整合资源 突出本质 自然生成——以“三角函数的概念”的教学为例

曾庚平 (广东省佛山市禅城区教育发展中心教学研究室 528000)

随着《普通高中数学课程标准(2017年版)》的颁布和实施，不同版本的教材纷纷亮相并投入使用，教材的对比研究成为一个热点.为了顺利推进新课程改革，落实课标理念，教师应该广泛研读和比较不同版本的教材以及新旧教材，把握变化，取长补短，有效整合，创造性地使用教材，让课堂教学能够更加聚焦数学知识的本质，让学生能够经历知识自然而然的发生、发展过程.本文基于教材资源整合谈谈“三角函数的概念”的教学设计与思考.

1 教材比较分析

“三角函数”是继幂函数、指数函数和对数函数后研究的又一类基本初等函数，人教版实验教材和2019年A版教材(以下分别简称旧教材和新教材)的编写变化极为显著.旧教材从学生熟悉的锐角情形出发，分析了用终边上任意点坐标的比值表示锐角三角函数的合理性，接着采用最简单的情形——用终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数，再将这种单位圆的定义推广到任意角，建立三角函数的概念.最后，教材给出了例题“已知角α的终边经过点P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值”，并在边白呈现用终边上任意点的坐标表示三角函数[1].新教材从现实背景——“周而复始”的变化现象出发，经过理想化、简单化，化归为“如何刻画单位圆上作逆时针旋转运动的点的位置”，分析其中蕴含的变量间的对应关系，再用一般函数概念分析，得到“单位圆定义”.接着探究这样的定义方式与初中已经学过的锐角三角函数定义的关系.最后再以例题的形式证明了用终边上任意点表示三角函数[2].从概念本质看，新旧教材都是先用单位圆定义三角函数，再对概念进行推广；从知识产生的背景看，新教材从现实问题出发，抽象概括三角函数模型，更能突出函数是刻画现实世界变化的重要模型，且研究路径与幂函数、指数函数和对数函数基本一致.

北师大版教材将正弦函数和余弦函数的概念及其性质、正切函数分开在两节呈现，正、余弦函数的概念建构过程与人教版旧教材类似[3].这种方式将同一背景下产生的三个函数割裂开来，对于学生整体把握三类函数，后续统一研究诱导公式等内容带来不便.湘教版教材类比锐角三角函数的概念，直接用坐标比定义三角函数，并保留三角函数线，在介绍三角函数线中给出单位圆定义三角函数[4].这种定义方式对“取终边上任意一点得到的坐标比是相同的”没有进行严格证明，教材中仅分析了锐角情形，对一般情形没有说明.

2 教学目标设计

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的背景和概念，在教学提示中指出：三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质[5].基于教材比较分析和课标要求，制定以下的教学目标：

(1)知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学模型，在经历“周期现象——圆周运动——单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，获得研究对象，确定要研究的问题：单位圆上点P以A为起点作逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化情况.

(2)在分析单位圆上点的旋转中涉及的变量及其相互关系过程中，抽象对应关系，建立三角函数的概念，发展数学抽象、直观想象素养.知道一般函数概念中的对应法则既可以以代数运算为媒介，也可以以几何图形为媒介，加深对函数本质的认识.

(3)能从单位圆上点的坐标定义出发建立锐角三角函数与任意角三角函数的关系，能将三角函数的单位圆定义推广到终边上任意点(不与原点重合)的定义，体会数学知识的推广必须与原有知识相容的原则，发展逻辑推理、数学运算素养.

3 教学过程设计

3.1 创设情境，提出问题

引导语 我们知道现实世界中有许多循环往复、周而复始的变化，如四季交替、月亮圆缺、潮汐现象、物体做简谐运动时的位移变化、摩天轮转动等，这些变化规律称为周期性.函数是刻画现实生活中运动变化现象的数学模型，我们学过的幂函数、指数函数、对数函数能刻画这些周期性变化吗？

设计意图从现实情境中引出课题：建立刻画周期性变化的函数模型.提出问题引发学生的认知冲突：发现幂、指、对函数都没有周期性变化的规律，无法刻画周期性变化现象，让学生感悟学习新知识的必要性.

问题1圆周运动是一种常见的周期性变化现象，不失一般性，先研究单位圆上点的运动.如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，哪些量能够刻画点P的位置变化情况？

图1 图2

追问根据研究函数的经验，我们要利用直角坐标系，如何建系？

师生活动 学生独立思考、回答.为了研究方便，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，如图2.教师展示点P做圆周运动的动画，引导观察思考，发现在点P运动过程中，由OP逆时针旋转而成的角α、弧长、弦长、P的坐标都可以描述点P的位置变化.其中弧长、弦长，旋转的角本质上是一致的，并且角α便于描述点P旋转超过一周的情况，所以本节课研究用角α和点P坐标刻画点P的位置变化.

设计意图让学生经历从现实情境中抽象出要研究的问题的过程，获得研究对象，发展数学抽象素养.

3.2 分析问题，抽象概念

师生活动 由学生求出点P的坐标，教师引导学生总结求坐标的方法.

追问任意给定角α，它的终边与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？为什么？

师生活动 学生思考并回答，教师用几何画板向学生演示角α改变时点P坐标的变化情况，引导学生归纳总结出任意给定角α都能唯一确定点P的坐标.

设计意图从特殊到一般，从具体情境中归纳角α与点P的坐标的对应关系，为抽象三角函数的概念作铺垫.

问题3“任意给定角α都能唯一确定点P的坐标”与前面学习的哪个概念的表述类似，你能详细分析吗？

师生活动 生1：描述方式与“函数的概念”相似.

师：其中蕴含了哪些变量之间的对应关系？

生2：任意给定角α即任意给定一个实数，点P的横坐标和纵坐标都唯一确定，得到两个对应关系,

f：实数α(弧度制)对应于点P的纵坐标y，

g：实数α(弧度制)对应于点P的横坐标x.

师：生2说得很好！实际上这告诉我们，x和y都是α的函数.还能建立其它对应关系吗？

师：学生4考虑得很仔细.由此，我们得到第三个对应关系,

在单位圆上的点P作逆时针方向的旋转这个背景中，我们得到三个对应关系，这三个对应关系确定了三个函数.

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，

(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 sinα，即y=sinα；

(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

问题4三角函数的自变量是什么？定义域是什么？如何理解三角函数的对应法则？

师生活动 学生独立思考后填写下列表格：

三角函数自变量定义域y=sin αx=cos αyx=tan α(x≠0)

设计意图梳理三角函数的定义域、对应法则，有助于学生把握三角函数的本质，体会三角函数的对应法则是根据几何图形来确定的，感悟三角函数与幂函数、指数函数和对数函数的联系与区别，同时加深对一般函数概念的理解.

3.3 建立联系，辨析内涵

师生活动 教师带领学生画出图形(图3)，回顾初中锐角三角函数的定义，结合平面几何的知识，分析解决问题的思路.

图3

设计意图建立任意角三角函数概念与初中锐角三角函数概念的联系，体会新旧知识之间的相容性，也为下一环节的三角函数概念的推广作好铺垫.通过分析证明过程，培养学生的逻辑推理能力.

3.4 概念推广，加深理解

问题6如图4，α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r，如何表示sinα, cosα,tanα？

图4

师生活动 学生思考，教师引导学生思考以下问题：

(1)你能依据三角函数的定义作图表示 sinα,cosα吗？

(2)为了表示sinα,cosα,tanα，需要求出什么？(终边与单位圆的交点坐标P0(x0,y0))

(3)如何建立P(x,y)与P0(x0,y0)的关系?

理清思路后，由学生写出过程.

问题7问题6相当于给出了三角函数的第二个定义，你能给出这个定义并分析这种定义与“单位圆定义”的关系吗？

师生活动 学生讨论、交流、回答，教师进行点拨补充.第二个定义是用终边上任意点的“坐标比”定义三角函数.第一个定义(“单位圆定义”)类比幂、指、对函数，从现实情境中抽象出来，第二个定义是根据单位圆定义推导出来的，可以看成是第一个定义的推广；用第一个定义需要确定终边与单位圆的交点坐标，而第二个定义只需知道终边上任意一点(除原点O外)即可；第一个定义更简洁，突出三角函数的本质，第二个定义求解给定角的三角函数值时使用范围更广.

设计意图让学生体会从特殊到一般的研究思路，培养学生归纳总结概括的能力，培养学生回归“单位圆定义”思考问题的习惯，加深对三角函数概念的理解.

3.5 课堂小结，布置作业(略)

4 教学反思

4.1 研读不同教材，有效整合资源

4.2 一般观念引领，形成研究路径

所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用[6].在本节课之前，学生已经掌握了函数的一般概念，积累了幂函数、指数函数和对数函数的研究经验.函数的一般概念是一种基本的工具和语言，在前面的学习中，用这种语言去分析客观世界的变量关系和变化规律，抽象出了幂、指、对函数.三角函数的研究要充分利用这些已有的经验，以研究函数的一般观念形成研究的基本路径：现实背景——研究对象——对应关系的本质——定义——联系.当然，我们还要注意幂函数、指数函数和对数函数涉及的常量和变量较少，都能得到具体的解析式，这些解析式都有明确的运算含义，通过代数运算给出对应法则，而三角函数的概念中，单位圆上点的位置变化涉及的量比较多(坐标、角、弧长、弦长)，并且三角函数对应法则是根据几何图形确定的，所以需要细致分析，确定研究哪些变量的对应关系，反扣函数概念，明确三角函数的三要素.

4.3 问题引导思考，促进概念生成

问题是数学的心脏，是课堂教学过程中的灵魂.让思维从问题开始，思维活动又形成新的问题，这种递进式的问题引导着学生不断思考，为建构知识、发展思维提供脚手架.教学中所提出的问题要聚焦知识的本质、针对学生思维的最近发展区、有一定的发展性和开放性，才能促进学生思维的发展.通过问题引导学生独立思考、自主探究、展示交流，将学习的主动权交给学生.问题的设计以主问题+追问，预设问题+生成问题的“问题串”形式呈现.本节课以7个问题引导学生经历“现实背景——抽象研究对象——分析对应关系——形成定义——建立联系”的完整过程.通过问题启发学生归纳概括概念的本质，形成定义.通过问题引导探究单位圆定义与初中锐角三角函数定义的联系，将单位圆定义进行推广，逐步加深对概念的理解，体会数学概念推广的相容性原则，建立概念的多元联系.