于基础处显能力　在思维中现素养

2023-03-01张青云

中国数学教育（初中版） 2023年2期

摘要：精选2022年全国各地区中考“图形的性质”部分试题，剖析该部分试题的特点，对优秀试题进行分析，并针对该部分内容提出复习教学建议，以期对中考复习备考提供参考.

关键词：图形的性质；解题分析；中考试题；复习建议

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中，初中阶段“图形与几何”领域的内容分为“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题. 其中，“图形的性质”是从演绎证明的视角研究点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形的基本性质和相互关系. 与“图形的变化”“图形与坐标”两个主题相比，“图形的性质”既是后续进一步研究几何图形的基础，又是“图形与几何”课程内容的主干知识，也是中考命题考查的核心内容. 同时，2022年中考是“双减”政策实施后的第一次中考，为了充分发挥中考对教育教学的引导作用，深化义务教育教学改革，促进减负提质，巩固“双减”成果，教育部办公厅特别下发了《教育部办公厅关于做好2022年中考命题工作的通知》，强调“严格依据课程标准命题、科学设置试卷难度”. 在这种背景下，综观2022年全国各地区中考数学试卷，笔者认为，“图形的性质”部分的试题较好地落实了这个目标，在注重考查学生“四基”的同时，特别强调通过实验探究、直观发现、推理论证来考查学生研究图形的能力，充分体现了对数学核心素养的考查.

一、试题特点分析

在《标准》中，“图形的性质”主要包括以下六个部分：（1）点、线、面、角；（2）相交线与平行线；（3）三角形；（4）四边形；（5）圆；（6）定义、命题、定理. 与《义务教育数学课程标准（2011年版）》不同，有关尺规作图的内容融合到了这六部分内容之中，不再单列. 笔者研究了2022年全国各地区近40份中考数学试卷，对其中关于“图形的性质”的试题从考查内容、难度设置、题型设置等方面进行分析. 该部分内容所占分值在整卷的比例不尽相同，大致占全卷总分值的15% ～ 40%，多數在30%左右，且在选择、填空、解答等各种题型中都有体现. 笔者认为，依据相关试题可以归纳出2022年中考“图形的性质”相关内容的考查具有以下特点.

1. 立足基础，突出对图形基本性质的理解与运用

一般而言，性质就是一类事物共有的特性. 但具体什么是几何性质呢？章建跃博士曾指出，几何图形组成要素、相关要素之间确定的关系（大小关系、位置关系等）就是性质. 初中阶段，“图形与几何”领域中研究的平面图形都是由点、线、角等基本元素构成的. 几何学习的核心任务就是在几何直观基础上，基于对图形概念的理解，从定性到定量研究这些图形组成要素、相关要素之间的关系，获得图形的性质，为未来学习和研究更为复杂的图形打好基础.

（1）基于图形的概念，对图形性质的基本理解和简单运用.

几何图形的学习，与小学阶段更侧重于几何图形的认识、对图形性质度量的感知不同，初中阶段更注重对图形概念的理解，并在概念的基础上，研究图形的性质、关系和变化规律. 在中考试卷中，总有一类体现“双基”的图形性质问题，通常是以单个图形或简单情境为背景，在几何直观的基础上，运用几何基本事实或几何图形的基本性质进行简单推理与证明，考查几何图形基本性质的简单应用，通常设置为选择题、填空题或者简单的计算题与证明题.

例1 （福建卷）如图1，点[B]，[F]，[C]，[E]在同一条直线上，[BF=EC]，[AB=DE]，[∠B=∠E]. 求证：[∠A=∠D]．

目标解析：此题主要考查学生的推理能力，以及全等三角形的判定与性质的运用．

解法分析：利用“[SAS]”证明[△ABC≌△DEF，] 根据全等三角形的性质即可证得[∠A=∠D]．

试题分析：此题可以从各版本教材全等三角形章节中找到类似的图形和问题，难度较低. 中考试卷中，像这样以三角形、四边形为对象，考查学生运用图形的性质进行推理论证的简单解答题，体现的就是基础性. 需要注意的是，在运用图形的性质解决问题的过程中，要注意表达规范、推理严密，避免因证明过程简单而跳步导致失分. 例如，此题中对[BC=EF]的推理，要先得到[BF+FC=EC+FC，] 之后才有[BC=EF]. 在基础题的推理论证表述中，跳过等量相加的这一步，既不明智，也不严谨.

类题赏析：类似的试题还有湖北武汉卷第18题、吉林卷第15题、陕西卷第18题、四川宜宾卷第20题、浙江温州卷第22题等.

（2）基于图形的性质，对图形进行定性与定量分析.

义务教育阶段，数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力. 对于图形的研究，不仅仅体现在对几何直观和推理能力的考查，也体现在对运算能力的考查. 对图形进行周长、面积等方面的度量是在小学阶段就有的，与小学阶段不同的是，初中阶段更注重基于图形的性质对图形中相关线段、角、局部等对象进行定量分析，这是在更高层面上考查学生的运算能力，以促进学生对图形的性质的全面理解和整体把握.

例2 （天津卷）如图2，已知菱形[ABCD]的边长为2，[∠DAB=60°]，[E]为[AB]的中点，[F]为[CE]的中点，[AF]与[DE]相交于点[G]，则[GF]的长等于．

目标解析：此题的图形中融合了多个基本图形，考查菱形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理等. 其中，出色的运算能力是顺利解决此题的重要因素．

解法分析：求线段的长，首先需要思考将线段放在什么图形中研究. 此题中，可以猜想“点[G]是线段AF的中点”. 如图3，过点[C]作[CM⊥AB]，交[AB]的延长线于点M，连接[FB]. 在[Rt△CBM]中，计算得[BM=1，][CM=3.] 再证明[BF]是[Rt△CEM]的中位线，可得[BF=][32]. 由勾股定理，可得[AF=192]. 然后由点[E]为AB的中点，且[BF∥EG]，得到[EG]是[△ABF]的中位线，即[AG=FG]，猜想成立，从而得出[GF=194.]

试题分析：此题以菱形为大背景，融入了三角形的中位线、含30°角的直角三角形等内容. 在几何直观中，通过合理猜想构造适当的辅助线，发现图形与图形之间的关系，并进行推理论证和精确计算. 这是几何图形研究的常用方法.

类题赏析：类似的试题还有江苏苏州卷第16题、海南卷第16题等.

（3）基于作图操作，深化对尺规作图原理和方法的理解与应用.

《标准》中强化了尺规作图，明确要求经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力，并对传统的五个基本作图进行了适当的调整和更新. 在中考试卷中，尺规作图的问题设计题型有选择题和填空题，要求学生根据尺规作图的痕迹或问题描述的作法进行判断，也有对尺规作图操作后的解答. 无论哪一种，都不只是把尺规作图作为一个知识考点. 更为重要的，是将尺规作图作为深化理解作图的原理和方法，帮助学生建立几何直观，促进学生演绎推理能力的提升.

例3 （山西卷）如图4，在矩形[ABCD]中，[AC]是对角线．

（1）实践与操作：利用尺规作线段[AC]的垂直平分线，垂足为点[O]，交边[AD]于点[E]，交边[BC]于点[F].（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．）

（2）猜想与证明：试猜想线段[AE]与[CF]的数量关系，并加以证明．

目标解析：此题主要考查尺规作图、矩形的性质、菱形的判定和性质等．

解法分析：（1）如图5，EF即为所求作的线段[AC]的垂直平分线.

（2）可以在作出线段AC的垂直平分线EF之后，利用矩形的性质证明[△AOE≌△COF，] 进而得出[AE=][CF.] 也可以利用线段垂直平分线的性质，证明四边形[AECF]是菱形，再根据菱形的性质得出结论．

试题分析：从本质上讲，这不算是一道新题，以前常见以“折叠矩形[ABCD，] 使点[A，C]重合”的视角来研究图形，如求折痕EF的长度、图形的面积等. 但此题融入了尺规作图，设计两道递进的小题，以尺规作图的作图结果为起点，进一步展开对图形性质的推理和论证. 这既是深化学生对尺规作图原理的理解，也是引导教师在教学中要加强对学生的几何作图能力的培养. 退一步讲，即使学生在考试时不会进行尺规作图，在不严格作图的情况下也能通过画草图完成第（2）小题的猜想与论证.

类题赏析：类似的试题还有江苏无锡卷第24题、重庆A卷第18题、河南卷第18题、福建卷第23题等. 也有许多以选择题、填空题的形式考查尺规作图的试题，如湖北黄冈卷第8题、湖北宜昌卷第6题、江苏连云港卷第16题、四川成都卷第13题、湖南长沙卷第10题等.

例4 （江苏·扬州卷）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图6（a），已知扇形[OAB]，试用圆规和无刻度的直尺过圆心[O]作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

【问题联想】如图6（b），已知线段MN，试用圆规和无刻度的直尺作一个以[MN]为斜边的等腰直角三角形[MNP]；

【问题再解】如图6（c），已知扇形[OAB]，试用圆规和无刻度的直尺作一条以点[O]为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．

友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹.

目标解析：此题考查尺规作图、等腰直角三角形的性质、扇形的面积等知识. 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

解法分析：图6（a）中，通过分析，作[∠AOB]的平分线即可，如图7所示，OP即为所求；图6（b）中，作线段[MN]的垂直平分线（垂足为点C）后，在垂直平分线上再截取线段CP，使CP = MC，连接PM，PN，△MNP即为所求，如图8所示；图6（c）中，需要先构造等腰直角三角形[OBE]，使[OB]为斜边，再以点[O]为圆心、OE为半径画弧，则[CD]即为所求，如图9所示．

试题分析：此题是一道极具创新价值的尺规作图试题，三道小题由浅入深，拾级而上，将尺规作图的基础性要求、工具性应用及思维性提升发挥到了较高的水平. 同时，在“问题再解”中，要求学生将在前两道小题中积累形成的经验，在新背景中进行模仿迁移. 此题具有开放性，还有多种解题方法，为不同思维层次的学生提供了更多的可能.

类题赏析：值得注意的是，还有一类比尺规作图要求更苛刻的试题，即只用无刻度的直尺在正方形网格中画图. 这类试题对学生来说挑战更大，如天津卷第18题、江西卷第16题、湖北武汉卷第21题.

2. 注重能力，彰显对“图形的性质”内容涉及的思想方法的领悟与迁移

数学知识是有层次的. 数学内容中的基本事实、概念、定理等，通常统摄性较低，而更高一级的是数学的核心概念及思想方法，它们的抽象概括程度更高，属于隐性知识，是从“四基”“四能”通往学科核心素养的必由之路. 数学思想方法是随着数学概念、性质、原理的掌握而逐渐发展的，其学习过程需要经历渗透、领悟、明晰和应用四个阶段. 在图形的性质的学习过程中，与之相关的数学思想主要包括方程思想、分类思想、转化思想等. 因此，中考试卷中，通过设计相关问题考查学生对这些数学思想方法的理解、内化和迁移应用，是必不可少的一环.

（1）运用方程思想.

例5 （浙江·金华卷）如圖10，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C. 已知AC = 6 cm，CB = 8 cm，则⊙O的半径为．

目标解析：此题主要考查了圆的切线性质定理、勾股定理、矩形的判定与性质. 依据题意添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

解法分析：如图11，连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D. 利用矩形的判定與性质，可得BD = AC = 6 cm，AD = BC = 8 cm. 设⊙O的半径为r cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理，有AD2 + OD2 = OA2，即[82+r-62=r2．] 解得[r=253]. 所以⊙O的半径为[253]cm.

试题分析：此题生活氛围浓郁，木工使用角尺的画面感很强，甚至还有很强的代入感，如自行车轮顶着水泥台阶等. 在构造辅助线的过程中，学生可能会想到连接AB，并且勾股数为6，8，10，好像也比较顺畅，但对于研究圆的半径长并不是最为本质的. 在此题中，最为本质的是切线的性质的运用，即连接OB得到直角，再作垂线段AD得到直角三角形，利用勾股定理求解. 此题中蕴含了转化思想和方程思想. 在运用方程思想时，多数都需要添加辅助线构造直角三角形，这就需要学生具有更为理性的几何直观和空间观念，以实现对思想方法的灵活运用.

类题赏析：类似的试题还有海南卷第12题.

（2）运用分类思想.

例6 （河南卷）如图12，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=][90°]，[AC=BC=22]，点[D]为[AB]的中点，点[P]在[AC]上，且[CP=1]，将[CP]绕点[C]在平面内旋转，点[P]的对应点为点[Q，] 连接[AQ，DQ.] 当[∠ADQ=90°]时，[AQ]的长为．

目标解析：此题考查了勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质. 注意要分两种情况考虑是解题的关键．

解法分析：如图13，当[∠ADQ=90°]时，即[DQ⊥][AB，] 根据[Rt△ABC]的相关条件，说明点[D，C，Q]应当共线. 点[Q]除了在[CD]上，还有可能在[DC]的延长线上. 针对两种情况，分别利用勾股定理进行计算即可得AQ的长为[5]或[13]．

试题分析：此题要求学生从图形组成要素的位置变化上研究相关点、线段的数量关系. 其实试题并不难，以等腰直角三角形为背景，由CP的长度是定值，不难想象到点[Q]的运动轨迹是以点[C]为圆心、[CP]长为半径的圆. 解题的难点在于不容易想到“点[Q]在线段[DC]的延长线上”的情况，造成漏解.

类题赏析：类似的试题还有江西卷第12题、云南卷第18题等.

（3）运用转化思想.

例7 （安徽卷）已知点O是边长为6的等边三角形ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为[S0，S1，S2，S3]. 若[S1+S2+S3=2S0]，则线段[OP]长的最小值是（）.

（A）[332] （B）[532]

（C）[33] （D）[732]

目标解析：此题考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积等知识. 解题的关键是证明[S1，S2，S3]中有一个是定值．

解法分析：已知点P在△ABC外，但究竟在哪里呢？如图14，不妨假设点P在直线AB的左侧，由此时的位置关系，可以得到四个三角形之间的面积关系为[S2+S3=S0+][S1]. 结合已知条件，可以得到[2S1=S0]. 这也就证明了△PAB的面积[S1]是定值，所以边AB上的高也是定值. 过点P作AB的平行线PM，推出点P的运动轨迹就是直线PM. 连接CO，延长CO交AB于点R，交PM于点T，可求出[OT=532]. 故此题选择选项B.

试题分析：此题是一道有关图形的问题，却没有给出图形. 此题的玄机其实就在这里. 解题的难点在于确定点P的位置，即如何应用已知中给出的四个三角形之间的面积关系式. 解题的突破口就是先假设一个点P的位置，并由其位置研究[S0]与[S1]，[S2]，[S3]之间的数量关系. 由已知可得[S0=93]是一个定值，将已知条件转化到[S1，S2，S3]中，得某个三角形的面积与等边三角形ABC的面积[S0]之间的数量关系，从而得到其高，再思考OP在什么情况下最小，这样解题就轻松了. 像此题这样研究某条线段的最小值，是近年中考考查图形运动变化的热点问题，通常对学生的能力要求比较高.

类题赏析：类似的试题还有湖北武汉卷第9题等.

3. 聚焦素养，强化图形性质的探究、开放与综合

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中明确要求：坚持正确导向，提升试题科学化水平，既要注重考查基础知识、基本技能，还要注重考查思维过程、创新意识，以及分析问题和解决问题的能力，提高探究性、开放性、综合性试题的比例. 正因如此，在图形的性质的考查中，聚焦几何直观、抽象能力和推理能力，发展空间观念，强化图形性质的形成和发展过程，提高试题的探究性、开放性和综合性就成为一种应然.

（1）探究性问题.

《标准》指出：探索是指在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定结论. 探究性问题需要在特定的问题情境中经历过程获得结论. 解决与图形的性质有关的探究性问题，就是需要在图形不断变化的过程中，发现图形中要素与要素之间保持不变的关系的过程，或是图形经历从特殊到一般、从具体到抽象，逐渐归纳概括出某种性质或规律，而后又从一般到特殊迁移应用的过程.

例8 （山东·泰安卷）问题探究：

（1）在[△ABC]中，BD，CE分别是[∠ABC]与[∠BCA]的平分线．

① 若[∠A=60°，AB=AC，] 如图15（a），试证明[BC=][CD+BE]；

② 将①中的条件“AB = AC”去掉，其他条件不变，如图15（b），问①中的结论是否成立？并说明理由.

迁移运用：

（2）若四边形[ABCD]是圆的内接四边形，且[∠ACB=][2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，] 如图15（c），试探究线段[AD，][BC，AC]之间的等量关系，并证明．

标解析：此题主要考查了圆的内接四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识. 解题的关键是添加合适的辅助线，创造条件运用规律解决问题．

解法分析：第（1）小题中，第①问是一种特殊情况，由[△ABC]是等边三角形，很容易得到结论.

第②问是一种变式，结论仍然成立. 论证的总体思路是“截长”. 如图16，设[BD]与[CE]相交于点[O]，在[BC]上取一点[G]，使得[BG=BE]. 连接[OG]，分别证明[△EBO≌△GBO SAS]，[△OCD≌][△OCG ASA，] 推出[CD=CG]，即可得到结论.

对于第（2）小题，首先类比猜想结论为[AC=AD+BC]. 思路是以AC为底边，在AC上方，也构造如图15（b）所示的图形. 如图17，作点[B]关于[AC]的对称点[E]（或以点C为顶点，[DC]为边，作[∠ECD=∠DCA]，在CE上截取[CE=CB]），连接[AE，EC]. 化归证明满足第（1）小题第②问的条件，并利用其中的结论解决问题．

试题分析：此题要探究含60°角的三角形的内心具有的性质，先从等边三角形出发，通过变式得到一般的结论，然后迁移到圆的特定背景中. 通过添加辅助线构造满足条件的三角形，应用探究得到的规律解决问题. 像这样以图形的规律为焦点，通过特殊情况感知规律、通过变式猜想规律、通过论证证明规律、通过迁移应用规律，这个完整的过程体现的就是欧氏几何的基本思想.

类题赏析：类似的试题还有河南卷第23题、陕西卷第26题、江西卷第23题、山东临沂卷第22题等. 这些试题大都设置在试卷的压轴或次压轴的位置，对学生来说具有一定的挑战性.

（2）开放性问题.

例9 （浙江·舟山卷）小惠自编一题：“如图18，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB = OD. 求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.]

若赞同小惠的证法，在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，试补充一个条件，并证明．

目标解析：此题考查菱形的判定、垂直平分线的性质、全等三角形判定等知识.

解法分析：此题答案不唯一. 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，在已知对角线垂直的情况下，只需要说明该四边形是平行四边形. 在有OB = OD的背景下，只需要补充OA = OC，或补充其他条件，如∠DAC = ∠ACB，由内错角相等，通过证明三角形全等得到结论. 如果考虑到垂直平分线，运用“四边相等的四边形是菱形”，则可以补充一组邻边相等，如AB = BC或AD = DC.

试题分析：此题为条件开放题，整体难度并不大. 但不同的答案体现了学生思维的层次性，有各美其美之感. 在中考试卷的解答题中设置条件开放题，所见并不多. 2021年中考浙江杭州卷第19題、2021年中考湖南岳阳卷第18题也曾有此创新.

类题赏析：类似的试题还有湖北荆州卷第12题、湖北黄冈卷第12题等，不过是以填空题的形式呈现.

（3）综合性问题.

例10 （湖北·武汉卷）问题提出：如图19（a），在[△ABC]中，[AB=AC]，[D]是[AC]的中点，延长[BC]至点[E]，使[DE=DB]，延长[ED]交[AB]于点[F]，探究[AFAB]的值．

问题探究：（1）先将问题特殊化. 如图19（b），当[∠BAC=60°]时，直接写出[AFAB]的值；

（2）再探究一般情形. 如图19（a），证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展：（3）如图19（c），在[△ABC]中，[AB=][AC，] [D]是[AC]的中点，[G]是边[BC]上一点，[CGBC=1n][n<2，] 延长[BC]至点[E]，使[DE=DG]，延长[ED]交[AB]于点[F]. 直接写出[AFAB]的值（用含[n]的式子表示）.

目标解析：此题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识. 作辅助线构造全等三角形，以及涉及线段比值的运算是解题的关键．

解法分析：第（1）小题是一种特殊情况. 如图20，取[BC]的中点[H]，连接[DH]，根据三角形的中位线性质，可以得到[DHAB=12]，且DH = AD = DC. 再证明[△DBH≌△DEC]，得[BH=EC]，则[EBEH=32]. 再根据[DH∥AB]，得[△EDH∽△EFB.] 所以[FBDH=EBEH=32.] 所以[FBAB=34]. 从而得出[AFAB=14].

第（2）小题虽然是一般情况，但方法依旧. 如图21，取[BC]的中点[H]，连接[DH]，利用“ASA”证明[△DBH≌][△DEC，] 得[BH=EC.] 则[EBEH=32.] 再根据[DH∥AB，] 得[△EDH∽△EFB.] 从而得出与第（1）小题相同的答案.

第（3）小题很有挑战性. 如图22，取[BC]的中点H，连接DH，由第（2）小题，同理可证明[△DGH≌△DEC，] 得[GH=CE.] 所以[HE=CG]. 所以[HEBC=1n]. 再根据[DH∥][AB]，得[△EDH∽△EFB]. 所以[HEBE=DHBF]. 接下来可以得到以下线段之间的数量关系：[HC=12BC，] [HE=][1nBC]，[CE=GH=1n-12BC]，[BE=1n+12BC]，[BF=]

[n+22DH，] [AF=2-n+22DH=][2-n2DH]. 最后得到[AFAB=][2-n4.]（为了减少障碍，可以设定BC，DH的长试题分析：此题是一道以三角形为背景的综合性试题，具有很强的探究性，对学生的推理能力和运算能力要求都很高. 三道小题以“A”型相似图形为基础，拾级而上，从特殊到一般，融合了全等与相似知识，要求学生利用几何推理论证和代数思维求线段的比值. 特别是第（3）小题的拓展探究，是在一个抽象程度更高的背景下进行研究的. 虽然此时全等和相似的对象变化了，但是问题的本质没有改变，解题方法没有改变，对学生代数思维的素养要求上升到了一个更高的层次.

类题赏析：类似的试题还有福建卷第24题、浙江宁波卷第23题等. 除了通常的全等与相似、代数与几何融合之外，有的试题还融入了三角函数，如浙江杭州卷第23题、湖北黄冈卷第23题. 有些综合性问题还与图形的变化融为一体，如河南卷第23题.

二、优秀试题分析

例11 （安徽卷）如图23，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G. 连接DF，试完成下列问题.

（1）∠FDG的度数为；

（2）若DE = 1，DF =[22]，则MN的长为 .

题意理解：此题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识. 本质上是在同一条直线上并排排列的两个正方形，由位置关系研究相关线段、角之间的数量关系.

思路探求：对于第（1）小题，由几何直观可以猜想得到∠FDG = 45°. 后续论证时，由“一线三直角”可以得到∠DEF = ∠ABE. 又因为∠A = ∠G = 90°，BE = EF，从而可得△ABE ≌ △GEF. 得出EG = AB，GF = AE. 由AD = AB，得EG = AD，AE = DG，DG = GF. 推得△DGF为等腰直角三角形，则∠FDG = 45°.

对于第（2）小题，如图24，过点F作HF⊥CD于点H. 由第（1）小题的结论得出FG = 2，CD = GE = 3，再根据△EDM ∽ △FHM，△FHN ∽ △BCN，由相似三角形的性质分别求出[MH=43，] [HN=25，] 所以[MN=2615]. 也可以如图25，分别延长GF，BC交于点H，求出DM，NC的长.

回顾反思：此题的设计亮点体现在以下两个方面. 一是取材于教材，与人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）八年级下册第18章“平行四边形”复习题18第14题联系紧密. 与教材习题相比，此题的最大区别是交换了条件“BE = EF”与“DF是外角平分线”. 同时，与人教版教材八年级下册第17章“勾股定理”习题17.2第6题也有千丝万缕的联系，甚至还可以将这个图形进一步演化为弦图；二是考查内容从研究几个图形的性质开始，到与图形有关的代数求值结束，融合自然、难度适中，能够较好地体现中考试题聚焦数学核心素养、强化主干内容、考查关键能力的要求. 也许正因如此，这个素材也成为不同区域中考试卷中一道变式较为丰富的图形研究样例. 例如，四川泸州卷第12题与此题设计风格基本上一致. 再如，内蒙古呼和浩特卷第23题就是直接从教材回顾开始变式，让点运动起来，在动态中研究线段之间的数量关系.

例12 （湖北·随州卷）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑. 在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式.（如图26 ～ 29所示的各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号.）

公式①：[a+b+cd=ad+bd+cd]；

公式②：[a+bc+d=ac+ad+bc+bd]；

公式③：[a-b2=a2-2ab+b2]；

公式④：[a+b2=a2+2ab+b2].

圖26对应公式，图27对应公式，图28对应公式，图29对应公式．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式[a+ba-b=a2-b2]的方法，如图30，试写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形.）

（3）如图31，在等腰直角三角形[ABC]中，[∠BAC=][90°]，[D]为[BC]的中点，[E]为边[AC]上任意一点（不与端点重合），过点[E]作[EG⊥BC]于点[G]，作[EH⊥AD]于点[H]，过点[B]作[BF∥AC]交[EG]的延长线于点[F]. 记[△BFG]与[△CEG]的面积之和为[S1]，[△ABD]与[△AEH]的面积之和为[S2]．

① 若[E]为边[AC]的中点，则[S1S2]的值为；

② 若[E]不为边[AC]的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，试说明理由．

题意理解：此题题干很长，读下来要有一定的耐心. 问题核心是从图形面积出发，考查学生对数形结合思想方法的理解和运用.

思路探求：第（1）小题是对数形结合思想方法的感悟，通过回忆教材在讲授整式乘法时利用图形面积计算方法来解释法则或公式的过程，由直观不难得到相应的结论. 图26对应公式①，图27对应公式②，图28对应公式④，图29对应公式③．

第（2）小题是运用数形结合思想方法的尝试. 回到《几何原本》的研究，由图可分别求得各矩形的面积. 例如，可以先研究矩形[AKHD]的面积，再剪裁拼接到以a为边长的正方形BCEF中，最后得到结论.

第（3）小题自然就是对数形结合思想方法的迁移应用了. 思考的方法很多，如设定某线段长度，然后表示出所有相关图形的面积.

第①问是一种特殊情况. 设[BD=m]，可得[AD=][CD=m，] [HE=DG=AH=12m，] [CG=12m，BG=32m，S1=][S△BFG+S△CEG=54m2，] [S2=S△ABD+S△AEH=58m2，] 得[S1S2=2].

第②问是研究一般情况，可以选两条线段来分别设定字母，然后用含这两个字母的式子表示[S1，S2.] 例如，设[BD=a，DG=b，] 可得[EG=CG=a-b，] [FG=] [BG=a+b]，[S1=S△BFG+S△CEG=12a+b2+12a-b2=a2+]

[b2，] [S2=S△ABD+S△AEH=12a2+12b2=12a2+b2.] 从而得出不变的结论.

回顾反思：此题的亮点体现在以下两方面. 一是取材于《幾何原本》，体现了《标准》指出的“教材中要介绍数学文化、数学发展前沿等……展现数学发展史中伟大数学家……如介绍《九章算术》《几何原本》……”. 近几年来，本着“弘扬数学文化，彰显育人价值”的理念，在一些地区的中考试卷中常有这类体现，如湖南株洲卷第18题以中国元代《四元玉鉴》中记载的“方田圆池结角池图”研究圆与正方形两边相切的问题，湖北武汉卷第16题以欧几里得证明勾股定理的“风车”图形展开等；二是此题可以算得上是阅读理解题，题干很长，但解题的书写量却并不是很多，难度适中. 这对于学生而言，既是挑战也是机遇. 一方面，要注重引导学生全面发展，注意提高阅读理解能力，将文字语言转换成图形语言或符号语言；另一方面，可以更深刻地理解文本所提出的数形结合思想方法.

三、复习备考建议

以人教版教材为例，几何内容共13章约为153课时，占总课时数的43.8%，其中可以划分到“图形的性质”主题的约为109课时，占总课时数的31.2%. 另外，从一线教学的实际来看，在九年级有限的复习时间里，用于这部分内容复习的时间约20课时. 因此，教师先要转变观念，打破“以考定教、以考定学”的模式，把功夫用在平时，在日常教学中做到应教尽教.

1. 以生为本，落实素养要求

《标准》指出：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用. 义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养. 无论是复习课教学，还是平时的新授课教学，都要注重以学生发展为本，以核心素养为导向，开展单元整体教学，创设真实的问题情境，让学生在经历问题解决的过程中落实数学核心素养的要求.

2. 注重“双基”，夯实知识技能

教师要以《标准》为依据，领悟《标准》对“图形的性质”内容的要求，研究每一个要求达到的标志是什么；要坚持注重基础知识和基本技能的数学教育传统，引导学生梳理基础知识网络结构，加强对典型问题的研究，对重点内容的理解和掌握，加强对通性通法的理解，对易错、易混淆内容进行针对性训练，夯实“双基”教学. 当然，在这个过程中，教师需要注意不要刻意把一些所谓的模型、套路、公式、秒杀技强加给学生，以免误导学生，不利于学生数学核心素养的培养和发展.

3. 感悟思想，抓实思维能力提升

在复习教学中，教师需要保有一定的开放性，不可唯教辅而论. 在“图形的性质”教学内容设计上，注意整合内容、精选问题、着力变式，创设具有开放性、拾级而上的探究性，且内容与能力共融的综合性问题，注重设置一些有利于弘扬数学文化、提高学生阅读理解能力、促进学生动手画图操作实践的问题情境，引领学生参与到数学活动之中，鼓励他们学会从不同的角度思考问题，用不同的方法解决问题，领悟数学思想方法，实现对数学思想方法的自主迁移与运用.

4. 加强探究，压实一般观念引领

研究一个几何图形的一般思路是什么？章建跃博士多次强调要注重一般观念的引领. 在“图形的性质”复习教学中，我们要重视知识之间的内在关联，从图形的概念、组成要素和相关要素的关系出发，建立起有意义的认知结构，整体把握学习图形的性质的主要脉络，牢牢抓住“概念—性质—判定—联系—应用”的研究主线，创设富有探究性的教学活动，让学生学会从特殊到一般、从具体到抽象的探究方法，在观察、实验、计算、操作、猜测、验证、推理中体会并运用数学思想和方法，获得数学基本活动经验，实现从“知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”的跨越性表现.

四、典型模拟题

问题提出：如图32，△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D是AB的中点，绕点A旋转△ADC，得到△AMN，连接CM，BN，G，H分别为CM，BN的中点，研究GH与MC之间有怎样的数量关系和位置关系？

问题解决：（1）先将问题特殊化. 如图33，当旋转角为0°，即处于起始位置时，则GH与MC的数量关系是，位置关系是 .

（2）继续研究特殊情形. 如图34，当△ADC绕点A按顺时针方向旋转到BN经过点M时，上述结论是否成立？若成立，证明你的结论；若不成立，说明你的理由.

（3）由此猜想归纳一般结论. 如图32，在旋转过程中，GH与MC之间的数量关系和位置关系是什么？

拓展应用：（4）如图35，应用上述探究得到的规律，当△ADC绕点A沿逆时针方向旋转45°时，若△MCH的面积为[38]，求边AC的长．

答案：（1）[MC=2GH，GH⊥MC].

（2）仍然成立. 理由略.

（3）[MC=2GH，GH⊥MC].

（4）AC = 1.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.