一类双根式函数最值问题的探究*

庄 丰 (浙江省玉环中学 317600)

1 问题呈现

此题以平面向量知识为载体，考查向量模的最值.通过问题转化可以得到双根式函数，而求解该函数的最值具有一定难度，需要深度的思考.

2 解法探究

策略1 三角换元

评注运用三角换元能将根式问题转化为三角函数问题，再通过三角恒等变换解决问题，解题过程中应注意引入角度的范围.

策略2 构造图象

图1

图2

图3

评注根据根式结构特征，构造图象是重要的解题策略.解法2换元后构造椭圆，利用线性规划求解；解法3换元后构造圆，联想到向量数量积解题，方法直观、运算简便；解法4利用椭圆的定义求解最值，非常巧妙.

策略3 函数思想

评注运用函数思想解决根式问题，对于代数恒等变形及运算要求较高.解法5运用分子有理化的技巧，解法6应熟练运用复合函数求导公式.

策略4 妙用不等式

评注解法7运用基本不等式，将根式化为有理式，解题中运用了待定系数法，有一定的技巧.解法8先猜出答案，再转化为证明不等式恒成立问题，降低了问题的难度.

3 问题推广

我们将此类双根式函数问题一般化：

下面给出解答过程：

图4

通过解题发现，三角换元、构造图象、函数思想、妙用不等式是解决双根式函数最值问题的常用策略.解题中应善于联想激活知识，提升运算水平，思考问题的本质，将问题推广到更一般的形式，以充分体现数学中不断探究的理性精神.有兴趣的读者可以进一步思考，当双根式内是一元二次函数时问题该如何求解.