如何培养学生的函数几何直观能力——以“二次函数的图象与性质”为例

文| 丁明亮

在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中，几何直观是初中阶段数学九个核心素养之一。几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径。

一、教材分析

“二次函数的图象与性质”教学内容隶属于九年级上册第二十二章“二次函数”。“二次函数”章节内容设置具体围绕深化函数数学概念认识的层面。

“二次函数”章节教学内容由三部分构成，分别为“二次函数的图象和性质”“二次函数与一元二次方程”及“实际问题与二次函数”。“二次函数的图象与性质”这一小节内容是章节教学的最初始阶段，学生需要通过这一小节内容的学习，对函数的基本性质进行深入的理解，由此为学生在后续学习中科学认识函数与方程式之间的关系以及函数在实际问题中的应用奠定基础。从函数知识教学的整体来看，“二次函数的图象与性质”可以作为函数基础理论知识教学的总结与函数实际应用教学的开端，在函数知识教学体系中起着承前启后的作用。

二、学情分析

“二次函数的图象与性质”是九年级上册的教学内容，在“中考”中，函数知识是重要的考点。无论是教师还是学生，对函数知识学习的重要价值都有充分的认知，学生对函数知识学习的积极性可以得到充分保证。但是，进入二次函数知识学习阶段，难度陡增。在学习难度大幅度提升的情况下，有相当一部分学生会在学习过程中产生畏难情绪，影响学习效果。

三、教学目标

1.能够正确运用描点法绘制二次函数图象；能够运用函数图象研究分析二次函数的性质。

2.经历探索与发现二次函数图象特点与性质的完整过程；在学习中充分体会数形结合思想在教学中的应用。

3.在学习中完整经历观察、推理与合作交流的过程，通过知识学习积累数学问题研究与合作交流学习经验；体验数学学习中的探索性与创造性；积极参与二次函数学习探索活动，深入体验二次函数是描述现实生活的重要模型。

四、教学重点与难点

教学重点：精准绘制二次函数图象。

教学难点：通过二次函数的表达式推断图象的性质，深刻体会学习中数形结合思想的应用。

五、教学流程

（一）复习以往所学知识，引入新知识

1.看一看以下哪些函数是二次函数？哪些函数是一次函数？

①y=3x-1；②y=2x2+7；③y=x-2；④y=（x+3）2-x2；⑤y=3（x-1）2+1

2.以往在一次函数知识学习中，你运用哪种方式绘制函数图象？

（设计意图：在“二次函数的图象与性质”的导入环节，一共为学生提出两个问题。问题1 中，具体向学生出示了多个函数，让学生判断这些函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数。有关一次函数的知识学生已经通过八年级下学期的数学学习有相对比较充分的了解，因此学生能够从给出的函数中找到其中的一次函数，而其他不符合一次函数判定标准的函数则为本节课教学中提到的二次函数。这一问题设置，能够引导学生直观对比一次函数与二次函数的差异，在带领学生回顾以往所学知识的基础上形成对课堂新知的初步认识。第二个问题可以具体引导学生回顾一次函数图象的绘制方式，建议学生采用列表、描点、连线的方法绘制函数图象，以此提出新的问题，即是否可以沿用这一方法进行二次函数图象的绘制，由此引出本节课后续的教学活动。）

（二）课堂教学活动

★课堂教学活动1

1.函数图象绘制方法介绍。

活动中，教师利用班级中的多媒体设备，以可视化形式向学生展示二次函数图象的形态与具体画法。首先根据函数y=-x2的x 与y 的不同数值在平面直角坐标系中标注x 与y 坐标的各个点的坐标，之后再使用平滑曲线将各个点位连接到一起，最终能够得到y=-x2的图象。所绘制图象及数值列表如图1所示：

图1

画二次函数y=-x2的图象：

①列表：

?

②描点、连线：

2.根据函数图象提出问题：图象形式类似于什么？

3.引出课堂教学中的一般概念：抛物线、抛物线的对称轴、顶点。

（设计意图：基于这一设计思路，教学活动1 中要求学生绘制二次函数y=-x2的图象，并围绕这一基本任务设置三项活动环节。活动环节设置中通过信息化教学技术应用，首先让学生对二次函数图象的绘制方法形成更加明确的认识，而后的教学环节中，再根据函数图象内容提出问题，最终引出二次函数图象相关的抛物线等数学概念。）

★课堂教学活动2

2.教师使用多媒体设备向学生展示两个函数图象正确的绘制过程，让学生通过对比了解自己函数图象绘制中的具体问题。正确的图象如图2所示。

图2

4.引导学生以合作探究的形式归纳总结上述三个函数图象的共同点与差异。函数图象的共同点具体有：所有的函数图象都呈现抛物线形式；函数图象除顶点之外都位于x 轴的下部；所有函数图象的开口都朝下；所有函数图象均以y 轴为对称轴；函数图象均以坐标系原点为顶点，而函数差异体现在图象开口的大小不同。

5.教师根据学生的自主学习结果，向学生明确上述函数中的限定条件，即函数y=ax2中系数a＜0 时，系数a 的值越大，图象开口就越大。

（设计意图：在本次课堂教学中，二次函数图象与性质是课堂教学的重点与难点。为降低学生的学习难度，在教学活动设计中先引导学生根据活动1中了解的二次函数图象绘制方法自行绘制函数图象。由此能够充分锻炼学生的动手能力。此外，在选择学生函数图象的作品中，侧重于选择班级中知识基础较差学生的作品，因为从这些学生的作品中更容易发现问题，便于引导学生进一步思考二次函数图象绘制的方法。而后，通过引导学生观察自己绘制的函数图象，让学生得以在课堂学习中进行深入的自主学习活动，由此促进学生对二次函数图象与性质的深入认识。）

★课堂教学活动3

2.教师巡视学生的函数图象绘制过程，提供必要指导，并从中选择优秀的作品，供后续研究函数图象性质使用。

3.教师通过多媒体设备展示上述函数图象的正确画法，并引导学生观察图象，与其他学生合作交流总结归纳上述函数图象的共同点与差异。与y=x2图象的正确绘制方法如图3 所示。

图3

根据函数图象内容，总结归纳各个函数图象的共同点，具体包括：所有的函数图象都呈现抛物线形式；函数图象除顶点之外都位于x 轴的上部；所有函数图象的开口都朝上；所有函数图象均以y 轴为对称轴；函数图象均以坐标系原点为顶点，而函数差异具体为图象开口的大小不同。

4.教师根据学生自主学习结果，向学生明确上述函数中的限定条件，即函数y=ax2中系数a＞0 时，系数a 的值越大，图象开口就越小。

（设计意图：沿用活动2 的设计思路能够让学生在活动3 中直接借用上一项活动中的学习经验，从而保证学生在这一环节中的学习效率。与此同时，通过连续两项教学活动设计，能够有力推动学生自主学习意识与团队协作意识的发展，为学生的学习经验积累提供有力支持。）

★课堂教学活动4

1.教师通过多媒体设备，向学生出示抢答题目，组织学生开展课堂知识竞赛，给予优胜者奖励，营造班级学生间的竞争氛围。

2.组织学生自主编题，相互之间进行二次函数图象与性质的知识竞赛。

（设计意图：此项教学活动的设计，具体抓住初中生普遍存在的竞争心理。初中生思维发展极度活跃，对于竞争有着十分浓厚的兴趣。因此，教师通过竞赛类型活动的设置，能够充分激发学生对课堂知识学习与回顾的积极性，并让学生在活动中感受胜利的喜悦，由此提升学生数学学习的兴趣。此项教学活动设计中还设置了学生自主编题项目，引导学生在竞争氛围中锻炼自身对二次函数图象与性质知识的实际应用能力。）

六、教学反思

本次案例教学设计总体上可以分为两部分，其一，案例教学设计中通过对教材以及学生情况的分析，充分明确案例教学设计的侧重点以及设计思路，并根据教材与学情分析内容，科学制订各个维度教学目标，明确案例教学中的重难点，为案例教学活动的具体开展奠定稳固的理论基础。其二，案例教学活动的具体设计。案例教学设计可以进一步细分为课堂导入环节与正式教学活动两个部分。课堂导入环节设计中，以问题直接引导学生在课堂学习中联系以往所学，帮助学生在学习中实现知识迁移，辅助学生开展有效的课堂学习。而在之后的课堂教学活动设计中，具体以引导学生自主学习为核心。而为达成这一目的，在课堂教学活动的初始阶段，本次案例设计根据数形结合思想，使用多媒体设备帮助学生直观了解二次函数的绘制方法，并借此引导学生在课堂学习中自主绘制二次函数图象，以此为基础开展二次函数性质的探索。案例教学能够让学生通过课堂学习对二次函数图象与性质的自主探索过程形成深入了解，并将这一探索过程转化成学生数学实际学习经验。