高观点在导数问题解决中的应用价值与常见错误*

陈俊阳 黄晓湄 (华南师范大学数学科学学院 510631)

1 引言

发生在20世纪初的“克莱因-贝利运动”是数学教育史上第一次重大数学课程改革运动，德国数学家克莱因出版的《高观点下的初等数学》是本次运动的重要产物之一.尽管这次改革以失败告终，但时至今日，仍不断有学者探索“从高观点的视角开展中学数学教学”的合适路径，并沿用了“高观点”这一说法.在本研究中，“高观点”是“高观点下的初等数学”的简称，界定为：运用现代数学与经典高等数学的知识、思想和方法，来分析和解决初等数学问题，突出思想和方法、强调理解和应用[1]，而不追求严格的证明和逻辑推理.这一定义与克莱因注重的“实用”思想相符.

在我国，关于“高观点”融入到中学数学的相关研究主要集中于解题研究和教学研究两个类别.其中，解题研究占比更多，主要是结合高等数学知识研究中学数学问题，例如拉格朗日中值定理、洛必达法则、柯西不等式和二次曲线等.然而，部分文章在运用高观点的过程中出现了错误，反映出部分教师运用高观点开展导数教学的过程中，可能也会出现类似错误.

函数不仅是现代数学最基本的概念，也是贯穿高中数学课程的主线[2].本文将以导数为对象，从例子出发讨论高观点在导数问题解决中的应用价值与常见错误，并给出相应的教学建议.

2 应用价值

2.1 有助于探索导数问题解决的思路和方向

由于高中导数问题是微积分部分内容的下放，相关试题往往是以微积分知识为背景编制的.因此，高观点有助于高效、快捷地探索导数问题解决的思路和方向，甚至可以由此获得问题的结论，在解题过程中只需要加上严格的推理论证即可.

例1(2021年八省适应性考试题22(2))已知函数g(x)=ex+sinx+cosx-ax-2，若g(x)≥0，求a的值.

本题的参考答案给出：当a<2和a>2时，g(x)≥0不恒成立，且a=2时，g(x)≥0恒成立，从而a=2.但不少教师和学生都产生疑惑：为什么以a=2作为讨论的分界点？这一解题方向是如何获取的？接下来的分析思路又是怎样的？下面从高观点的角度分析：

由此得到例1的答案应为a=2.解决思路为：当a=2时，证明g(x)≥0恒成立；当a<2时，在x<0部分找矛盾区间(使得g(x)<0)；当a>2时，在x>0部分找矛盾区间，进而解决此题.倘若不借助于高观点指引问题解决的方向和思路，本题参数a的讨论分界点难以找到，而且每种情形下的求解思路也难以获取，最终导致问题解决缺乏方向性.

例2(2014年福建理科题20(3))证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0,+∞)时，恒有cex>x2.

由此可见，将高观点运用到导数问题解决有助于探索问题解决的思路和方向，得到初步结论，再应用中学知识严谨地解决问题.

2.2 有助于挖掘中学数学问题的背景与原理

导数问题往往存在高等数学背景，运用高观点看高中数学问题有助于挖掘问题的背景及原理，探索问题的本质，便于问题的变式与推广.从高观点的角度看例1可知，其问题背后的原理可以抽象为一个命题：

命题1已知函数f(x)与其导数f′(x)均在定义域[x0,+∞)内连续，且f(x0)=0，则“x∈[x0,+∞)时f(x)≥0恒成立”的必要条件为“f′(x0)≥0”.

命题2[3]α>0，对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0,+∞)时，恒有cex>xα.

命题3 α>0，对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0,+∞)时，恒有lnx

以上借助了高观点挖掘问题的背景与原理，将问题原理抽象成命题，再将问题本身推广为更一般的命题.这样的抽象和推广既有助于培养学生的观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现能力以及创新精神，又能让教师洞察问题的本质，在教学中清晰地呈现这类问题的通性通法.

3 常见错误

3.1 用高中知识证明高等数学知识，导致证明过程缺乏严谨性

将高观点运用到导数教学时，部分教师试图基于学生的“最近发展区”，利用高中知识证明某些高等数学定理，特别是教学生“先证明，再使用”.但这既容易忽视高等数学知识体系的系统性和逻辑性，不利于学生构建良好的数学知识体系，又可能导致证明过程缺乏严谨性.如文[4]是一例仅用高中知识对洛必达法则的不严谨证明.

由此可见，试图用高中知识证明高等数学知识容易忽视高等数学知识体系的系统性和逻辑性，进而出现证明不严谨的情况，并且仅依靠高中知识难以察觉这一问题.

3.2 片面理解高等数学定理的条件或结论，导致逻辑推理缺乏严谨性

将高等数学知识(特别是定理)应用于导数问题解决，有助于探索解题思路和解决问题(见2.1)，受到了不少师生的青睐.然而高中生难以全面深刻地理解高等数学定理的条件或结论，导致逻辑推理缺乏严谨性.比如，不少文章运用拉格朗日中值定理解答2010年辽宁高考导数题，虽然答案正确，但逻辑推理过程并不严谨，见下例[5]：

例3(2010年辽宁理21)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)略；(2)设a<-1，如果对任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥ 4|x1-x2|，求a的取值范围.

上述解答运用了拉格朗日中值定理，将函数的割线斜率等价转化为切线斜率，进而求解.事实上，这一转化并非等价.

拉格朗日中值定理表明：对于一个连续可导的函数，任意一条割线都能找到一条与其斜率相等的切线，但其逆命题不为真，即对任何一条切线，未必能找到一条与其斜率相等的割线.比如g(x)=x3在x=0处的切线斜率为0，但它不存在斜率为0的割线.因此上述解答中“f(x)的割线斜率的绝对值大于或等于4”是“切线斜率的绝对值大于或等于4”的必要条件，但未必充分，由此得到的答案可能会出现漏解的情况，如例4(分析留给读者).

以上两例表明，片面理解拉格朗日中值定理、洛必达法则等高等数学定理的条件或结论，容易导致问题解决的逻辑推理缺乏严谨性.

3.3 机械运用高等数学定理解决问题，导致解题方法失效

部分学生运用洛必达法则、拉格朗日中值定理等高等数学定理解决导数问题后，体会到了高观点的便捷性，屡试不爽，从而在日后遇到类似的问题时反复考虑运用相应的定理去解决问题，过度“迷信”高观点，弱化了对通性通法的掌握.

从这一案例看出学生机械地应用拉格朗日中值定理去解决问题，并未认真地弄清问题、分析问题和解决问题；方法失效后，也未采取通性通法去解决，这便显得本末倒置了.

4 教学建议

4.1 借助高观点暴露导数问题解决的思维过程，剖析问题本质

对于具有高等数学背景的导数问题，单靠高中知识难以窥其全貌.因此，在解题教学中教师可以从高观点的视角暴露问题解决的思维过程，探索问题的深层结构，剖析问题本质，并适当地对问题进行变式与推广(如2.2节)，这是高观点对解题思维“第二过程”的暴露起到居高临下的作用的体现[6]，也有助于渗透问题解决的一般性策略与提升学生的数学思维品质[7].

4.2 采用“原理—例子法”引入高等数学定理，促使学生全面理解条件与结论

运用高观点进行高等数学定理教学时，教学对象通常为认知水平较高的学生，适合采用“原理—例子法”[7]，即通过丰富的正例和反例帮助学生全面理解定理的条件与结论.比如：在讲解拉格朗日中值定理时，为了促进学生理解并非任意一条切线都存在与之斜率相等的割线，可以提供若干反例，如f(x)=x3；同时让学生进行变式练习(如例4)，形成产生式[8].

4.3 回归高观点的本质，强调思想方法，不追求严格的证明

对于高中生而言，严格证明高等数学定理需要足够多的观念和较高的认知水平，往往难以接受或独立完成，并且容易出现难以察觉的错误.因此，教师应当把握“高观点”的内涵，强调现代数学与经典高等数学的知识、思想和方法，不需严格证明.如通过对例4的剖析让学生感受极限的思想；又如，通过对2017版新课标案例34(迭代计算问题)的探究，体会现代数学中的不同迭代方法——“牛顿切线法”“牛顿割线法”与“二分法”.