部分信息下时滞倒向重随机系统线性二次最优控制问题

许 洁，张 瑞

现实生活中常会出现信息不完全性的现象，由于受到外界噪声干扰导致人们往往无法观测到系统的全部状态，控制者只能根据已经掌握的部分信息作出决策，因此部分信息下的最优控制问题具有重要的理论价值和现实意义［1-5］.孙艳艳［6］研究了一类部分信息下的不定随机线性二次系统，并利用分离性原理解决了完备信息下的最优控制问题.金菁［7］研究了由Lévy 过程驱动的随机递归线性二次最优控制问题，得到了随机递归线性二次最优控制问题的最大值条件和最优反馈形式，并将问题扩展到部分信息的情况.WANG等［8］研究了一类具有递归效用的时滞随机系统在完全信息和部分信息条件下的线性二次最优控制问题，得到了时滞问题的开环最优控制的显式表示.王维峰等［9］研究了一类部分可观测的倒向重随机控制系统，对状态变量和伴随变量进行了相应估计，可用于解决金融、生物、工程等学科的相关问题.吴霜［10］研究了一个倒向随机微分时滞方程的最优控制问题，得到了最优控制满足的充分条件，并应用到一个最优消费选择中.杨依芸等［11］研究了部分信息下带跳线性二次平均场类型的二人零和微分对策问题，给出了相应最优控制的反馈表示.受上述研究成果的启发，该文尝试对部分信息下的时滞线性系统二次最优控制问题进行探索，对此时系统对应的最优控制的形式进行刻画.

1 预备知识

1.1 符号说明

首先给出本文需要的一些符号.令（Ω，F，P）为完备概率空间，{W(t)}t≥0，{B(t)}t≥0为两个相互独立的标准布朗运动且分别取值于Rd，Rl中.令N表示F的所有P零测集.对于每个t∈[0,T]，令Ft是Gt的子σ-代数，即Ft⊂Gt.定义且令M2(0,T,Rn)表示为(dΡ⊗dt a.e)所有Ft可测量的n维随机过程的集合，且满足表示所有Ft-可测且满足随机过程的集合，L2（Ω，Ft，P，Rn）表示取值在Rn中Ft-可测且满足E|ξ|2＜+∞的随机变量的空间.本文使用＜·，·＞表示内积，|·|表示Rn、Rn×d、Rn×m中的欧几里德范数.

对于任意给定的φ(t)，ψ(t) ∈M2([0,T]；Rn)，定义正向的Itô积分和倒向的Itô积分它们都属于M2([0,T]；Rn).Ft是一个给定的子信息流，它代表控制者可以得到的信息，非空凸子集U⊂RK表示容许控制的集合，且满足如下条件：

（i）u(·)是Ft适应的，u(t) ∈U，t∈[0,T]；

1.2 问题描述

讨论一类时滞倒向重随机线性系统，其对应的状态方程为：

目标泛函为：

构建最优控制问题，即寻找一个控制u*(·) ∈U[ 0,T]，使得下式成立.

对于满足上述等式的u*(·) ∈U[0,T]称为系统的最优控制，对应的(y*(·)，z*(·))称为最优轨迹，(y*(·)，z*(·),u*(·))称为一个最优三元组.

此时系统对应的伴随方程为：

2 主要结果

给出如下假设条件：

（A1）假设系数矩阵Ai，Bi，Ci，Di(i= 1,2)是适当维数的矩阵过程；

（A2）H是n×n对称非负定有界矩阵且Ft适应矩阵过程；

（A3）上述所有系数矩阵都是确定性的、一致有界的.其中R(t)、S(t)和H是对称非负正定的，Q(t)是对称一致正定的.

定理1 在假设条件（A1）～（A3）下，u*(t) ={Q-1(t)[-C1(t)p(t) +C2(t)q(t)]|Ft}，t∈[0,T]是部分信息下时滞倒向重随机系统线性二次最优控制问题的唯一最优控制，其中(y*(t)，z*(t)，p(t)，q(t))是对应式（1）和式（4）的解.

证明 对于任意的u(t) ∈U[0,T]，设(y*(t)，z*(t))，(y(t)，z(t))分别是对应控制u*(t)和u(t)的轨迹.则

由条件（A3）可知

对(y(·) -y*(·)，p(·))应用Itô 公式并注意初始条件和终端条件，可得

又因为

同理

因此，可得

即

则

即

由u*(t)的定义，可得

将其代入式（14），可得

因此，有

对任意的u(·) ∈U成立，则可证得u*(·)是最优控制.

下面证明唯一性.

设ua(·),ub(·)都是系统对应的最优控制，(y1(·),z1(·)),(y2(·),z2(·)) 分别是对应ua(·)，ub(·)的状态轨迹是对应控制的状态轨迹.再由关于R(t)、S(t)、Q(t)和H的假设条件，可知

则

因为Q(t) 的正定性，可推出ua(·) =ub(·)，唯一性得证.

3 结语

本文对部分信息下含有时滞的倒向重随机系统线性二次最优控制问题进行了研究，该文证明了最优控制的唯一性，并给出了线性系统的最优控制的具体形式.研究过程发现，线性系统解的形式与对应的伴随方程的解有密切关系，但此类方程结构复杂，今后的研究会进一步探索此类方程.