学生核心素养培养的“可见”路径——以管小东老师执教的“圆柱与圆锥”为例

文| 胡华芳

（作者单位：南京市月华路小学）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）对培养学生核心素养内涵做出了概括，即会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。新西兰约翰·哈蒂的著作《可见的学习》这本书里对“可见的学习”中“可见”有这样的解释：“可见”首先指让学生的学对教师可见，确保教师能够明确辨析出对学生学习产生显著作用的因素。管老师的“圆柱与圆锥”正是学生核心素养可见的一节课，下面我先简单陈述案例，再以案例说说我对本课中学生核心素养“可见”的理解与思考。

【精彩回放】

一、导入

教师出示陀螺，引导学生学会用数学的眼光观察陀螺。

二、新课探究

1.切分陀螺，可以分成圆柱和圆锥。

2.利用经验判断生活中的圆柱和圆锥。

3.根据以往研究立体图形的经验研究圆柱的特征。

教师总结学生的回答，让学生通过看、听、摸等进行思考，即观察、操作和交流。

通过教师提供的材料，学生自主探究圆柱的特征：有两个底面、一个侧面，且上下一样粗细。

学生根据总结的特征判断腰鼓是否为圆柱。

4.以同样的方式研究圆锥的特征。

同样用提供的材料，学生自主判断出圆锥的特征：有一个顶点、一个侧面和一个底面。

在操作环节，教师见机引导，充分调动了学生的积极性和自主性。

5.利用圆柱大变样引出高。

教师对圆柱进行“高矮胖瘦大变形”，让学生说一说圆柱发生了什么变化。在高矮变形中引出高，从出示的牙签筒引导学生说出高的概念和如何测量，并拓展到圆锥的高。

6.根据提供的材料动手做一个圆柱。

材料一：一张长方形纸和两个同样大小的圆纸片。

材料二：一些大小相同的圆形纸片。

7.通过演示旋转体获得圆柱和圆锥。

给出几个学过的平面图形：长方形、三角形、梯形等，想办法得到今天学习的立体图形。

三、走进生活

教师引导学生学习生活中的“圆柱与圆锥”。

四、回顾反思

【赏析反思】

一、会用数学的眼光观察

新课标指出，数学为学生提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。通过数学的眼光，我们可以从现实世界的客观现象中发现空间形式，抽象出数学研究对象及其属性。本节课是图形与几何领域的内容，通过对现实物体陀螺的抽象，得到了两个研究对象——圆柱和圆锥；通过对圆柱和圆锥的直观观察和动手实践，学生初步感知圆柱和圆锥的特征及高的含义。

（一）看得见的经验——直观感知

知识来源于丰富的现实原型，与现实生活紧密相连，这就要求学生学会用数学的眼光进行观察。管老师从学生熟悉的陀螺入手，让学生用数学的眼光重新认识陀螺的外形，学生很容易发现它可以看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体。接着出示生活中常见的圆柱和圆锥形物体，让学生判断。通过对现实的圆柱和圆锥的直观感知，学生初步认识了圆柱和圆锥，直观感知了圆柱和圆锥的空间形式。

（二）看得见的特征——观察判断

观察是一种有目的、有顺序、相对比较持久的视觉活动。观察之前，教师要指导学生观察方法，提高学生的观察能力，发展空间观念。课中，管老师提问：“根据以往研究立体图形的经验，你可以从哪些角度研究立体图形？”随后又引导学生说一说研究方法有什么。学生认为可看一看、动手摸一摸等。教师随后指出用眼睛看一看实际就是观察。通过观察，学生得出圆柱的部分特征，有三个面，两个底面是大小相同的圆形，一个侧面是曲面。通过观察，学生把对圆柱的直观感知变为圆柱的定性特征，这样更有利于学生判断圆柱。而这样的观察结果在教师的预设内，因为学生说得不是很全面，所以管老师出示了腰鼓（见图2）。腰鼓满足学生说的圆柱的一切的特征，可是它不是圆柱，从而让学生认识到圆柱还有一个重要特征就是“上下一样粗细”。这里的设计让我们感受到了管老师做了学情调查，能够预设这样的一个环节，同时当学生没有说出来时，也不是直接告知，而是用一个反例去引导学生自己去观察、发现。认识了圆柱的特征后，当管老师出示金箍棒让学生判断底面和侧面时，学生就很容易了。其实金箍棒是圆柱的一种变式，打破了学生对圆柱的固有印象，为后面游戏环节“圆柱大变样”做了很好的铺垫。

图2

（三）看得见的“高”——度量定义

对于圆柱的高的讲解，管老师设计得很巧妙。他通过“游戏大变形”不仅巩固了圆柱的特征，也通过高矮胖瘦的变化，让学生认识到圆柱是有高的。可是学生只能直观感知圆柱的高矮，但是高到底在哪儿呢？这里管老师一反常规，没有先告知学生圆柱高的定义，而是直接让学生测量圆柱的高。通过用直角三角尺的直角边进行垂直测量，学生能够准确地理解圆柱的高。这里管老师选择了相信学生，相信他们能理解圆柱的高。接着，管老师出示牙签筒（见图3），里面竖直放着很多牙签。学生说：“牙签的长度不就是牙签筒的高嘛！”通过这个环节的设计，圆柱的高变得可见了。学生能直观看见两个底面之间的距离就是牙签的高度，而且这样的高有很多条。

图3

二、会用数学的思维思考

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。通过数学的思维，我们可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑关系。本节课通过给定的素材，让学生创作一个圆柱，创作过程就是学生经历数学“再发现”的过程，从而让学生理解圆柱和圆锥可以通过平面图形旋转或叠加而成。

（一）思维可见的操作——素材创造

空间观念的建立需要引导学生进行具体的操作活动，通过拼一拼、搭一搭等活动过程的多感官的协调作用，让学生对具体对象形成相应的空间表象，获得对几何知识和方法的理解，建立和发展空间观念。

在“我能做圆柱”这个环节中，教师提供什么样的素材直接反映了教师如何教、学生如何学。素材的选择和创造使教师和学生的思维都变得可见。这里管老师选择了呈现两种做圆的素材，一种是给学生同一个圆柱的三个面，让他们自己拼。另一种就是许多大小一样的圆形纸片。学生运用第一种素材时，管老师提问：“这种办法在做的时候要注意什么？”因为长方形卷成圆柱的侧面有两种方式，一种是长做底面周长，一种是宽做底面周长。学生发现只有长做底面周长时才能围成圆柱。通过提问，管老师引导学生发现底面周长和侧面展开的长之间的关系，为后面学生计算圆柱表面积做了铺垫。而另一种圆片的累积的过程是对圆柱特征的进一步巩固。同时，我觉得这里其实也是管老师为后面的提问留下的伏笔。后面的教学中，管老师提问：“一个圆形纸片，你能想办法创作一个圆柱吗？”其实刚刚圆片的累积，已经为从平面图形向空间图形的转化提供了一种思路，当一个圆片做上下平移时，就可以形成圆柱，为后面长方形旋转形成圆柱等建立了平面图形和空间图形的联系，让学生了解了空间图形可以以平面图形运动而形成。虽然这里课堂中没有体现出来，但是我觉得这是管老师的精心设计。只是课堂是一个不断生成的过程，教师应随着学生的反应做出适当的调整。

（二）思维可见的想象——运动推理

数学想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中不可缺少的环节。圆柱和圆锥甚至实际生活中常见的陀螺等空间图形或物体，其实都是可以由平面图形运动而形成的。这样的设计突破了二维和三维之间的界限，让二维的平面图形和三维的空间图形建立了联系。比如，长方形围绕长或者宽旋转一周可以形成不同的圆柱，直角三角形沿着两个直角边旋转可以形成两个不同的圆锥。而直角梯形，沿着它的下底旋转一周就是课堂一开始的陀螺。这样的过程，教师首先让学生自己在头脑中想象运动的轨迹，说一说最后形成的立体图形，然后再通过动画呈现运动轨迹，佐证学生的想象，让学生的想象力变得可见。

三、会用数学的语言表达

新课标指出，数学为学生提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。通过数学的语言，我们可以简约、精确地描述现实情境中的空间形式。本课学生从点、线、面出发对圆柱和圆锥这两个立体图形的特征进行了简洁而准确的概括。

（一）可见的引导表达——研究方法

在学习圆柱和圆锥之前，学生已经有很多学习平面图形和立体图形的经验。那么学生就会运用以前研究图形的方法研究圆柱和圆锥。但是学生往往会做但不会说，并不是他们不知道，而是他们不擅长用简洁、准确的语言来概括这些研究方法。管老师在借班上这节课时，提问：“研究方法有哪些？”学生一时没有反应过来，于是管老师及时引导：“你一直在扶着眼睛，可以用眼睛——看。”借机让学生概括在数学上这个方法叫“观察”。接着学生的手就都举起来了，管老师评价：“一启发大家就开始动脑筋了。你们也可以用手摸，也就是——操作。你看，还有同学咧嘴笑呢，所以你们也可以用嘴交流。”通过引导学生用感官感知，交流得到研究立体图形的方法有观察、操作和交流。

（二）可见的引导交流——团结协作

借班上课，学生开始都有一个适应阶段。而这个适应的时间是比较短的，教师怎样在这么短的时间里调动学生的表达欲是一个极大的挑战。在这节课上，我看到了管老师驾驭课堂的魅力，看到他恰到好处而又不刻意地引导、表达，逐步调动起学生的学习热忱，这让人很钦佩。比如，在小组汇报圆柱的特征时，学生第一次合作说得不够全面。管老师引导学生说：“可以问问其他的同学，有补充吗？”当学生补充后，他又引导：“你们刚刚都说了圆柱有三个面，其中圆柱的上下底面是一样的？你们是怎么判断它们是一样的？”这时汇报的那个学生想回答，但管老师为了引导更多的学生去回答，他对这个学生说：“等等，你帮我喊人。”接着研究圆锥时，他引导学生说：“刚刚我们研究了圆柱，现在谁能介绍圆锥？刚刚请了一个男孩，这里我们可以请一个女孩。”这一系列引导，逐渐调动各类学生的学习热情。在后面的学习中，我们发现，学生不再拘束，变得敢于表达自己，生生配合得也越来越好。

从整节课中我们可以看出，管老师的教学一直注重让学生核心素养达成之路可见，能清晰地看出学生是如何获取知识、理解知识和升华知识的。这个学习核心素养可见的过程中，学生对学习抱有极大的热情，自主自发地去学习。这节课给我们指明了图形与几何领域如何更好地培养学生的核心素养，让学生的学习历程可见，并确保教师朝着探索学生、发展学生的核心素养的方向努力。