分数阶布朗运动下沪深300指数期权定价研究

殷怡韬，黄浩哲，马锦涛，吕一笑，王昊彬

（中国矿业大学，北京 100083）

一、预备知识

（一）分数阶布朗运动的定义[1]

设（Ω,F,P）为一个完备的概率空间，Hurst参数为H（0＜H＜1）的分数阶布朗运动是一个连续的高斯过程{BH(t),t≥0}={BH(t,ω);t∈R+,ω∈Ω}满足：

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0对 ∀t∈R+成立；

（二）长程相关性和均值回复性

说明未来的增量与过去的状态相互独立，此时分数阶布朗运动等同于标准布朗运动。

当通项取绝对值后，虽然可以得到正项级数，但是用一般的判别法不易判断，为了解决这个问题，引入如下引理：

令f '(u)=0，可得驻点u=0。由于α∈（0,1），则a-1＜0。

因此f(u)≥f(1)=0，当且仅当u=1时等号成立，则f(u)＜0对∀u＞0且u≠1恒成立，原命题得证。

二、期权定价模型

(一)模型假设

设（Ω，F,Ft，P）是一个具有流σ-的概率空间，BH(t)是分数阶布朗运动，Ft是BH(t)产生的σ-代数流。现在考虑某有效金融市场，满足下列条件：

1）标的资产价格服从几何分数阶布朗运动，即

其中，S(t)表示标的资产的价格，μ,σ均为常数，BH(t)表示Hrust指数为H的分数阶布朗运动；2）没有交易费用和税收；3）不存在无风险套利机会；4）利率r恒为固定常数；5）交易是连续的。

（二）分数阶布朗运动下欧式看涨期权价格公式

如果投资者对金融市场的风险无喜恶，那么期权的预期收益率就可以被视为无风险利率。则在风险中性测度下，服从几何分数阶布朗运动的标的资产的价格S(t)满足下列随机微分方程：

其中r为无风险利率，波动率σ为固定常数。进一步，可以得到标的资产的价格S(t)的解为

考虑一份标的资产t时刻价格为S，执行价为X，到期日为T的欧式看涨期权的价格，由参考文献[2]可知期权的公平价格为

三、实证分析

本文主要研究在分数阶布朗运动情形下沪深300指数期权的定价问题，首先对沪深300指数对数收益率进行正态性检验，然后假设沪深300指数收盘价格服从几何分数阶布朗运动，利用历史数据估计Hurst指数H，最后给出分数阶布朗运动下的沪深300指数期权的定价。

（一）正态性检验

选取从2019年8月22日到2021年5月7日的416个沪深300指数的收盘价数据，然后转化成对数收益率，并对对数收益率进行正态性检验（其中对数收益率，而Pt表示t时刻的沪深300指数收盘价），可以得到如下结果（图1）：

图1 对数收益率直方图与正态分布曲线

正态性检验的相关参数如表1所示

由实验结果，知沪深300的对数收益率的直方图与正态分布曲线并没有很好的拟合尖峰的特点非常突出；此外，由相关参数知沪深300的对数收益率是左偏的且峰度系数高达7.694480，明显大于3；J-B统计量的值也相当大，p值亦小于0.05；可以充分地拒绝原假设。综上分析，沪深300的对数收益率并不服从正态分布。

（二）参数估计

由3.1部分的数据检验可知沪深300指数的对数收益率并不服从正态分布，因此本文尝试用分数阶布朗运动刻画沪深300指数，即假设沪深300指数收盘价满足（2）式。下面利用重极差方法估计参数H。

1. 用重标极差（R/S）分析法[3]估计Hurst指数H。重标极差分析法是英国水文学家Hurst提出来的，是估计参数H的一种非常有效的方法，下面是R/S分析法的基本步骤。

输入长度为M的沪深300指数收盘价序列，并将其取对数做差分，变成长度为N=M-1的对数差分序列：

2. 将长度为N的对数收益率序列等分为A个小组，则每组有个数据，记这A个小组分别为Y1,Y2,,YA，且每个小组中的数据分别记为Xka（k=1,2， ，n,a=1,2,,A）。

5. 计算每个小组累积离差序列的极差

6. 计算每个小组的标准差

7. 计算每个小组的重标极差

8. 将得到的组重标极差取均值，可得每组含有?个数值情况下的重标极差

10. 选取2020年4月29日至2020年10月29日期间的收盘价对数收益率作为数据，用R/S分析法估计Hurst参数，运用Matlab软件，可算出Hurst指数为0.6216。

（三）估算其他参数

本文采取与文献[4]中类似的方法估计无风险利率和波动率。

1.无风险利率

沪深300指数期权交易日期间2020年Shibor的算术平均值为

2.波动率

计算2020年4月29日至2020年10月29日的对数收益率，预计波动率，可以用沪深300日对数收益率的样本方差，即，其中经计算，可得样本标准差σ= 0.0135，其年波动率。

四、模型的比较

此处选取的是2020年12月18日到期的沪深300指数，且初始时刻为2020年10月29日，因此，该期权的剩余期限为37天（交易天数），即。

沪深300指数的行权价格满足一定的要求，即对当月与下2个月合约：行权价格≤2500点时，行权价格间距为25点；2500点＜行权价格≤5000点时，行权价格间距为50点；5000点＜行权价格≤10000点时，行权价格间距为100点；行权价格＞10000点时，行权价格间距为200点；对随后3个季月合约：行权价格≤2500点时，行权价格间距为50点；2500点＜行权价格≤5000点时，行权价格间距为100点；5000点＜行权价格≤10000点时，行权价格间距为200点；行权价格＞10000点时，行权价格间距为400点。

选取的期权交易是从10月29日到12月18日，以10月29日的收盘价为标的资产初始价格、到期日的执行价格为4000，利率r，波动率σ，Hurst指数H分别为上文估计出的参数，可以计算出基于分数布朗运动期权定价公式与经典B-S公式的期权价格分别为785.93和787.46，显然两者的差异不太大，经典B-S公式的结果略微偏高。

为进一步比较，我们做整体分析，不妨设行权价格位于区间[2500，5000]，比较在该条件下两种模型下期权定价的情况，可绘制各个行权价格下对应的两种模型的期权价格（图2）。

图2 两种模型下期权理论价格比较图

可以看出，对于沪深300指数期权分数布朗运动模型下的期权价格和经典B-S期权价格在大部分行权价格范围内是比较接近的，除了小部分执行价格下存在小值波动。

表2 Delta的统计量

由上述数值不难发现，两者的近似程度是比较高的，这一方面说明经典B-S模型确实有可取之处，并有较高的参考价格，另一方面也说明模型总是或多或少地会存在偏差，下面通过改变参数σ和H比较两种模型。σ对期权价格的影响，在H=0.6216的条件下，通过改变σ的值，发现σ值越大，Delta总和越大；σ很小的时候，分数阶布朗运动下的期权价格比较贴近经典B-S模型下的期权价格，而σ值很大时，二者差距也越来越明显（图3）。

图3 模型结果偏差变化图

H对分数阶布朗运动模型下期权定价的影响，在σ=0.21条件下，且行权价为5000，H越大，期权价格越小，所以H=0.5时的期权价格（经典B-S模型下的期权价格）比H＞0.5时的期权价格大，两种模型下期权理论价格的偏差随H增大而增大（图4）。

图4 Hurst指数对期权定价影响图

综上分析，可知经典B-S期权定价会随着执行价格和波动率的增加而与分数阶布朗运动模型下的期权定价产生明显差异. 说明在波动率和执行价格较小时，在一个合理的误差范围内运用经典B-S期权定价公式仍然是可行的。在波动率和执行价格较大时，运用B-S期权定价公式进行定价会与真实值产生明显差异，此种情况应该运用其他合理模型进行估计。