一道期末考试试题的“心”路历程

周志刚 谭宏志 (湖南省长沙市东雅中学 410125)

向量概念的建立，让我们有了“集数与形于一身的数学研究工具”，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁[1].而三角形是最简单的几何图形之一，其中蕴含着无穷的智慧.三角形的“四心”是平面几何的重要内容，当三角形的“四心”遇见了向量，彼此间将碰撞出智慧的火花.本文通过对一个期末考试试题的解法探究，充分挖掘试题的命制背景，并通过对试题进行一般化推广与拓展，得到了一些一般性结论.

1 试题呈现

此题是我校期末考试的压轴单选题，主要考查三角形的外心性质、解三角形中的余弦定理以及结合以及转化与化归思想，同时考查逻辑推理和数学运算能力，落实逻辑推理、数学运算等学科核心素养.试题需要综合运用所学知识解决问题，对学生的逻辑思维能力、转化与化归能力、运算与推理的能力具有较高要求.学生的实际得分率偏低，说明试题具有较好的区分度，是一道具备很好的选拔功能的单选题.

2 解法研究，“心”有灵犀

解法1基底法

图1

解法2坐标法

图2

3 试题溯源，心旷神怡

追根溯源，通过分析本题的命制背景，笔者从解法1中获得启示，发现本题在解决过程中利用了三角形外心的向量关系式：

简证如下：

笔者尝试解决如下：

设△ABC的外接圆半径为R，如图3，延长AO交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD，在AB上截取AE=CD,在AC上截取AF=BD.

图3

在△AED′和△CDB中，因为|ED′|= |AF|=|BD|,∠AED′=180°-∠A=∠CDB,|AE|=|CD|，所以△AED′≌△CDB,故 |AD′|=|BC|.

由此，我们就获得了解决这个问题的一般结论：

而此结论来源于一个很热门的向量“网红”题：

图4

4 变式拓展，心心相印

考虑到三角形中经常出现的“四心”，笔者尝试将问题依次迁移到重心、内心、垂心上，由此可以分别获得相应的结论.

(证明过程略)

图5

简证 考虑角A分别为锐角、直角和钝角的情况.

图6

通过进一步分析结论1—4中向量关系式里的系数，我们可以将结论统一为：

图7

(证明留给读者完成)

6 感悟过程，心向往之

哈尔莫斯曾说过：“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏.”解题教学是高中数学教学中一个核心环节.随着2020年高考评价体系的实施，高考命题已经从能力立意转变为价值引领、素养导向、能力为重，而这一变化势必会带来教师的教学方式与学生的学习方式的重要转变.如何在解题教学中帮助学生掌握知识与技能，提升能力与学科素养，正是一线教师亟需思考和解决的问题.

笔者在一线教学多年，对此也进行过深入的思考与研究.本次探究也是笔者日常解题教学的一个缩影.波利亚在《数学的发现》中的“教师十诫”里曾指出“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现它”，又说“要找出手边题目中哪些可能对解后来题目有用的特征——即设法揭示出隐蔽在眼前具体情形中的一般模型”，这些都指引我们在解题教学中要引导学生去思考、去发现，善于发现问题的一般模型，同时通过对问题的变式、拓展获得更大的解题价值，从而真正地提升学生的解题能力与数学素养.