局部道路连通空间的性质

2023-02-24黄瑞

通化师范学院学报 2023年12期

黄瑞

在拓扑学中，与“连通”相关的拓扑空间有很多，如本科阶段点集拓扑教材会重点介绍的连通空间、局部连通空间和道路连通空间，而局部道路连通空间教材一般只是简单介绍或直接放在课后习题中.

学者也对相关此类问题进行研究，如田苏妹［1］研究了强连通空间和局部强连通空间.郑春燕［2］研究了局部强序列连通空间.王小霞［3］研究了局部δ-连通空间.汪贤华［4］研究了局部θ-连通空间等等.局部道路连通空间与局部连通空间的定义非常相似，同时它们也有一些相似的平行性质，文献［5-9］研究了它们的性质，包括等价刻画、拓扑不变性质、有限可积性质等.

基于已有的研究，本文首先研究了拓扑空间道路连通分支的性质，指出道路连通分支与连通分支之间的关系，即拓扑空间连通分支的道路连通分支就是这个拓扑空间的道路连通分支.随后，不同于文献［6］的方法，证明了局部道路连通空间的连通分支与道路连通分支等价，局部道路连通性对开子空间可遗传等.还证明了局部道路连通性是可商性质，并给出点集拓扑教材中的上述四个拓扑空间之间蕴涵关系不成立的例子.文章中的概念和符号均可见文献［7］，文中不再一一说明.

1 预备知识

定义1［7］设X是一个拓扑空间，x，y∈X.若X中有一个连通子集同时包含x和y，则称x，y在X中是连通的.

定义2［7］设X是一个拓扑空间，x，y∈X.若X中有一条从x到y的道路，则称x，y在X中是道路连通的.

引理1 若y1，y2在拓扑空间X的子空间Y中是（道路）连通的，则y1，y2在X中是（道路）连通的.

证明由定义1 可知，连通的情形显然成立，下面证明道路连通的情形.

设f是Y中从y1到y2的道路，则存在连续映射f:[0,1] →Y，满足f(0) =y1，f(1) =y2.

构造映射g:[0,1] →X，满足∀t∈[0,1]，f(t) =g(t)，则g是X中从y1到y2的一条道路，即y1，y2在X中是道路连通的.

引理1 的逆不成立.例如1，5 在实数空间中是（道路）连通的，但1，5 在实数空间的子空间Y=（0，2）∪（4，6）中却不是（道路）连通的.

根据引理1 得到定义2 的等价定义.

定义3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X.若X中有一个道路连通子集同时包含x和y，则称x，y在X中是道路连通的.

由定义1 和定义3 可以推出，拓扑空间中点的道路连通关系蕴涵点的连通关系.

引理2［9］设(Y,Γ|Y)是(X,Γ)的开子空间，V⊂Y，则V∈Γ⇔V∈Γ|Y.

引理3 设Y是拓扑空间X的开子空间，y∈Y,U⊂Y，则U是y在X中的邻域⇔U是y在Y中的邻域.

引理4 设{Aγ}γ∈Γ是拓扑空间X的道路连通子集构成的一个集族. 若则是X的一个道路连通子集.

2 道路连通分支的性质

定理1 设D是拓扑空间X的一个道路连通分支，则

（1）若Y是X的一个道路连通子集，且Y∩D≠∅，则Y⊂D.

（2）D是X的道路连通子集.

证明（1）取a∈Y∩D.∀y∈Y，则X中的道路连通子集Y同时包含a，y，根据定义3 得到a，y在X中是道路连通的.又a∈D，因此得到y∈D.

（2）∀x，y∈D.由定义3，X中存在一个道路连通子集Yxy同时包含x，y.显然有Yxy∩D≠∅，应用定理1 的（1）得到Yxy⊂D.最后根据引理1 得到x，y在D中是道路连通的，因此D是X的道路连通子集.

（道路）连通分支是拓扑空间中“极大”的（道路）连通子集，即拓扑空间的任意一个（道路）连通子集必定完全含在拓扑空间的某一个（道路）连通分支中.拓扑空间的连通分支一定是闭集，但道路连通分支未必是闭集.

例1 在欧氏平面R2中，令则S、T和T*都是R2中的道路连通子集. 令S1=S∪T，文献［3］指出S1是连通的，但不是局部连通的，也不是道路连通的.易见S1的道路连通分支是S和T，而=S1，因此S1的道路连通分支S不是闭集.

令=S∪T∪T*.应用引理4，是R2中的道路连通子集，但是在T- {(0,0)}中的每一个点的任何一个不包含(0,0)点的邻域不连通也不道路连通，因此既不是局部连通的也不是局部道路连通的.

定理2 设D是拓扑空间X的连通分支C的一个道路连通分支，则D也是拓扑空间X的道路连通分支.

证明根据定理1 的（2）可得，D是C的道路连通子集，因此D也是拓扑空间X的一个道路连通子集.不妨设D含在X的道路连通分支D*之中，即D⊂D*.

由定理1 的（2）可得，D*是X的一个道路连通子集，从而D*也是X的一个连通子集.

易见D*∩C⊃D∩C=D≠∅，由连通分支是极大的连通子集可得D*⊂C.将D*看成C的道路连通子集，D*∩D=D≠∅，再根据定理1 的（1）得到D*⊂D.

综上，D=D*.

推论1 拓扑空间中道路连通的连通分支同时也是这个拓扑空间的一个道路连通分支.

定理3 设X是拓扑空间，X的道路连通分支D必定含在X的某个连通分支C中，即D⊂C，且D是C的一个道路连通分支.

证明由定理1 的（2）可得，D是X的一个道路连通子集，从而D也是X的一个连通子集，因此存在X的连通分支C，D⊂C.下面证明D是C的一个道路连通分支.

将D看成C的道路连通子集，不妨设D含在C的道路连通分支D*之中，即D⊂D*.易见X的道路连通子集D*满足D*∩D=D≠∅，因此得到D*⊂D.

综上，D=D*.

定理4 拓扑空间的道路连通分支就是该空间连通分支的道路连通分支.

定理5［9］拓扑空间中既开又闭的非空连通子集是连通分支.

定理6 拓扑空间中既开又闭的非空道路连通子集是连通分支也是道路连通分支.

证明设A是拓扑空间中满足定理条件的子集，则A满足定理5 的条件，因此A是这个拓扑空间的连通分支.又因为A是道路连通的，所以由推论1 知结论成立.

3 局部道路连通空间的性质

定理7 局部道路连通性对开子空间可遗传.

证明设y是局部道路连通空间X的开子空间Y中的任意一个点，U是y在Y中的任意一个邻域，由引理3 可得，U也是y在X中的一个邻域.根据局部道路连通空间的定义，y在X中存在道路连通邻域V，V⊂U⊂Y.再由引理3 可得，V是y在Y中的道路连通的邻域，且V⊂U，因此Y是局部道路连通空间.

定理8 设X是拓扑空间，X是局部道路连通空间⇔X的任意开集的任意道路连通分支是开集.

证明必要性. 设D是X的任意开集U的任意一个道路连通分支,下面证明D是X中的开集.∀x∈D⊂U，则U是x在局部道路连通空间X中的一个开邻域，于是x在X中存在一个道路连通邻域V，x∈V⊂U.将V看成U中的道路连通子集，V∩D≠∅.根据定理1 的（1），V⊂D，从而得到D是x在X中的一个邻域.因此，D是X中的开集，再由引理2 得到D也是U中的开集.

充分性.∀x∈X，设U是x在X中的任意一个邻域，因此存在X中的开集V，x∈V⊂U.作V的道路连通分支，不妨设x在V中所在的道路连通分支为D，则x∈D⊂V⊂U.由条件知D是X中道路连通的开集，因此D是x在X中的道路连通邻域，且D⊂U，最后由局部道路连通空间的定义知结论成立.

定理9 在局部道路连通空间中，连通分支与道路连通分支等价.

证明道路连通分支对拓扑空间作了一个“划分”，即拓扑空间等于若干个两两无交的非空道路连通分支的并.应用定理1 的（2）和定理8 得，局部道路连通空间的道路连通分支满足定理6 中的条件，再由定理6 和定理4得结论成立.

推论2 在局部道路连通空间中，点的连通关系与点的道路连通关系等价，连通性与道路连通性等价.

定理10 设f是从拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射，D是Y的道路连通分支.∀x∈f-1(D)，记x在X中所在的道路连通分支为Dx，则Dx⊂f-1(D).

证明假设存在∈Dx，∉f-1(D). 易见x,∈Dx，由道路连通性是在连续映射下保持不变的性质得，f(Dx)是Y中同时包含f(x)、f()的道路连通子集.

又由于f(x) ∈f(Dx)∩D，即f(Dx) ∩D≠∅.根据定理1 的（1），f(Dx) ⊂D，由此得f(xˉ) ∈D，这与假设xˉ∉f-1(D)矛盾.

定理11 局部道路连通性是可商性质.

证明设（X R，ΓR）是局部道路连通空间（X，Γ）相对于X中的等价关系R而言的商空间.U是（X R，ΓR）的任意一个开集，DU是U的任意一个道路连通分支.根据定理8，要证明商空间（X R，ΓR）是局部道路连通空间，只需证明DU∈ΓR即可.由商空间的定义得DU∈ΓR⇔P-1(DU) ∈Γ，其中商映射P是自然投射P:(X,Γ) →(X R,ΓR).

不妨把商映射P在X的子集P-1(U) 上的限制仍然记作P，则P:P-1(U) →U也是一个连续映射.∀x∈P-1(DU)，记x在P-1(U)中所在的道路连通分支为Dx. 应用定理10 得Dx⊂P-1(DU).

P-1(U) 是局部道路连通空间X的开子空间，由定理7 得拓扑空间P-1(U)也是局部道路连通空间.再由定理9 得，P-1(U)的每一个道路连通分支Dx都是P-1(U)中的开集，从而得P-1(DU)是X的开子空间P-1(U) 中的开集.最后根据引理2 得，P-1(DU)也是X中的开集，即P-1(DU) ∈Γ.