基于学生思维训练的解题教学策略探究

田秀权 (江苏省常州市第一中学 213003)

1 问题提出

2022年新高考数学I卷坚持了“从能力立意到素养导向”的改革方向，但很多考生反映很不适应.学生的不适应从某个角度反映了高中数学教学还没很好地适应高考的要求，还没有把“立德树人，发展素养”的教育教学目标很好落地．解题教学是高三数学复习的主要课堂形式，对发展学生素养有着不可或缺的作用，如何在解题教学中提升学生能力，发展学生素养？基于学生认知水平、思维特点，致力于培养学生思维的解题教学是关键，脱离了学生思维训练的解题教学好比无源之水、无本之木，缺少活力和生命力！

2 基于学生思维训练的解题教学实施策略

解题教学不是简单的“告知”，而应该是在学生已有认知基础上有意义的建构，是发展学生思维的过程．部分教师过于强调“教师示范+学生模仿”，而对解题过程中隐性的思维活动缺少必要的关注和打磨，其作用充其量是帮助学生完善“题型库”，未能起到培养学生思维、提升学生数学素养等应有的教学功能．关于“基于学生思维训练的解题教学实施策略”，笔者在平时的解题教学中不断思考、摸索、实践，现谈几点感悟，供大家参考．

2.1 要“归类”讲评，也要变式拓展

试卷(作业)讲评时，教师常以知识或思想方法为主线进行归类讲评，这样更有利于学生巩固知识、提炼方法、感悟思想，但仅仅如此，学生的思维还是难以深入，高阶思维的形成更是空中楼阁；而基于学生思维的受阻点、能力的迁移点，进行纵向深入的变式拓展，则有益于方法的迁移、问题本质的挖掘和学生思维能力的提升．

案例1函数f(x)=x2-2x-4在区间[t,t+1]上的最小值g(t)的表达式为．

此为一轮复习时二次函数的作业里出现的一道题，笔者设计了如下3个变式拓展：

变式1 函数f(x)=x2-2x-4在区间[t,t+1]上的最大值g(t)的表达式为．

教学片断(由于篇幅限制，仅摘录“变式2”的教学实录)

图1

师：很好，分类清晰、讨论精准，这是研究分段函数的基本方法．

师：变式1的解法可概括为函数值大小与“点轴距”(点到对称轴距离)大小的转化，对你们有启发吗？(学生思考)

师：是吗？(故意拉长语气)

师：如何调整？

师：大家觉得怎样？

(学生小声讨论，有的频频点头，有的若有所思)

生3：我有疑惑，函数图象为什么有对称性？

师：是啊！我和你有同样的疑惑，谁能帮助我们一下呢？

师：生2，你能解释吗？

生2：我只是感觉对称，具体也说不清.

生4：因为y=x2-2x-4与y=x2-5对应的抛物线“开口”大小一样，故两抛物线可相互平移得到；又因为y=x2-2x-4(x>1)与y=x2-5(x<0)对应图象是抛物线的一半，所以图象是对称的！

(学生小声讨论，频频点头)

师：很好，问题解决了！(解法)还可以再改进吗？

生5：在①式的基础上，只需再增加限制条件

教学思考基于学生思维训练的变式拓展，要关注变式的系统性、层次性以及思维性，以变式引导学生思考，在拓展中感知问题本质，在解法对比中优化思维品质！

2.2 要科学预设，也要动态生成

叶澜教授讲：课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的行程．课堂上学生学习不是预约的，而是学生与教师及同伴思维碰撞、心灵沟通、情感融合的动态过程．课前的“精雕细琢”、科学预设固然重要，但仅仅如此，解题教学必有“以本为本、脱离学生”之嫌！解题教学还应重视学生“原生态”思维，“顺藤摸瓜”，积极促进知识、思想、方法的动态生成．

案例2已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(略)

(2)当a=e时，求证：xf(x)≤ex-2ex．

教学片断

师：是很复杂！那么导致复杂做不下去的原因可能是什么呢？

生2：可能是构造的函数不恰当．

师：有可能！大家再试试！

师：漂亮！变形后式子特点更明显，放缩也恰到好处！

教学思考数学课堂是一个充满活力的生命体，预设与生成之间的平衡与突破是个永恒的主题.预设体现对教学目标的把握，生成体现对学生的理解和尊重，预设体现教学的计划性，生成体现教学的动态与开放．我们必须正视，并以积极、开放、包容的心态去接受和驾驭课堂上的意外插曲，收获的往往是学生思维的自然流淌．

2.3 要讲通性通法，也要讲巧解特法

数学解题中，把适用面广、推理明晰、易被大多数人理解和掌握的解题方法称为通法；而把适用面窄、运算简、过程短且较难理解和掌握的方法称为特法或巧法．通法深刻、稳重、逻辑性强、思维脉络清晰；“巧法”则灵活、巧变、直觉性强、思维层次高．两者相互联系，辩证统一．解题教学时要两者兼顾.调查显示，相当部分的教师过于重“通法”而轻“巧法”，这样的教学对学生思维的灵活性、发散性、创造性的培养必定是缺失的．

A.当k=0时，f(x)是R上的减函数

D.若k=-1，则存在实数a，b，使得g(x)=f(x+a)+b为奇函数

教学片断(限于篇幅，仅摘录选项D的教学实录)

师：(通法)从定义视角，解法如下．

师：若函数图象中心对称，那么函数的定义域、值域和对称中心有什么关系？

生1：定义域关于对称中心的横坐标对称，值域关于对称中心的纵坐标对称.

师：能否从这个角度思考呢？

师：很好！这个做法简单、便捷，几乎没什么运算量．

教学思考从思维角度，过于强调通法，易造成思维定势、思维僵化，通法也就有可能成为“笨法”；从考试角度，通法可能导致“小题大做”．当下的全国高考卷有16道客观题，特别是多项选择题，每题有4个选项要逐一考虑，若有很多或全部的“小题大做”，势必导致时间上的紧迫．因此，通法诚可贵，巧法价亦高！

2.4 要思路分析、过程展示，也要解题反思

波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾和反思．”荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔也指出：“反思是数学思维活动的核心和动力．”解题反思不是解题过程的简单“复盘”，而是反思题目信息的提取、表征的转化、思维障碍的突破、方法选择的优劣，在反思中优化思维品质，提升思维能力．

案例4(2020年全国III卷理科第12题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c= log138，则( )．

A.a

C.b

教学片断(篇幅限制，摘录难点a和b比较的教学过程)

生1：我尝试用“作差”比较，但没做出来．

师：作差比较是基本做法．请问你为什么要用换底公式化简运算？

生1：把所有对数式化成“同底”.

师：为什么要化成“同底”？

生2：“同底”的对数可以进行运算.

师：什么运算？

生2：加减运算．

师：很好，请继续思考下去！(学生沉思)

师：漂亮！

师：太精彩了！还有什么想法？

师：再进一步用中间量的话，取什么值？

师：试试看！(学生探究)

师：非常好！接下来请思考以下几个问题：

反思1 比较b,c，蕴含了怎样的运算思想方法？

反思2 比较a,b，你在哪儿被“卡”了？

反思3 突破“受阻点”的方法是什么？

反思4 根据a,b,c的结构特点，能否再写出一个(或几个)数，且能比较其大小吗？

(限于篇幅限制，此处的课堂实录略)

教学思考解题反思是对解题活动的深层次思考，是进一步深化、梳理和提高的过程，是进一步开发解题智力的过程，是一个再发现和再创造的过程．反思解法，可使思维更灵活；反思问题特征，可使思维更广阔；反思规律，可使思维更深刻；反思条件结论，可使思维更具创造性！

3 基于学生思维训练的解题教学的思考

3.1 基于学生思维训练的解题教学要遵循最近发展区原则

维果茨基的最近发展区理论认为，跳一跳能够得着的知识是最能激发学生学习欲望，也是最能使得数学思维中的态度和品质得到强化、能力和方法得到深化的．学生发展区水平处于“现有发展区→最近发展区→潜在发展区”的动态循环，解题教学唯有明确“现有发展区水平”，找准“最近发展区水平”，才能助学生攀登“潜在发展区水平”．

例如案例1，学生的现有发展区水平是：掌握二次函数图象的对称性、单调性，具备数形结合的思想；最近发展区水平有3个层次：(1)抛物线对应的函数值大小与“点轴距”大小的转化(变式1)；(2)一般轴对称图形对应的函数值大小与“点轴距”大小的转化(变式2)；(3)非轴对称图形对应的函数值大小的转化(变式3)．三个变式，图形由特殊到一般，抽象性由低到高，难度逐层递进，最终实现提高学生读图能力、优化学生思维品质的目标．

3.2 基于学生思维训练的解题教学要关注思维品质的辩证统一

一位哲人说过：再好的东西如果“滥用”也是有害的．任何事物都必须辩证地看待，任何方法都必须辩证地运用．共性思维与求异思维，逻辑思维与直觉思维，集中思维与发散思维等，每一种思维品质都“各有千秋”，我们的解题教学不能顾此失彼，而应厘清关系、抓住关键、相互渗透、全面培养，让思维之花在高三数学解题教学课堂上完美绽放！

3.3 基于学生思维训练的解题教学要突出学生的主体地位

叶澜教授说：“把课堂还给学生，让课堂充满生机．”以思维训练为应然目标的解题教学，必定是以学生为中心的，教师只是课堂的组织者和促进者．课堂上学生的思考、展示、辨析、讨论、反思等活动是课堂的核心环节，教师一方面要舍得给时间让学生经历和体验，另一方面要有提“好问题”的功夫，比如：变式拓展、动态生成、解题反思，等等，学生思维的品质和解题的能力就是在这些活动环节中“润物无声”地生长的．