次函数与二次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等基础知识，考查学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在数形结合中考查学生的几何直观和模型观念.

解法分析：第（1）小题中，将[A4，0]，[B0，3]代入抛物线[y=-34x2+bx+c]，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；第（2）小题中，先求出直线[AB]的解析式，将[PM+65AM]转化为[PM+2MQ]，再把[PM+][2MQ]用点[P]的横坐标表示出来，利用二次函数性质即可求解；第（3）小题先求出平移后新抛物线的解析式，再利用平行四边形的中心对称性分情况列出方程组求解即可.

试题评析：该题是代数与几何的综合题，源于教材又高于教材，以通性通法（待定系数法）为考查基点，以坐标系中“化斜为直”（将斜线段用竖直或水平的线段表示）、几何问题转化为代数问题为突破点，以利用二次函数的平移规律构造平行四边形为核心考点，将数形结合、数学建模、运算方法融入其中，难度与要求逐步提升，整体难度适中. 第（2）小题需要以相似三角形为基础进行线段之间的转化，既传承了往年试题的优点，也体现了该题设计的亮点；第（3）小题开放选择，需要动手作图、分析位置、分类找点，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力.

类题赏析：《标准》明确提出了“增加代数推理，增强几何直观”的主张，体现了通过几何建立直观、通过代数予以表达的现代数学的基本特征. 近几年部分中考试题明显加强了代数与几何融合的命题力度，突出了依标命题、教考衔接的命题特点. 类似的试题还有2022年广东卷第23题、2020年浙江湖州卷第24题、2020年广西玉林卷第26题、2020年贵州黔东南州卷第26题、2020年黑龙江大兴安岭卷第24题、2020年湖北黄冈卷第25题和2020年湖南郴州卷第26题等. 这些试题都是以函数为载体，考查平行四边形的存在性问题. 此类问题重在考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等关键能力，蕴含数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法，涵盖的知识面广，综合性强，突出考查学生思维的嚴谨性.

2. 体现综合实践情境

为体现综合实践情境而选取的情境材料主要源于与日常生活、生产实践及社会实际密切相关的问题背景，关注数学与其他学科和社会生活实际的关联，包括生活生产实际、科学研究等问题情境. 与之相应的情境化试题主要在应用性层次上考查学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，为拓展数学应用提供途径.

例6 （北京卷）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 建立如图11所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度[y]（单位：m）与水平距离[x]（单位：m）近似满足函数关系[y=ax-h2+k  a<0].

某运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离[x]与竖直高度[y]的几组数据如表3所示.

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系[y=ax-h2+k  a<0]；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系[y=-0.04x-92+23.24.]

记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为[d2]，则[d1]     [d2]（填“>”“=”或“<”）.

目标解析：该题主要考查二次函数图象和性质的应用，考查数形结合、函数与方程、分类与整合的思想方法，以及模型观念、数据观念和应用意识.

解法分析：第（1）小题中明确要求“直接写出”，提示学生避免应用计算量较大的待定系数法，聚焦表格中的数据特点进行分析，根据抛物线的对称性，结合表格中的数据找到顶点坐标，进而得出h，k的值及运动员竖直高度的最大值；再将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，从而得出函数解析式. 第（2）小题的难点在于两次的着陆点不在熟悉情境中的水平面上，需要引入参数[t]表示下落过程中运动员位置的纵坐标，分别求出两次下落过程中纵坐标为 t 时对应的横坐标，再结合抛物线的形态判断[d1]和[d2]的大小关系.

解：（1）根据表3中的数据可知，抛物线的顶点坐标为[8，23.20]，所以[h=8]，[k=23.20]，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.

试题评析：该题以北京冬奥会的滑雪大跳台为情境，紧扣函数的核心内容，突出数学的应用价值，强调理性思维和数学探索，要求学生能够将陌生的数学问题转换成熟悉的数学问题，并综合运用数学知识分析问题，进而解决问题. 试题第（1）小题的解法相对开放，学生既可以用待定系数法求二次函数解析式，也可以利用抛物线的对称性运用数形结合的思想方法解决问题，通过对解法优劣的选择区分不同层次的学生；第（2）小题打破常规（着陆点不在同一水平面上），解题时需要引进参数来刻画运动员的实时位置，对学生的关键能力提出了较高要求，考查了学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考实际问题，用数学的方法解决实际问题的能力.

类题赏析：二次函数是刻画现实世界中变化规律的重要模型. 近几年全国各地中考数学以二次函数为背景的试题形式丰富多样，有方案设计问题、行程问题、利润问题和跨学科问题等，考查学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题、建立函数模型、解决实际问题的能力，有助于学生形成模型观念，提升应用意识. 类似的试题还有2022年吉林长春卷第21题、2021年浙江台州卷第23题、2021年贵州贵阳卷第24题、2021年湖北随州卷第22题，2020年浙江衢州卷第22题和2020年黑龙江牡丹江卷第25题等. 这类基于真实生活情境的应用型试题，在“抽象模型—分析模型—求解模型—应用模型”的数学建模过程中，突出考查学生的阅读理解能力和自主探究能力，潜移默化地落实抽象能力、推理能力、运算能力和模型观念等核心素养. 此类试题大多数出现在客观题和主观题的压轴题位置上，是“知识与能力并重，思想与方法交融，应用与文化兼顾”的命题思想的完美呈现，充分体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查特点.

3. 体现探索创新情境

为体现探索创新情境而选取的情境材料，主要关注学科知识的深入探索与思想方法的创新，包括数学探究、数学创新、数学实验等问题情境. 与之相应的情境化试题主要在综合性和应用性的层次上考查学生对已有知识与方法的迁移和运用水平，也可以在创新性的层次上考查学生数学学习与研究的潜在能力，为甄选提供手段.

例7 （江苏·扬州卷）如图12，在[△ABC]中，[∠BAC=][90°，∠C=60°]，点[D]在[BC]边上由点[C]向点[B]运动（不与点[B，C]重合），过点[D]作[DE⊥AD]，交射线[AB]于点[E].

目标解析：该题主要考查直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、垂线段的性质等基础知识，考查学生的几何直观、空间观念、推理能力和运算能力.

解法分析：第（1）小題第①问，算出[△ABD]各内角的度数，发现其是等腰三角形，即可推出；第②问，算出[△ADE]各内角的度数，发现其是含30°角的直角三角形，即可推出. 第（2）小题第①问，通过相似三角形的性质和利用含30°角的直角三角形的三边关系，构造方程求解即可；第②问，利用相似三角形和完全平方公式构造不等关系，求出AE的取值范围即可.

试题评析：该题涉及特殊三角形的基本性质、基本相似形的构造、动点轨迹研究、动态问题的解法、动手操作等，问题由易到难，要求逐步提升，解题需要学生全方位调动几何学习经验. 试题注重对典型图形和重要方法的考查，图形简洁，思维量较大，充分体现了通过构造基本图形实现几何问题代数化的考查特点.

类题赏析：依托基本图形，将问题条件动态变化，探寻几何要素之间的关系，挖掘变化中的不变性，研究基本图形的基本性质，是“图形的变化”主题的重要内容，也是研究几何图形的重要方法之一. 在探寻图形的位置和数量关系的过程中，通过图形特殊化或一般化设计问题情境，并将几何直观与代数推理有机融合，既是命制这部分试题的常用方法，也是实现图形与几何内容育人价值的有效途径. 类似的试题还有2022年湖南衡阳卷第26题、2022年山西卷第22题、2021年浙江金华卷第15题、2021年湖北武汉卷第23题、2020年湖北咸宁卷第23题和2020年湖北随州卷第21题等. 这类试题立足于动态与静态结合、几何与代数交会、直观与推理融合，通过创新问题情境，给学生充分的思考空间，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流和反思等思维活动过程，感悟基本思想，积累基本活动经验，发展创新意识.

三、复习备考建议

结合2022年中考数学试题的“四能”导向，“重基础、重思维、重反思、重衔接”应成为今后中考数学复习备考的指导思想. 同时，在复习备考过程中应注意落实好如下四种做法.

1. 吃透教材内容，夯实学科基础

在“双减”政策背景下，中考数学试题落实依标命题，在范围和标高上以《标准》为准绳，在素材与体系上以教材为依托，多数试题取材于教材中的原材料，并通过类比、延伸或拓展等加工改造而成. 也就是说，教材中的例题和习题为编拟中考数学试题提供了丰富的素材. 因此，在复习备考中，一定要立足教材，回到基础之中，要树立整体数学观和教材观，加强知识间的纵横联系和运用，厘清知识脉络，建立初中数学的完整结构体系，真正做到融会贯通，进而突出重点、突破难点. 立足回归刷教材：一方面，可以对知识进行梳理，确保基本概念和公式等的牢固掌握；另一方面，可以从教材中寻找往年中考试题的“影子”. 对于典型的例题和习题，要举一反三、融会贯通，通过变条件、变结论、变图形、变式子和变表达方式等不同形式，达到夯实基础知识和掌握基本方法的目的，钻研教材有助于选“好题”、研“好题”、做“好题”，活用“一题多解，一题多变”，熟能生巧.

2. 突出思想方法，提升思维品质

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中. 中考数学试题特别重视对数学思想方法的考查，初中阶段常用的数学思想主要有数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想等；常用的基本方法主要有配方法、换元法、待定系数法、面积法和几何变换法等. 在中考数学复习中，教师应有意识、有目的、适时地注意数学思想方法的渗透，引导学生有效利用数学思想方法解决有关问题. 在知识复习环节，辨析概念法则，弄懂原理方法，掌握知识的形成过程，真正明晰数学知识的本质，做到“概念清、原理透”；在问题解决中，不断熟悉思想和方法，理顺思路和表达，逐步做到“方法熟、思想通”. 复习中，不要过多地纠缠于特殊技巧或特定题型，要把精力放在通性通法上. 同时，要注意应变能力的提升，避免思维定式，即在原理吃透的基础上尝试不同的方法，逐步丰富学生的解题经验，形成方法体系，确定适合的复习方法，使知识尽快系统化与结构化，以此提升学生的数学思维水平，以及分析问题与解决问题的能力.

3. 注重归纳反思，加强错题管理

注重归纳反思各专题内容的基本问题，是做好复习的前提. 复习时学会把同一内容的试题进行归纳分类，就会发现其中有些内容的考查方式经常出现，对围绕这些内容的常见考查形式加以重点关注，就能提高复习的有效性. 加强错题管理，分门别类、整理错题、分析错因、纠正错误、有效利用，是做好复习的关键. 错题通常分为三类：一是会做但做错的，原因可能是审题不清、误写和表述不规范等；二是来不及做出来的，原因包含题量过大或者解题效率较低；三是能力不够，确实不会做的. 针对不同错因采取有效措施，争取在考试中尽量做对，这正是复习的最终目的. 错题管理重在日积月累，落实到位，养成习惯.

4. 强化真题训练，重视教考衔接

《标准》对中考命题明确提出了具体要求，强调要根据学科特点合理设置试题结构，减少记忆性试题，增加探究性、开放性、综合性试题，杜绝偏题、怪题，有效考查学生的综合素养. 基于此，中考复习全过程都要注重中考试题训练，加深对命题要求的理解，提升复习的针对性和有效性. 中考数学试题既有创新性，又有连续性，每一道试题都经过命题者的千锤百炼，具有重要的指导意义、研究价值和备考功能. 研究中考试题有助于明确中考的命题方向，抓住中考的重点，找到解题方法和解题规律，避免盲目备考.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］胡向东. 高考《考试说明》题例扩展与精析（理科）［M］. 北京：高等教育出版社，2022.

［3］向立政，周远方，张云辉. 深度考查关键能力  充分发挥育人功能：2022年高考数学试题命题特点及复习教学建议［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：3-13.

作者简介：周远方（1962— ），男，正高级教师，湖北省特级教师，主要从事中学数学教材、教学和评价研究；

陈朝建（1970— ），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究；

胡红芳（1968— ），男，正高级教学，湖北省特级教师，主要从事中学数学教育教学研究.