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注重本质理解·强化应用意识·导向素养发展

2023-03-01孙锋杨明

中国数学教育(初中版) 2023年2期
关键词:应用意识函数

孙锋 杨明

摘  要:2022年全国各地区中考“函数”试题注重对基础知识、关键能力和核心素养的考查,进一步加深对函数本质的理解;以现实生活和热点话题设置函数应用情境,强化函数的应用意识;重视函数与其他知识的内在联系,将抽象的数量关系和直观的图象相结合,凸显数学学科的素养导向. 从目标解析、解法分析、试题分析和类题赏析四个方面对优秀试题进行解析,在此基础上对2023年中考“函数”专题的复习备考提出建议.

关键词:函数;解题分析;本质理解;应用意识;素养发展

从2022年全国各地区180余份中考数学试卷中对“函数”试题的考查来看,内容和分值分布与2021年基本保持一致,与教材内容所占比例基本相当. 2022年是《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准》)颁布后实施新的课程标准而使用旧教材的中考命题的第一年,“函数”试题承载的考查目标导向核心素养的发展,注重对“函数”这一核心概念的考查,强调学科内、外的关联,强化应用意识. 试题在基础性、综合性、应用性和创新性上都得到了较好的体现.

一、试题特点分析

1. 基于课程标准,注重对函数的概念和基本性质的考查

函数是刻画现实世界变量间关系的重要模型,对函数概念的深刻理解有助于用数学的眼光抽象出现实生活中的变量及变量之间的依赖关系. 在2022年全国各地区的中考“函数”试题中,对函数概念的理解和性质的考查是基础和核心. 此类问题的设计常以现实生活为背景,考查问题中变量之间的关系是否满足常见的三种函数模型(一次函数、反比例函数和二次函数). 对函数性质的常见考查方式:一是运用方程思想求出解析式,侧重于对学生运算能力的考查;二是对对称性、增减性和最值等性质的运用. 此类问题主要运用数形结合思想进行分析并解答,注重对学生几何直观和抽象能力的考查.

例1 (北京卷)下面的三个问题中都有两个变量:

① 汽车从[A]地匀速行驶到[B]地,汽车的剩余路程[y]与行驶时间[x];

② 将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量[y]与放水时间[x];

③ 用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积[y]与一边长[x].

其中,变量[y]与变量[x]之间的函数关系可以用如图1所示的图象表示的是(    ).

(A)①② (B)①③

(C)②③ (D)①②③

答案:A.

该题的背景源于教材,将现实生活中的数量关系抽象后与函数图象进行对比,需要学生深刻理解“函数”这一基本概念,把握两个变量关系“数”与“形”的一致性. 学生的常见错误:一是审题不仔细,容易将①中的路程随时间变化的关系判断为路程随时间的增大而增大;二是建模出错,容易将③判断为一次函数.在2022年全国各地的中考数学试卷中,广东卷第10题、青海卷第8题、河北卷第12题、湖南益阳卷第5题和辽宁大连卷第10题等都对函数的概念和性质进行了考查.

2. 综合运用,强调函数与学科内、外知识联系的综合考查

函数可以用数量关系来表达,也可以用图象直观表示,它具有“数”和“形”两个方面的性质. 因此常常将函数与其他知识结合进行综合考查. 2022年全国各地的中考“函数”试题大都涉及函数与学科内、外联系的综合考查. 其中,常见的考查方式:一是三种函数(一次函数、二次函数、反比例函数)之间的结合;二是基本几何图形(如三角形和四边形等)与函数图象的结合,或再添加运動变化的条件. 此类“函数”试题主要应用函数与对应方程和不等式的关系,以及图形全等或相似等知识,求解点的坐标、线段的长度和图形的面积等问题,体现了对学生推理能力和几何直观素养的考查.

例2 (上海卷)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y =[12]x2 + bx + c经过点[A-2,-1,B0,-3].

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)将这条抛物线平移,得到一条顶点为[Pm,n m>0]的新抛物线.

① 当S△OBP = 3时,如果这条抛物线在直线x = k的右侧部分是上升的,求k的取值范围;

② 点P在原抛物线上,新抛物线交y轴于点Q,如果∠BPQ = 120°,求点P的坐标.

答案:(1)y =[12]x2 - 3;

(2)① k ≥ 2;②[P23,3].

该题第(1)小题可以用待定系数法求出. 第(2)小题以抛物线平移到不同位置进行设问. 第①问是平移后抛物线的顶点P与已知点B,O所确定的三角形的面积为定值,从而求得点P的横坐标. 平移不改变抛物线的开口方向和大小,平移后新的抛物线和原来的抛物线的图象都呈上升趋势,可画出如图2所示的图象,求得k的取值范围,考查学生的几何直观素养. 第②问是将抛物线平移后得到∠BPQ = 120°,对这一条件的运用需要学生计算出P,Q两点的坐标,从而发现BP = PQ,再运用等腰三角形的“三线合一”得到一个含有60°角的直角三角形,从而解三角形求出点P的坐标. 此处考查学生的运算能力和推理能力. 在求解第②问时,学生求得P,Q两点的坐标后,不通过观察发现BP = PQ直接解△BPQ,所面临的计算会较为烦琐,也容易出错. 建议学生在处理此类问题时要多思少算、先思考再计算、边计算边思考,运用数形结合思想减少运算量.

综观2022年全国各地的中考数学试题,函数与几何综合题常作为压轴题出现,如河北卷第25题、河南卷第18题、安徽卷第23题、四川成都卷第25题和江苏镇江卷第27题等.

3. 应用意识,强化应用函数对学生解决实际问题能力的考查

《标准》指出,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义,并运用相关性质解决实际问题. 在2022年全国各地的中考数学试题中,应用函数模型解决现实生活中的问题都有所涉及. 与2021年及以前相比,2022年中考中的函数应用问题更加注重与现实生活的关联,试题背景更加丰富. 此类试题较好地考查了学生的数据观念、模型观念和应用意识.

例3 (浙江·温州卷)根据表1中的素材,探索完成任务.

答案:以拱顶为原点建立平面直角坐标系,可得抛物线的函数表达式为[y=-(1/20)x2],完成任务1;任务2,悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8,横坐标的取值范围为[-6≤x≤6];任务3,由抛物线的轴对称性,可以从顶点处开始悬挂灯笼,共挂7盏灯笼,最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8,也可以从对称轴两侧开始悬挂灯笼,共挂8盏灯笼,最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6.

此题改编自北师大版《义务教育教科书·数学》(以下统称“北师大版教材”)九年级下册第二章“二次函数”习题2.8的第4题,以解决真实的生活问题为背景,采用项目式问题解决的方式设计,需要学生将实际问题转化为数学问题,借助二次函数的相关知识进行分析和解答,重点考查学生的应用意识. 问题的解决需要根据实际情况建立平面直角坐标系,并且建立坐标系的方式不唯一,体现了坐标系的工具性作用. 解决此类问题的难点在于准确的数学化表达. 学生的常见错误:一是不能将题目中的数据准确转化为点的坐标,如任务2中确定灯笼悬挂点的纵坐标最小值时容易有遗漏;二是容易忽略分类讨论,如对任务3的思考不考虑多种方案. 在2022年全国各地的中考数学试题中,河南卷第21题、广东广州卷第20题、四川成都卷第24题、四川巴中卷第22题、甘肃兰州卷第24题和浙江衢州卷第23题等都是设计方案解决实际应用问题.

4. 关注“四能”,注重对学生创新意识的考查

创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现或提出有意义的数学问题. 现实生活中蕴含大量与函数相关的问题,有待我们去发现和解决. 在2022年全国各地的中考数学试卷中,注重以函数为载体考查学生的创新意识. 考查形式主要体现在:运用归纳和类比发现数学关系和规律,提出命题和猜想,并加以验证;探索开放性、非常规性的实际问题和数学问题.

例4 (江苏·盐城卷)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点[O]为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图6所示,他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上.

【分析问题】小明利用已学知识和经验,以圆心[O]为原点,过点[O]的横线所在直线为[x]轴,过点[O]且垂直于横线的直线为[y]轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图7所示.当所描的点在半径为5的同心圆上时,其坐标为       .

【解决问题】试帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】小明继续思考:设点[P0,m],[m]为正整数,以[OP]为直径画[⊙M],是否存在所描的点在[⊙M]上. 若存在,求[m]的值;若不存在,说明理由.

答案:当所描的点在半径为5的同心圆上时,其坐标为(-3,4)或(3,4);猜想成立,验证过程略;存在唯一满足要求的m,其值是4.

该题可以在教材中找到“影子”,如北师大版教材九年级下册第三章“圆”习题3.7的第2题,以学生动手操作发现并提出数学问题为话题,采用分析问题、解决问题、深度思考的方式设问,五个环节形成一个问题串引导学生思考,与“四能”相契合. 以相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,交点的分布刚好与某二次函数图象吻合,具有数学的美感. 问题设置从特殊到一般,为学生的探究指明了方向.“解决问题”环节的代数证明对学生来说有一定难度,学生容易将圆心当成二次函数的顶点,设二次函数的解析式为y = ax2,从而无法验证猜想正确;或者学生将(0,-1)当成二次函数的顶点坐标,而(0,-1)又不符合条件,从而无法验证猜想正确.“深度思考”环节实质上是判断以OP为直径的圆(直径为整数,圆心在y軸上)与二次函数[y=12x2-12]是否有交点,学生容易把该圆的圆心视为点O,无法列出等式. 建议学生根据题意画图分析,厘清数量关系列出等式求解m的值. 在2022年全国各地的中考“函数”试题中,河南卷第10题、山东潍坊卷第6题、湖北恩施州卷第10题、江西卷第6题、湖北宜昌卷第5题、青海卷第14题、湖南郴州卷第15题、山东枣庄卷第22题和山东临沂卷第20题等也都较好地体现了对学生创新意识的考查.

二、优秀试题剖析

1. 关注最值问题,重视函数与方程联系的考查

例5 (浙江·嘉兴卷)已知点[Aa,b],[B4,c]在直线[y=kx+3](k为常数,[k≠0])上,若[ab]的最大值为9,则[c]的值为(    ).

(A) [52]     (B)  2     (C) [32]     (D)  1

目标解析:该题考查的知识点主要有直线上的点的特征、二次函数的最值和配方法,主要考查运用配方法求最值,需要学生根据题目中的条件建立二次函数模型并求最值,发展学生的模型观念.

解法分析:由点[Aa,b]在直线[y=kx+3]上,得[ab=aak+3=ka2+3a](k为常数),从而得到ab与a的二次函数关系,通过配方法求最值. 因为[ab]的最大值为9,所以可以求出k的值.

解:因为点[Aa,b], [B4,c]在直线[y=kx+3]上,

所以[ak+3=b,①4k+3=c.   ②]

由①,得[ab=aak+3=ka+32k2-94k].

因为[ab]的最大值为9,

解得[k=-14],[c=2].

试题分析:该题采用间接设问的方式,以一次函数为背景对运用配方法求二次函数的最值进行了考查,需要学生认真分析已知条件,厘清变量之间的关系,寻找解决问题的突破口. 一次函数与反比例函数的增减性由系数可以确定,在自变量给定的取值范围内函数值存在最值;在自变量取值没有限定的情况下,当二次函数的自变量取顶点的横坐标时,二次函数有最值,用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是求函数最值的一种基本方法. 如果二次函数的自变量取值在给定的范围内,求函数的最值需要分类讨论:当二次函数的顶点的横坐标在自变量的取值范围内,最值在顶点处取得;当二次函数的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,需要结合函数的基本性质确定函数的最值. 在函数最值的考查中,能够建立相应的函数模型、画出函数图象、应用配方法和运用分类讨论思想是解决此类问题的关键.

类题赏析:综观2022年全国各地的中考数学试题,函数最值问题是重点也是热点. 例如,山东济宁卷第19题、浙江丽水卷第8题、山东枣庄卷第22题、广东广州卷第20题和湖北襄阳卷第14题等.

2. 关注变换问题,重视对学生空间观念的考查

例6 (四川·资阳卷)已知二次函数图象的顶点坐标为[A1,4],且与[x]轴交于点[B-1,0].

(1)求二次函数的表达式.

(2)如图8,将二次函数图象绕[x]轴的正半轴上一点[Pm,0]旋转[180°],此时点[A],[B]的对应点分别为点[C],[D].

① 连接[AB],[BC],[CD],[DA],当四边形[ABCD]为矩形时,求[m]的值;

② 在①的条件下,若点[M]是直线[x=m]上一点,原二次函数图象上是否存在一点[Q],使得以点[B],[C],[M],[Q]为顶点的四边形为平行四边形. 若存在,求出点[Q]的坐标;若不存在,说明理由.

目标解析:该题考查的知识点主要有用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、中心对称、平行四边形的性质和矩形的性质,考查学生综合运用函数与几何相关知识解决问题的能力,需要学生从图形的几何性质出发寻找等量关系,从数的角度对等量关系进行准确计算,从而发展学生的几何直观、运算能力和推理能力.

解法分析:二次函数图象绕着x轴上的一点旋转180°所得到的图象与原图象成中心对称,已知点A、点B和旋转中心[Pm,0]的坐标,则可以用m表示点A和点B的对应点(点C和点D)的坐标,有了坐标就可以用m表示线段的长. 由中心对称可知四边形ABCD为平行四边形,当旋转中心在不同的位置时平行四边形的形状会随之改变. 特别地,当四边形ABCD为矩形时,△ABD为直角三角形,利用勾股定理可以建立关于m的方程,也可以作垂线构造相似三角形,利用相似三角形的性质建立方程. 当m的值确定时,点C的坐标和点M的横坐标已知,以点[B],[C],[M],[Q]为顶点的四边形为平行四边形时求点Q的坐标. 顶点顺序不确定,所对应的平行四边形有多种情况,需要分类讨论. 平行四边形对边平行且相等,一条边可以视为由对边平移得到,利用平移性质可以表示对应点的坐标,即设点Q的纵坐标可以表示点M的坐标,点M又在二次函数的图象上,从而可以得到点Q纵坐标的方程. 当然,也可以利用平行四边形的对角线互相平分,建立方程求解.

解:(1)二次函数的表达式为[y=-x2+2x+3]. 具体求解过程略.

(2)① 因为点[P]在[x]轴的正半轴上,

所以[m>0].

所以[BP=m+1].

由旋转,得[BD=2BP].

所以[BD=2m+1].

如图9,过点[A1,4]作[AE]⊥[Ox]于点[E].

在[Rt△ABE]中,有[AB2=BE2+AE2=20].

当四边形[ABCD]为矩形时,[∠BAD=∠BEA=90°].

所以[△BAE]∽[△BDA].

所以[AB2=BE · BD],即[4m+1=20].

解得[m=4].

② 由题意,得点[A1,4]与点[C]关于点[P4,0]成中心对称,则点[C]的坐标为[7,-4].

点[M]在直线[x=4]上,点[M]的横坐标为4,存在以点[B],[C],[M],[Q]为顶点的平行四边形.

當以[BC]为边时,可得平行四边形[BCMQ],此时[Q-4,-21];

当以[BC]为边时,可得平行四边形[BCQM],此时[Q12,-117];

当以[BC]为对角线时,可得平行四边形[BQCM],此时[Q2,3].

综上所述,存在符合条件的点[Q],其坐标为[-4,-21]或[2,3]或[12,-117].

试题分析:第(1)小题设问简洁明了,已知顶点坐标和函数图象上另一个点的坐标求抛物线的解析式. 第(2)小题要求学生用运动变化的观点对函数图象与平行四边形相结合的综合问题进行探究. 轴对称、旋转、平移是图形的三种基本运动方式,在“函数”试题中融入图形的运动屡见不鲜. 此类试题是几何与代数的综合,需要学生把握图形运动和变化的规律,会用数量关系对运动状态进行刻画,突出考查学生的操作、探究、分析和推理能力,发展学生的空间观念.

类题赏析:综观2022年全国各地的中考数学试题,函数与几何变换相结合的试题较多,如江苏镇江卷第27题、广西柳州卷第26题、辽宁沈阳卷第25题、江苏常州卷第27题、湖北恩施州卷第24题、河北卷第23题和重庆A卷第24题等.

3. 关注存在性问题,重视对学生推理能力的考查

例7 (四川·成都卷)如图10,在平面直角坐标系[xOy]中,一次函数[y=-2x+6]的图象与反比例函数[y=kx]的图象相交于[Aa,4],[B]两点.

(1)求反比例函数的表达式及点[B]的坐标;

(2)过点[A]作直线[AC],交反比例函数图象于另一点[C],连接[BC],当线段[AC]被[y]轴分成长度比为1∶2的两部分时,求[BC]的长;

(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”. 设[P]是第三象限内的反比例函数图象上一点,[Q]是平面内一点,当四边形[ABPQ]是完美筝形时,求[P],[Q]两点的坐标.

目标解析:该题考查的知识点主要有一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等,考查学生灵活运用相关知识解决问题的能力.

解法分析:第(2)小题中,反比例函数图象上的动点C与定点A的连线与y轴相交,交点随点C的变化而变化,交点将线段AC分得的线段比值也会随之变化. 题目中已知分得的两条线段之比为1∶2,不能确定交点靠近点A还是点C,需要进行分类讨论. 而线段的比通过相似可以转化为点A和点C到坐标轴的距离之比,求出点C的坐标,从而求得线段BC的长. 第(3)小题探究“完美筝形”的存在性问题,由“完美筝形”的定义可知:它有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线. 由这两条性质可以求得点P和点Q的坐标. 此类新定义的几何图形的存在性问题,需要根据定义推导出它所具备的性质,再借助平面直角坐标系中点和线的数量化特征,将其性质进行代数化表达,建立相应的方程,从而求解问题.

解:(1)反比例函数的表达式为[y=4x], [B2,2]. 具体过程略.

(2)如图11,过点[A]作[AE]⊥[Oy]于点[E],过点C作[CF]⊥[Oy]于点F,设AC交y轴于点H,则有[△AEH]∽[△CFH],可得[AECF=AHCH=EHFH].

当[AHCH=12]时,可得[BC=42];

当[AHCH=2]时,可得[BC=][5172].

所以BC的长为[42]或[5172].

(3)如图12,当[∠AQP=∠ABP=90°]時,设直线[AB]与[y]轴交于点[E],过点[B]作[BF⊥Oy]于点[F],设[BP]与[y]轴的交点为点[N],连接[BQ],[AP],交于点[H].

由题意,得[E0,6],[BF=OF=2],得[EF=4].

由已知条件,可知[△EBF]∽[△BNF].

所以[BFEF=FNBF]. 得点[N0,1].

因此直线[BN]的解析式为[y=12x+1].

与[y=4x]联立可得点[P-4,-1].

可求得直线[AP]的解析式为[y=x+3].

因为[AP]垂直平分[BQ],得直线[BQ]的解析式为[y=-x+4].

所以点[H12, 72].

因为点[H]是[BQ]的中点,点[B2,2],

所以点[Q-1,5].

试题分析:该题以一次函数和反比例函数为背景进行命制. 第(1)小题求反比例函数的解析式和另一个交点坐标,设问方式直接,学生容易入手. 第(2)小题通过描述性语言交代了点C的位置,学生需要在图中画出点C,并根据题意补全图形,再根据题目中所给信息进行分析和求解. 由于位置不确定,需要分类讨论. 补全图形既能帮助学生审题,又可以考查学生的作图能力. 第(3)小题给出新定义“完美筝形”,通过定义可以得出它所具有的性质,设计新颖. 数学学习的重点是理解概念,从概念出发进行推理可以得出性质和判断,这是学习数学知识的一般路径,能够考查学生的基本活动经验.

函数图象中以某些已知的点和运动的点为顶点的图形会存在一些特殊情况,在某些特殊情况下可以确定动点的坐标. 这类试题在近年来的中考中较常见. 解决此类问题需要学生根据特殊图形所具备的几何性质进行推理分析,得出已知量与未知量之间的关系,建立方程求解,综合考查学生的运算能力、推理能力和空间观念等.

类题赏析:综观2022年全国各地中考数学试题,有关于特殊三角形、四边形的存在性问题,也有关于线段与线段之间、角与角之间的特殊数量关系的存在性问题. 解决此类问题的关键是要对特殊情况下图形所具备的特殊性质进行推理分析,再利用相似、勾股定理和三角函数等相关知识建立方程求解问题.例如,四川泸州卷第25题、四川南充卷第25题、四川绵阳卷第24题、辽宁阜新卷第24题和山东东营卷第24题等.

4. 关注新定义问题,重视对学生创新意识的考查

例8 (山东·泰州卷)定义:对于一次函数[y1=][ax+b],[y2=cx+d],我们称函数[y=max+b+ncx+d][ma+nc≠0]为函数[y1],[y2]的“组合函数”.

(1)若[m=3],[n=1],试判断函数[y=5x+2]是否为函数[y1=x+1],[y2=2x-1]的“组合函数”,并说明理由.

(2)设函数[y1=x-p-2]与[y2=-x+3p]的图象相交于点[P].

① 若[m+n>1],点[P]在函数[y1],[y2]的“组合函数”图象的上方,求[p]的取值范围;

② 若[p≠1],函数[y1],[y2]的“组合函数”图象经过点[P].是否存在大小确定的[m]值,对于不等于1的任意实数[p],都有“组合函数”图象与[x]轴交点[Q]的位置不变?若存在,求出[m]的值及此时点[Q]的坐标;若不存在,说明理由.

目标解析:该题考查的知识点主要有一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标的特征、一次函数与一次方程的关系等,主要考查学生运用函数的相关性质分析和解决问题的能力,需要学生理解“组合函数”的定义,结合所学的函数相关知识解决问题,考查学生的迁移、类比能力,以及运算能力和创新意识.

解法分析:第(1)小题根据定义即可判断. 第(2)小题已知两个函数的解析式可以求得函数图象的交点P的坐标,点P在组合函数图象的上方,等价于组合函数图象上的点的横坐标与点P的横坐标相同时纵坐标却小于点P的纵坐标,从而得到一个关于p的不等式,求出p的取值范围. 第(3)小题是对于任意的p ≠ 1,组合函数与x轴的交点的坐标为定值,也就是说组合函数与x轴交点的横坐标与p无关,当含有字母m,p的等式中p的系数为0时,可以得到一个关于m的方程,求得m的值.

解:(1)函数[y=5x+2]是函数[y1=x+1],[y2=2x-1]的“组合函数”. 理由略.

(2)① 由[y=x-p-2,y=-x+3p,] 得[x=2p+1,y=p-1.]

所以[P2p+1,p-1].

因为[y1],[y2]的“组合函数”为[y=mx-p-2+][n-x+3p],

所以当[x=2p+1]时,

[y=m2p+1-p-2+n-2p-1+3p=p-1m+n.]

因为点[P]在函数[y1],[y2]的“组合函数”图象的上方,

所以[p-1>p-1m+n].

所以[p-11-m-n>0].

因为[m+n>1],所以[p<1].

② 存在[m=34]时,对于不等于1的任意实数[p],都有“组合函数”图象与[x]轴交点[Q]的位置不变,坐标为[Q3,0],理由如下.

由①知,[P2p+1,p-1].

因为函数[y1],[y2]的“组合函数”[y=mx-p-2+][n-x+3p]的图象经过点[P],

所以[p-11-m-n=0].

因为[p≠1],所以[n=1-m].

所以[y=2m-1x+3p-4p+2m].

令[y=0],得[2m-1x+3p-4p+2m=0].

则有[3-4mp+2m-1x-2m=0].

因为对于不等于1的任意实数[p],都有点[Q]的位置不变,

所以[3-4m=0,2m-1x-2m=0.] 解得[m=34,x=3.]

所以当[x=3],[m=34]时,“组合函数”图象与[x]轴交点[Q]的位置不变,坐标为[Q3,0].

试题分析:初中阶段学生学习了一次函数、反比例函数和二次函数,考查运用函数图象和性质解决相关问题的试题比较普遍,对学习函数过程中应该积累的方法的考查也越来重视,突出对学生分析、概括和抽象等能力的考查. 解决此类问题,需要学生借助研究三种函数所积累的经验,从新定义入手,从特殊到一般分析、归纳和总结新定义函数的性质,再利用性质解决相关问题. 该题是对两个一次函数进行线性组合,得到一个新的函数. 第(1)小题运用概念判断,设问自然,学生套用定义容易作答;第(2)小题是对新定义函数的特殊性质进行探究.

类题赏析:综观2022年全国各地中考数学试题,以定义新函数侧重考查函数研究方法的相关试题较多,如湖南常德卷第8题、湖北荆州卷第16题、贵州安顺卷第24题、江苏南通卷第26题和甘肃兰州卷第27题等.

三、复习备考建议

综观2022年全国各地中考数学试卷,可以发现大部分压轴题都是以函数知识为载体进行设计,命题形式多样. 有的试题单纯考查函数的概念、表示和性质等基础知识;有的试题考查函数与几何图形的综合;有的试题考查跨学科知识之间的渗透,注重“形”与“数”的和谐统一,突出抽象、推理和模型这三个数学基本思想. 试题关注动点、最值、存在性、新定义等热点,重视数形结合、分类讨论、转化和方程等思想方法的运用. 试题背景切合学生的生活实际,设问方式具有开放性、探究性和挑战性等特点,全面考查学生分析和解决问题的能力.“函数”部分的复习教学应夯实基础、提升能力、内化经验.

1. 建构知识体系,夯实基础

夯实基础是复习阶段的首要任务. 复习基础知识不是简单地“温故”而重在“知新”,借助思维导图,按照知识体系对所学内容进行深层次建构,形成知识体系.

初中阶段的函数内容主要包括一次函数、反比例函数和二次函数,从概念到图象的性质及其应用,从思想方法到学习方式,都体现了学习和研究函数的一般方法. 因此,在复习过程中,要加强彼此间的联系和对比,让学生回顾的不仅是枯燥的知识,还要有灵动的思想方法. 在这个过程中,学生一定要自己动手,自主建构,这样才能对函数知识有一个系统和清晰的认识.

2. 关注核心思想,提升能力

数形结合思想和建模思想是学习“函数”内容时最为重要的思想方法,直指几何直观和模型观念素養的发展.

运用数形结合思想解决问题时,要找准“数”与“形”的属性,从而将数量关系用“形”有效地直观表达,将几何图形用“数”准确刻画. 例如,在本文例7以反比例函数为背景的几何存在性问题中,AP垂直平分BQ可以利用函数关系式进行表达,便于求点的坐标.

函数是刻画现实生活的一个重要模型. 每年的中考“函数”试题都会选用与学生日常生活相关或社会热点问题为背景呈现数学问题,发展学生的应用意识和创新意识. 解决此类问题的关键点在于正确建立数学模型. 数学建模最为关键的环节是用数学语言准确地描述实际背景中的条件和问题,即将实际问题数学化. 在这一过程中,需要学生从题目所提供的文字、图和表中获取有用信息,提取问题本质的数学结构,建立数学模型. 例如,本文例3需要学生根据题目中提供的有关桥的相关数据建立适当的平面直角坐标系,将桥抽象成二次函数建立二次函数模型解决相关问题.

3. 反思解题过程,内化经验

在复习过程中,做完一道题后要及时复盘. 复盘是指对解题过程的反思. 通过反思不断提炼、整合和内化活动经验,形成优化了的经验结构,然后再将这种优化了的经验迁移到新的问题情境中进行实践和应用. 例如,在本文例6中,分析问题的经验有转化、构造、分类讨论、数形结合;操作经验有过点作的垂线;解题经验有待定系数法、等积转化法、规范书写与表达、认真仔细;等等. 这些经验的积累与优化对学生数学关键能力的培养具有十分重要的意义. 当然,解题结束并不意味着学习过程的终结,我们可以追求一题多解、多题一解,还可以引导学生发现与提出问题:你能提出一个与该题有关的问题吗?如果学生能提出“当四边形ABCD为菱形时,求点P的坐标”“是否存在点P,使得四边形ABCD为正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由”之类的问题,那么这种对问题的深入思考和多角度探究能够发挥每一道习题的最大价值,这才是教师与学生应该追求的. 在中考复习中,教师要经常运用典型例题和习题引导学生从数学的角度发现与提出问题、分析与解决问题,发展学生的创新意识.

四、典型模拟题

1. 若二次函数[y=ax2+bx+c](a ≠ 0)的图象经过[A-1,n], [B0,y1], [C4,n], [D2,y2], [E2,y3]五点,则[y1],[y2],[y3]的大小关系是(    ).

(A)[y1

(C)[y2

答案:C.

2. 随着“公园城市”建设的不断推进,成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚. 甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是[18 km / h],乙骑行的路程[s](km)与骑行的时间[t](h)之间的关系如图13所示.

(1)直接写出当[0≤t≤0.2]和[t>0.2]时,[s]与[t]之间的函数表达式;

(2)何时乙骑行在甲的前面?

答案:(1)[s=15t  0≤t≤0.2,20t-1 t>0.2.]

(2)0.5小时后乙骑行在甲的前面.

3. 在学习未知函数的时候,我们需要根据函数图象研究其性质. 某班数学学习兴趣小组开展了对函数[y=6xx2+1]的研究,列表如表2所示.

按要求回答以下四个问题:

(1)求出m和n的值;

(2)根据列表画出函数图象;

(3)说出该函数的性质;

(4)根据图象,直接写出方程[6xx2+1=3x]的根.

答案:(1)m = -3,[n=3].

(2)函数图象如图14所示.

(3)关于原点对称;当x = 1时,取得最大值3,当x = -1时,取得最小值-3;当-1 < x < 1时,y随x的增大而增大,当x < -1或x > 1时,y随x的增大而减小.

(4)[-1],0,1.

4. 如图15,抛物线[y=x2+4x+m]与[x]轴交于[Ax1,0],[Bx2,0]两点,[x1

(1)若[AB=6],求抛物线的解析式及顶点[C]的坐标;

(2)若[Mx,y]为抛物线上一点,若[-3≤x≤8],且点[M]的坐标[y]满足[a≤y≤b],求[b-a]的值;

(3)已知[P-4,-5],[Q1,-5]为坐标系内两点,连接[PQ],若抛物线与线段[PQ]只有一个公共点,结合图象直接写出[m]的取值范围.

答案:(1)[y=x2+4x-5],[C-2,-9];

(2)100;

(3)[m=-1]或[-10≤m<-5].

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2022年版)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2022.

[2]张伟,宋先波,赵洁. 2018年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育(初中版),2019(1 / 2):54-63.

[3]胡玲君. 2019年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育(初中版),2020(1 / 2):63-71.

[4]孙锋. 基于过程生长与单元设计的概念教学:对“变量与函数”一课的点评[J]. 中国数学教育(初中版),2020(6):25-26.

[5]吴增生. 初中数学毕业考试命题变革的思考与实践[J]. 数学通报,2021,60(1):41-51.

作者簡介:孙锋(1974— ),男,中学高级教师,主要从事中学数学课程建设及课堂教学研究;

杨明(1988— ),男,中学高级教师,主要从事初中数学课堂教学及解题研究.

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